La hoja de problemas · Gravitación y órbitas

Kepler III en unidades de astrónomo (a en UA, T en años) reduce todo a una potencia, sin G y sin SI. Lo demás es aritmética de calendario, pero cuidado con qué se cuenta: «desde 1930 hasta hoy» y «desde 1930 hasta 2006» son dos fracciones distintas de órbita y cada una dice una cosa. La gracia del problema es que las tres respuestas caben en una sola frase sobre taxonomía planetaria: escríbela.

La báscula de Kepler del artículo 01, en unidades de astrónomo: con a en UA y T en años el resultado sale directamente en masas solares. Hasta ahí es una división. Lo que decide el veredicto no es la masa sino la densidad: acota el volumen con el perihelio de la órbita (S2 es muy excéntrica, e ≈ 0,88) y compara la densidad resultante con la de un cúmulo globular, que es el objeto estelar más denso que se conoce. Aviso de higiene de datos: el semieje de S2 se ha ido afinando durante veinte años de astrometría, y la masa que publican los catálogos incluye correcciones relativistas que tu división no lleva — no esperes coincidir en la tercera cifra, y comprueba cuánto mueve el resultado un 5 % de error en a. Esas correcciones han dejado de ser una nota al pie: con los pericentros de S29, S38 y S55 pasados entre 2021 y 2023, la colaboración GRAVITY publicó en 2024 la precesión de Schwarzschild de estas órbitas a unas diez desviaciones típicas, con un factor 1,135 ± 0,110 frente al 1 que predice la relatividad general. Kepler pesa el agujero; la corrección al Kepler mide la geometría.

Los dos encendidos de una Hohmann entre dos órbitas casi iguales: vis-viva en el perigeo y en el apogeo de la elipse de transferencia, restando contra las circulares correspondientes. Aviso numérico serio: los dos Δv son diminutos y salen de restar números casi iguales — trabaja con decimales de sobra o el resultado se te evaporará en el redondeo. Para la comparación, calcula el Δv que exigiría bajar el perigeo hasta rozar la atmósfera: es otra Hohmann, mismo método, resultado de otro orden. El veredicto es el cociente entre esos dos números más una frase sobre lo que queda en el depósito de un satélite al final de su vida.

La marea no va con la fuerza sino con su gradiente: revisa la ley del artículo 04 antes de dividir, y monta el cociente con las masas y las distancias que te dan (los radios similares se cancelan, y por eso te lo dicen). Pero el número que salga no explica los volcanes por sí solo: una marea estática deforma y punto, no disipa. Lo que funde el manto de Ío es que ese estirón varíe, y para que varíe hace falta que la órbita no sea circular. Ahí está la pregunta buena: averigua quién mantiene excéntrica la órbita de Ío pese a que las mareas deberían circularizarla, y tendrás el mecanismo completo — y de paso el de Europa, que es el que va a auditarse en directo: la Europa Clipper de la NASA salió el 14 de octubre de 2024 y entra en órbita joviana en 2030, y la JUICE de la ESA salió el 14 de abril de 2023 y llega en 2031. Las dos van a medir el calentamiento de marea que tú vas a estimar con una división.

Trocea el viaje en maniobras y trata cada una con vis-viva o con Hohmann según toque; los Δv se suman sin miedo, que para eso es un presupuesto. La segunda parte es donde está la física: Tsiolkovski no suma, multiplica. La razón de masas de un tramo se aplica sobre toda la masa que aún queda por encima de él, así que conviene recorrer el presupuesto de atrás hacia delante, empezando por la cápsula que vuelve. Con eso, la pregunta de regalo (por qué se abandona el módulo lunar en la Luna y el de servicio antes de reentrar) se contesta sola: cada kilo que no vuelve es un kilo que no hay que acelerar en todos los tramos anteriores, y el ahorro es multiplicativo.

Un desvío lateral pequeño crece con el tiempo disponible, así que para el orden de magnitud basta multiplicar (la deriva orbital fina mejora el resultado, pero no cambia la moraleja). Convierte los tres meses y los diez años a segundos con cuidado. Y decide tú cuál es la distancia que hay que ganar —¿un radio terrestre?, ¿más?— porque el enunciado no te la da y esa decisión forma parte del problema: piensa qué le hace la gravedad terrestre a un cuerpo que pasa cerca. Cuando tengas los dos números, no los presentes como dos casos: formúlalos como una proporcionalidad. Es esa proporcionalidad la que dice dónde debería ir el presupuesto de la defensa planetaria, y por qué la película correcta sería aburridísima. Hay un guion real con el que contrastarla, y es de esta década: el asteroide 2024 YR4 llegó a marcar un 3,1 % de probabilidad de impacto terrestre para 2032 el 18 de febrero de 2025 — el valor más alto jamás registrado para un objeto de su tamaño — y unas semanas de observaciones nuevas, con el JWST entre ellas, lo bajaron a prácticamente cero; en marzo de 2026 se descartó también el impacto lunar. Nadie lanzó nada. Añade esa columna a tu balance: observar también es defensa planetaria, y es la barata.