El Nivel I despachó el aire con una frase — «frena, y más cuanto más rápido» — y el artículo 02 midió su factura en un saque de puerta. Toca la ley cuantitativa. Hay dos, según el tamaño y la velocidad: el arrastre lineal (F ∝ v, el mundo viscoso de las gotitas y el polen) y el cuadrático (F ∝ v², el de balones, coches y paracaidistas). Este artículo trabaja el segundo — el nuestro — y su consecuencia estrella: la velocidad terminal.
La ley cuadrática
con ρ la densidad del aire (1,2 kg/m³ al nivel del mar), A el área frontal y C_d el coeficiente aerodinámico — el número que resume la forma: ~1 para una plancha, ~0,47 para una esfera, ~0,30 para un coche moderno, ~0,05 para un ala limpia. El origen físico es simple de contar: a estas velocidades el objeto debe apartar el aire de su camino, comunicándole velocidad ~v a una masa de aire ~ρAv por segundo — momento por segundo ~ρAv², y eso es una fuerza. El cuadrado no es un ajuste empírico: es el precio de barrer aire.
Problema. Paracaidista en plancha: m = 90 kg (con equipo), C_dA ≈ 0,55 m². ¿Velocidad terminal?
Solución. Terminal = arrastre igual a peso:
Resultado. Los ~190–200 km/h prometidos en el Nivel I, ahora con pedigrí. La fórmula es un panel de mandos: en picado (C_dA → 0,15) la terminal sube a ~100 m/s — así se «vuela» en formación alcanzando al compañero; con el paracaídas abierto (C_dA ≈ 25 m²) baja a ~7,7 m/s — la llegada de un salto desde 3 m, rodilla flexionada y a casa. Todo el paracaidismo es gestión de C_dA en tiempo real.
El tiro real
Con el término −½ρC_dAv²·(v̂) dentro, F = ma ya no se resuelve con álgebra: las componentes se acoplan (el arrastre mira al vector velocidad completo) y hay que integrar numéricamente — exactamente lo que hace el interactivo. Los efectos cualitativos, antes de jugar: el alcance cae (el saque de 92 m se queda en ~65), el ángulo óptimo baja de 45° a ~35–40° (conviene pasar menos tiempo en el aire pagando arrastre), y la trayectoria pierde la simetría — la rama de bajada es más empinada que la de subida, porque el proyectil llega cansado. Los artilleros del XVIII llamaban a esta curva «balística», de ahí el nombre del oficio entero.
Arrastre cuadrático integrado con Runge-Kutta de cuarto orden, paso de 10 ms. La curva clara es el vacío del artículo 02; la oscura, el mundo. El mando k resume ½ρC_dA/m: un balón ronda 5–8; una bala pesada, ~0,5; un globo, >50 — y ahora el deslizador llega a los tres.
Alcance: 69 m con aire frente a 92 m en vacío — un 25 % perdido. Fíjate en la asimetría: la bajada es más corta y empinada — el proyectil llega cansado. Busca además el ángulo óptimo moviendo θ: con aire ya no es 45°.
El tamaño decide el bando
La terminal escala como √(m/A). Reduce un animal a la mitad en todas sus dimensiones: la masa cae ×8, el área ×4 — la terminal baja ×√2. Sigue bajando por la escalera de tamaños y el resultado es el famoso reparto de destinos de Haldane: el caballo que cae de un tejado se mata, el gato a veces, el ratón se lleva un susto y la hormiga — terminal de un par de m/s, alcanzada en centímetros — no puede matarse cayendo, viva donde viva. El mismo escalado explica por qué las gotas de llovizna flotan casi (v_t ∝ √r para gotas: r = 1 mm cae a 6,8 m/s; r = 0,05 mm, a ~0,3) y por qué el granizo grande es un proyectil serio. En el mundo del arrastre, el tamaño no es un detalle: es el destino.
Dos regímenes, una moraleja. Cuadrático (F ∝ v²) para lo grande y rápido; lineal (Stokes, F ∝ v) para lo diminuto y lento — el criterio fino (el número de Reynolds) llega con los fluidos del Nivel III. La moraleja metodológica vale ya: la «misma» física cambia de ley efectiva según la escala, y saber en qué régimen vives es la primera pregunta del profesional. La segunda — cómo integrar lo que no tiene fórmula — acaba de responderla el interactivo: a golpe de paso pequeño.
Ejercicios
Un coche con C_dA = 0,66 m² circula a 120 km/h. Calcula la fuerza de arrastre y la potencia que consume solo el aire. ¿Y a 60 km/h?
Solución
A 120 km/h (33,3 m/s): F = ½ × 1,2 × 0,66 × 33,3² ≈ 440 N, y P = Fv ≈ 14,7 kW — veinte caballos solo para apartar aire. A 60 km/h: F ≈ 110 N y P ≈ 1,8 kW — ocho veces menos potencia por la mitad de velocidad (F ∝ v² y P = Fv ∝ v³). Ese cubo es la física del consumo en autopista y la razón de que los récords de autonomía se hagan a 80 y no a 120: el aire cobra al cubo. (La potencia como magnitud protagoniza el módulo II.2.)
¿Desde qué altura un gato alcanza su velocidad terminal (~27 m/s)? ¿Por qué las estadísticas veterinarias muestran más supervivencia en caídas altas que en medias?
Solución
Sin aire llegaría a 27 m/s tras h = v²/2g ≈ 37 m — unos doce pisos; con arrastre, la terminal se alcanza asintóticamente hacia los 20–30 m reales (6–8 pisos). La estadística famosa (estudio de 1987 en Nueva York) sugiere que, una vez en terminal, el gato deja de acelerar, se relaja y se despatarra — sube C_dA, baja la terminal, y aterriza mejor repartido que el gato tenso de un tercer piso. El dato tiene sesgos conocidos (los peores casos no llegan al veterinario), pero la física del argumento — terminal como techo y postura como mando de C_dA — es impecable y paracaidista.
Las balas de cañón esféricas del XVIII salían a ~450 m/s. Estima su terminal (hierro, r = 8 cm) y decide: ¿era el aire un detalle o un protagonista en su balística?
Solución
m = (4/3)πr³ρ_Fe ≈ 16,9 kg; C_dA = 0,47 × π × 0,08² ≈ 0,00945 m². v_t = √(2 × 16,9 × 9,81/(1,2 × 0,00945)) ≈ 170 m/s. La bala salía a 450 m/s — ¡2,6 veces su terminal!: el arrastre a boca de cañón era (450/170)² ≈ 7 veces su propio peso. Protagonista absoluto: los alcances reales eran la mitad del vacío y las tablas de tiro se construían disparando, no calculando. El primer gran cálculo numérico de la historia — las tablas balísticas que motivaron los primeros ordenadores en 1943 — fue exactamente esta integral sin fórmula.