El ejercicio final de I.1 lo anunció; toca la fórmula. La fuerza de marea no es la gravedad de la Luna: es su diferencia entre la cara cercana y la lejana de la Tierra. Derivando −GM/d² respecto de d:
con el 1/d³ como firma: la marea muere más rápido que la gravedad. Números: 1,1×10⁻⁷ g de la Luna — una cienmillonésima de tu peso, suficiente para mover océanos porque actúa sobre todos los océanos a la vez, coherentemente, dos abultamientos (uno hacia la Luna, otro opuesto: la cara lejana es la que se «queda atrás»). Y el Sol, con 27 millones de veces más masa, aporta solo el 46 % de la marea lunar — está 389 veces más lejos y el cubo no perdona. Por eso las mareas vivas (Luna y Sol alineados: 1 + 0,46) son casi el triple de las muertas (en cuadratura: 1 − 0,46): 1,46 contra 0,54, un factor 2,7.
El freno de mareas: la contabilidad completa
Problema. Junta las tres piezas del curso: el día se alarga 2,3 ms/siglo (II.5), la Luna se aleja 3,8 cm/año (medido con láser desde 1969), y la Luna siempre muestra la misma cara. Una sola historia las explica.
Solución. La Tierra gira más rápido (24 h) de lo que la Luna orbita (27,3 días): la fricción arrastra los abultamientos de marea por delante de la Luna. Ese bulto adelantado tira de la Luna hacia adelante (par positivo sobre su órbita) y la Luna tira del bulto hacia atrás (par negativo sobre la rotación terrestre). Conservación de L: lo que pierde el día lo gana la órbita — y una órbita con más L es más alta (II.5, ejercicio 2, ahora con mecanismo). La Luna sube 3,8 cm/año; el día engorda milisegundos.
Resultado. Y la misma fricción, actuando sobre la Luna cuando aún rotaba libre, le frenó la rotación hasta clavarla con la órbita: la rotación síncrona — por eso hay «cara oculta», y por eso casi todas las lunas grandes del sistema solar muestran una sola cara a su planeta. Final de la película (dentro de ~50 000 millones de años, si el Sol no interviniera antes): día terrestre = mes lunar = 47 días actuales, marea congelada, sistema bloqueado. Plutón y Caronte ya llegaron: se miran fijamente para siempre. Tres medidas dispares — láser, relojes atómicos, corales fósiles — y una sola física: es el «cuadrar la caja» más bonito del curso.
El límite de Roche: cuando la marea gana
Acerca una luna a su planeta y la marea (∝1/d³) crece más rápido que la autogravedad que la mantiene entera. El cruce es el límite de Roche: para un satélite fluido, d ≈ 2,44 R(ρ_p/ρ_s)^⅓. Dentro de él no se forman lunas — se forman anillos: los de Saturno viven enteros dentro de su límite — ~147 000 km si se supone el satélite fluido y de la densidad del propio Saturno (687 kg/m³); con hielo compacto (900 kg/m³) el límite baja a ~134 000 km, y con cohesión propia baja bastante más. El borde exterior del anillo A está en 137 000: dentro de cualquiera de las dos cuentas, escombro que nunca pudo condensar. (Conviene el hábito: un «límite de Roche» sin la densidad supuesta al lado no es un número, es media fórmula.) Y el proceso se ha visto en directo: el cometa Shoemaker-Levy 9 cruzó el Roche de Júpiter en 1992 y se partió en 21 fragmentos que impactaron en fila en 1994 — la marea como demoledora, retransmitida. Versión extrema, la «espaguetización» cerca de un agujero negro estelar: el mismo 2GMR/d³ con M enorme y d de kilómetros. El Gravitario hereda esa escena; la fórmula ya es tuya.
El módulo, en limpio. (1) Kepler: elipses, áreas (= L), y a³/T² — la báscula universal. (2) El potencial efectivo clasifica el destino por energía: círculo, elipse, parábola, hipérbola — y la vis-viva pone velocidades. (3) Viajar es cambiar de elipse: Hohmann, ventanas, y la superbola gravitatoria de las Voyager. (4) La marea es la gravedad como diferencia: 1/d³, océanos, frenos, caras ocultas y anillos. Queda un módulo para cerrar el Nivel II — la cuerda que une los osciladores con la música: II.7.
Ejercicios
Tu cuerpo también sufre la marea lunar. Estímala entre tu cabeza y tus pies (1,8 m) y compárala con la marea que tú ejerces sobre un vaso de agua a un metro. ¿Quién manda en tu bañera?
Solución
Luna sobre ti: 2GM_L·(1,8)/d³ ~ 3×10⁻¹⁴ g — catorce órdenes bajo tu peso: nada. Tu marea sobre el vaso (a 1 m, a lo ancho de sus 10 cm): ~9×10⁻¹⁰ m/s² — ¡decenas de miles de veces más que la marea lunar sobre ese mismo vaso! En tu bañera mandas tú, no la Luna. Toda la industria de «la Luna influye en el cuerpo humano» muere en esta línea: las mareas necesitan océanos coherentes de miles de km, no cuerpos de metro y medio. La estimación de órdenes — el músculo del Nivel I — sigue siendo el mejor matamitos disponible.
¿Por qué hay ~dos pleamares al día y no una, si la Luna «tira» de un solo lado? ¿Y por qué llegan cada 24 h 50 min, no cada 24?
Solución
Dos bultos: el océano cercano cae hacia la Luna más que el centro de la Tierra (bulto delantero), y el centro cae más que el océano lejano — que se queda atrás: bulto trasero. La marea estira por ambos extremos del eje (por eso la fórmula deriva, no resta una vez). Y los 50 minutos: mientras la Tierra da su vuelta, la Luna avanza en su órbita — el día lunar (paso de la Luna por tu meridiano) dura 24 h 50 min, y las dos pleamares lo persiguen. Todo pescador del Cantábrico lleva este ejercicio en la cabeza sin ecuaciones: la tabla de mareas es astronomía municipal.
Fobos, la luna de Marte, orbita a 9376 km — por debajo de la geoestacionaria marciana. Aplica la historia del ejemplo resuelto al revés y predice su futuro.
Solución
Fobos orbita (7,7 h) más rápido de lo que Marte rota (24,6 h): el bulto de marea marciano queda por detrás y el par cambia de signo — Fobos pierde L, baja ~2 m por siglo, en espiral. Destino en ~40 millones de años: o el límite de Roche lo despedaza en un anillo temporal, o impacta. Deimos, más arriba de la síncrona, se aleja como nuestra Luna. La misma ecuación, dos signos, dos destinos: los sistemas de lunas son relojes de marea corriendo en ambos sentidos, y leerlos es reconstruir su historia — o su esquela.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Kepler I y II | Órbitas elípticas con el Sol en un foco; el radio barre áreas iguales en tiempos iguales | art. 01 |
| Kepler III | T²/a³ es la misma constante para todos; en unidades de UA y año, a³/T² = 1. La constante vale 4π²/GM, así que la tercera ley PESA lo que haya en el foco | art. 01 |
| La auditoría del lector | a³/T²: Mercurio 0,998 · Venus 0,999 · Tierra 1,000 · Marte 1,000 · Júpiter 1,001 · Saturno 1,000 — cuatro cifras a lo largo de un factor 25 en distancia y 122 en período | art. 01 |
| La segunda ley era L de incógnito | dA/dt = L/2m — constante porque la gravedad es central y no tiene brazo respecto del foco (τ = 0). Kepler midió la conservación de L en 1609 | art. 01, ej. res. 1 |
| Cometa Halley | T = 76 años ⟹ a = T^(2/3) = 17,9 UA; con perihelio 0,59 UA, afelio = 2a − r_per = 35,3 UA. Y por vis-viva: 54 km/s en el perihelio, 0,9 km/s en el afelio | art. 01, ej. 1 · art. 02 |
| Órbita geoestacionaria | Regla de tres kepleriana desde la ISS (r = 6771 km, T = 92,4 min) con T = 1436 min: r = 42 170 km — tabulado 42 164, o sea 35 800 km de altura. Sin G y sin masa terrestre | art. 01, ej. 2 |
| Pesar planetas y agujeros negros | Ío: a = 422 000 km = 2,82×10⁻³ UA, T = 1,77 d = 4,85×10⁻³ años ⟹ M_J/M_S = a³/T² = 1/1050 (moderno: 1/1048) | art. 01, ej. 3 |
| Potencial efectivo | U_ef(r) = −GMm/r + L²/2mr²: el pozo gravitatorio más la barrera centrífuga que fabrica el propio giro. Los puntos de retorno se llaman perihelio y afelio | art. 02 |
| El catálogo por energías | Fondo del valle: círculo · E negativa: elipse · E = 0: parábola, la frontera del escape · E positiva: hipérbola. Un solo número clasifica el destino | art. 02 |
| Energía de una órbita ligada | E = −GMm/2a: depende solo del semieje mayor | art. 02 |
| Vis-viva | v² = GM(2/r − 1/a). Dame dónde estás y qué órbita llevas, te doy tu velocidad. Toda la navegación espacial se planifica con esta línea | art. 02, ej. res. 1 |
| En órbita, frenar acelera | Perder energía baja el semieje, y la vis-viva da entonces MÁS velocidad. Para alcanzar a la estación que va delante, se frena: bajas, aceleras y la alcanzas por debajo | art. 02 |
| La ISS, cuantificada | r = 6771 km, v = 7,67 km/s. Para órbita circular v² = GM/r ⟹ dv/v = −½·dr/r: perder 2 km al mes son +1,1 m/s al mes, y la cuenta la repone el reboost | art. 02, ej. 1 |
| Escapar desde órbita baja | Escape local = √2 × circular = 10,85 km/s, así que el Δv desde LEO es (√2 − 1)×7,67 = 3,2 km/s. Los presupuestos de misión se cuentan desde arriba, no desde el suelo | art. 02, ej. 2 |
| Los tres visitantes interestelares | ʻOumuamua (2017): perihelio a 0,255 UA con 87,4 km/s cuando la parábola local dictaba 83,4 — E positiva, hipérbola; su v_∞ ajustada a toda la órbita es 26,3 km/s. Después 2I/Borisov (2019) y 3I/ATLAS (1 de julio de 2025), este con perihelio a 1,36 UA, e ≈ 6,1 y v_∞ ≈ 58 km/s | art. 02, ej. 3 |
| Transferencia de Hohmann | Media elipse tangente a las dos órbitas circulares, con un encendido al salir y otro al llegar. A Marte: a_transferencia = (1 + 1,524)/2 = 1,262 UA | art. 03 |
| Presupuesto a Marte | Encendido 1: 32,7 − 29,8 = 2,9 km/s · travesía 8,5 meses · encendido 2: 24,1 − 21,5 = 2,6 km/s. Partiendo de órbita baja terrestre, la inyección cuesta 3,6 km/s | art. 03 · art. 03, ej. 1 |
| La ventana de lanzamiento | Marte debe llevar ~44° de delantera angular, configuración que se repite cada 26 meses. Perder la ventana cuesta dos años, no dos semanas | art. 03 |
| Asistencia gravitatoria | Es la superbola de II.4 con Júpiter de balón: en el marco del planeta la sonda entra y sale con la misma rapidez, pero Júpiter avanza a 13 km/s y devuelve hasta 2×13 km/s de propina. El planeta paga, frenado en una parte en 10²⁴ | art. 03, ej. res. 1 |
| Ir al Sol es carísimo | Cancelar los 29,8 km/s orbitales cuesta más Δv que escapar del sistema solar (12,3 km/s). La Parker encadena siete sobrevuelos FRENANTES de Venus para bajar su perihelio a 6,2 millones de km | art. 03, ej. 2 |
| El retardo de la luz a Marte | 8,32 min por unidad astronómica; la distancia va de 0,37 a 2,67 UA → de 3 a 22 min por trayecto. Por eso la entrada, descenso y aterrizaje son 100 % autónomos | art. 03, ej. 3 |
| Fuerza de marea | a_marea ≈ 2GM·R/d³ — la gravedad como DIFERENCIA, con el 1/d³ como firma: muere más rápido que la gravedad | art. 04 |
| Números de la marea | La Luna produce 1,1×10⁻⁷ g sobre la Tierra. El Sol, con 27 millones de veces más masa pero 389 veces más lejos, aporta el 46 % de la lunar — el cubo no perdona | art. 04 |
| Mareas vivas y muertas | Alineados: 1 + 0,46 = 1,46. En cuadratura: 1 − 0,46 = 0,54. Un factor 2,7 entre unas y otras | art. 04 |
| Por qué hay dos pleamares | Dos abultamientos: el océano cercano cae hacia la Luna más que el centro, y el centro más que el océano lejano, que se queda atrás. Y llegan cada 24 h 50 min — el día lunar, no el solar | art. 04, ej. 2 |
| El freno de mareas | La Tierra gira más rápido (24 h) de lo que la Luna orbita (27,3 d): el bulto va por delante y tira de ella. Con L conservado, el día se alarga 2,3 ms/siglo y la Luna sube 3,8 cm/año. Final, dentro de ~50 000 millones de años: día = mes = 47 días actuales | art. 04, ej. res. 1 |
| Rotación síncrona | La misma fricción clavó la rotación de la Luna con su órbita — de ahí la cara oculta, y de ahí que casi todas las lunas grandes muestren una sola cara. Plutón y Caronte ya están bloqueados mutuamente | art. 04 |
| Límite de Roche | d ≈ 2,44·R·(ρ_p/ρ_s)^⅓ para un satélite fluido. En Saturno (R = 60 268 km, ρ_p = 687 kg/m³): 147 000 km suponiendo ρ_s = 687, o 134 000 km con hielo de 900. El borde exterior del anillo A está en 137 000 km. Un límite de Roche sin la densidad supuesta al lado no es un número: es media fórmula | art. 04 |
| Fobos, la película al revés | Orbita en 7,7 h, más rápido de lo que Marte rota (24,6 h): el bulto queda por detrás, el par cambia de signo y Fobos baja ~2 m por siglo. Destino en ~40 millones de años: Roche o impacto. Deimos, por encima de la síncrona, se aleja | art. 04, ej. 3 |
| La marea sobre un cuerpo humano | La Luna sobre tus 1,8 m: ~3×10⁻¹⁴ g. Tú sobre un vaso a 1 m: ~9×10⁻¹⁰ m/s², decenas de miles de veces MÁS que la marea lunar sobre ese mismo vaso. Las mareas necesitan océanos coherentes de miles de km | art. 04, ej. 1 |