Añade a la ecuación del muelle una fricción proporcional a la velocidad (−bv: el modelo del aire suave y los amortiguadores de aceite) y la solución cambia de carácter: la amplitud decae exponencialmente, . Cuánto dura el canto lo mide el factor de calidad: Q = ω₀/γ, en la práctica «cuántas oscilaciones caben en la agonía». Este artículo recorre los tres finales posibles — y por qué tu coche está diseñado para el más aburrido.
Los tres finales
Según el peso de la fricción frente al muelle, la ecuación tiene tres regímenes. Subamortiguado (fricción débil): oscila con amplitud menguante — la copa que suena, la cuerda que vibra, el columpio abandonado. Sobreamortiguado (fricción bruta): ni una oscilación — vuelve al equilibrio arrastrándose, como una puerta con freno hidráulico exagerado. Y la frontera exacta, amortiguamiento crítico (b² = 4mk): el retorno más rápido posible sin rebasar. Esa optimalidad no es curiosidad matemática: es especificación de ingeniería. La aguja de una báscula analógica, el brazo de un disco duro o la puerta de un ascensor se taran ahí mismo, prácticamente en el crítico. El amortiguador de tu coche se queda deliberadamente más abajo — en torno a ζ ≈ 0,25, un cuarto del crítico, o sea Q ≈ 2 —: el crítico exacto se siente «seco» y transmite el badén entero a los riñones, mientras que un cuarto de crítico ya aquieta la carrocería en un bote y medio. Cuando el confort exige «rápido y casi sin rebote», la respuesta tiene nombre propio y número pequeño.
Problema. Golpeas una copa (800 Hz, Q ≈ 2000) y un diapasón (440 Hz, Q ≈ 10 000). ¿Cuánto «canta» cada uno?
Solución. El tiempo característico de la amplitud es τ = 2Q/ω₀:
Resultado. La copa canta un segundo escaso; el diapasón, buena parte de un minuto audible — exactamente lo que se observa, y el porqué de su oficio: un patrón de afinación debe mantener su nota estable mucho tiempo, y eso es pedir Q alto. La jerarquía sigue: el cuarzo de tu reloj (Q ~ 10⁵) «canta» horas — por eso marca el tiempo —, y un átomo emitiendo luz (Q ~ 10⁷) es el diapasón definitivo: los relojes atómicos son la búsqueda del Q infinito. Calidad, en física, es literalmente resistirse a callar.
La energía se va por la exponencial
Como E ∝ A², la energía decae el doble de rápido que la amplitud: E(t) = E₀e^(−t/τ_E) con τ_E = Q/ω₀. La lectura práctica de Q que conviene memorizar: en Q/2π oscilaciones, la energía cae a 1/e (un 37 %). La copa: 2000/6,3 ≈ 300 oscilaciones útiles. El columpio del parque (Q ~ 20): tres vaivenes y a empujar otra vez — la medida de cuánto trabajo le espera al progenitor. Y una lectura inversa que prepara el artículo 03: Q alto significa que el oscilador recuerda muchas oscilaciones — y un sistema con buena memoria es un sistema fácil de excitar en resonancia, para bien y para mal.
El modelo −bv y su letra pequeña. La fricción proporcional a v es el modelo del rozamiento viscoso (aceite, aire lento) — se elige también porque mantiene la ecuación lineal y resoluble. El rozamiento seco de I.2 (constante, μN) apaga las oscilaciones de otra manera (linealmente, no exponencialmente), y el arrastre v² de II.1, de otra. La naturaleza mezcla los tres; el físico elige el que domina y factura el error. A estas alturas del curso, el gesto ya te resulta familiar.
Ejercicios
Un coche pasa un badén y su carrocería da un (1) bote y medio antes de aquietarse. Estima su Q. ¿Y si diera cinco botes — qué le dirías al taller?
Solución
Cuidado con la regla rápida: «Q/2π oscilaciones» cuenta hasta que la energía cae a 1/e, y ahí la amplitud todavía es el 61 % — el ojo no ve ninguna diferencia. El mecánico cuenta otra cosa: hasta que el coche se queda quieto, o sea hasta un ~10 % de amplitud. Con ese criterio, y como la amplitud cae por ciclo un factor e^(−2πζ/√(1−ζ²)), llegar al 10 % en 1,5 ciclos pide ζ ≈ 0,24: Q ≈ 2 — el cuarto de crítico de arriba, ligeramente subamortiguado, lo sano. Cinco botes son ζ ≈ 0,07, Q ≈ 7: los amortiguadores han perdido aceite y ya casi solo queda el muelle — al taller. (La regla ingenua habría dado Q ≈ 2π × 1,5 ≈ 9 para el bote y medio; comprueba adónde lleva: con Q = 9 harían falta 6,6 ciclos para bajar al 10 %, y el coche botaría como un colchón de agua. Contar «hasta que no se ve» no es contar «hasta 1/e».) La prueba del mecánico de toda la vida — hundir la esquina del coche y contar botes — es una medición de Q con la palma de la mano. Amortiguador nuevo: vuelve en un bote, ζ ≈ 0,34, Q ≈ 1,5. Crítico exacto (ζ = 1, Q = 0,5) sería sin bote ninguno — se reserva a instrumentos, porque en un coche se siente «seco».
El péndulo de Foucault del Panteón (67 m, 28 kg) debe oscilar horas para que el público vea girar su plano (31,8 h de período de giro en París). ¿Qué Q necesita para «vivir» 6 horas de museo, y cómo se consigue en la práctica?
Solución
T = 2π√(67/9,81) ≈ 16,4 s (f = 0,061 Hz). Seis horas son ~1300 oscilaciones; pedir que la energía sobreviva ese tiempo exige Q ≳ 2π × 1300 ≈ 8000 — altísimo para un objeto de 28 kg colgado de 67 m de cable en aire. Los péndulos de museo reales lo resuelven con masa grande (la energía crece con m; las pérdidas de aire, menos que proporcionalmente) y, casi siempre, con un pequeño empujón electromagnético oculto en la base que compensa exactamente la disipación — un oscilador forzado en secreto. El artículo 03 explica por qué ese truco no estropea la física que el péndulo demuestra.
¿Por qué los edificios en zona sísmica se diseñan hoy con «amortiguadores de masa sintonizada» y disipadores — es decir, para tener Q bajo — si un Q bajo significa perder energía?
Solución
Porque en un terremoto la energía te la mete el suelo, y perderla es exactamente lo que quieres. Q alto = memoria larga = cada sacudida se suma a la anterior (la resonancia de I.4, que el artículo 03 cuantifica: la amplificación en resonancia es Q). Q bajo = el edificio olvida cada sacudida antes de que llegue la siguiente. Los disipadores — péndulos gigantes como el de Taipei 101 (660 toneladas), amortiguadores viscosos en las diagonales — son maquinaria para comprar olvido. En osciladores, como en rencores, la memoria selectiva es salud estructural.