Cierre del módulo con la manivela girando a pleno rendimiento. El sistema: una cuenta ensartada en un aro vertical que rota sobre su diámetro con velocidad angular Ω impuesta. Un solo grado de libertad (el ángulo θ desde el fondo del aro), una lagrangiana de dos líneas — y escondida en ella, una bifurcación con moraleja para media física.
La manivela, paso a paso
Cinética: la cuenta se mueve por el aro (velocidad Rθ̇) y con el aro (velocidad ΩR sen θ, el giro impuesto): T = ½mR²(θ̇² + Ω²sen²θ). Potencial: V = −mgR cos θ. Como Ω está impuesta, el término Ω² actúa como un potencial con signo cambiado, y toda la física vive en el potencial efectivo:
Deriva e iguala a cero: los equilibrios. Para Ω pequeña, solo el fondo (θ = 0). Pero la curvatura del fondo es V″(0) = mR²(g/R − Ω²) — y cambia de signo en la velocidad crítica:
Por encima, el fondo se vuelve cima (equilibrio inestable) y nacen dos valles nuevos, simétricos, en cos θ₀ = g/(Ω²R): la cuenta debe elegir lado. Con R = 20 cm: Ω_c = 7 rad/s (67 rpm), y al doble de la crítica los valles viven ya a ±75° — casi el ecuador del aro. El interactivo deja girar la manivela literal.
Gira el aro y mira el potencial efectivo: por debajo de Ω_c el fondo es fondo; por encima, el fondo se hace cima y nacen dos valles — la cuenta debe elegir lado. Leyes simétricas, destino asimétrico.
Régimen manso: el término centrífugo aún no puede con la gravedad. Acércate a Ω_c y observa el valle aplanarse — las oscilaciones se vuelven lentísimas justo antes de la transición.
Problema. Dibuja los equilibrios θ₀ en función de Ω y describe qué le pasa a la simetría del sistema al cruzar Ω_c.
Solución. El diagrama es una horquilla (pitchfork): una rama única (θ = 0) que al llegar a Ω_c se abre en dos ramas estables (±θ₀) mientras la central continúa inestable. Lo profundo es la simetría: la lagrangiana es perfectamente simétrica izquierda-derecha siempre — también por encima de Ω_c. Pero sus estados de equilibrio ya no lo son: la cuenta acaba a un lado, elegido por el azar de la perturbación inicial.
Resultado. Leyes simétricas, estado asimétrico: la ruptura espontánea de simetría — exactamente la estructura del imán que elige norte y del sombrero mexicano de Higgs (Particulario III.2: si vienes de allí, esta cuenta te resultará familiar; si vas, llegarás entrenado). El parámetro de control allí no es Ω sino la temperatura, y los «lados» son direcciones en un espacio interno — pero la horquilla es la misma. El juguete de este módulo es el mecanismo más citado de la física de partículas, con alambre y a 67 rpm.
El módulo, en limpio. (1) Las ligaduras se esquivan eligiendo coordenadas que las respetan. (2) S = ∫L dt estacionaria produce las ecuaciones con manivela — y la cuántica explica el porqué con fases que conspiran. (3) Noether: cada indiferencia continua, una moneda conservada — las tres del curso, auditadas. (4) La maquinaria en acción convierte un aro de alambre en una lección sobre el Higgs. Lo que Lagrange ganó en elegancia, Hamilton lo ganará en geometría: el espacio de fases espera en III.2.
Ejercicios
Justo en Ω = Ω_c, la curvatura del fondo se anula: el potencial efectivo empieza en θ⁴. ¿Qué le pasa a la frecuencia de las oscilaciones pequeñas al acercarse a la crítica — y qué anuncia eso?
Solución
ω_osc = √(V″/mR²) = √(g/R − Ω²) → 0: las oscilaciones se vuelven infinitamente lentas al acercarse a la transición — el «ablandamiento de modo» (critical slowing down). Es una firma universal de las transiciones: cerca del punto crítico, el sistema tarda eras en decidirse (los imanes cerca de Curie, los mercados cerca del pánico, y el modo de Higgs cerca de su transición cosmológica). Medir frecuencias que se desploman es cómo los experimentales huelen una bifurcación antes de verla.
El péndulo de soporte vibrante (péndulo de Kapitza) hace lo contrario del aro: agitando el pivote arriba-abajo muy rápido, el péndulo invertido (θ = 180°) se vuelve ¡estable! Sin calcular: ¿qué ingrediente lagrangiano comparte con el aro, y por qué no viola la intuición de los potenciales?
Solución
En ambos, un forzamiento externo rápido añade al potencial estático un término efectivo nuevo (aquí ∝ sen²θ con signo estabilizador, promedio del zarandeo). El potencial que decide equilibrios ya no es V sino V_ef, y V_ef puede tener valles donde V tenía cimas. No hay violación: hay pago — quien agita el soporte inyecta la energía que sostiene el milagro. El péndulo de Kapitza se monta con una sierra de calar y asombra en cualquier laboratorio; su primo cuántico (trampas de Paul para iones, Nobel 1989) sostiene átomos sueltos con el mismo truco de promediar zarandeos. La mecánica efectiva es una fábrica de estabilidades imposibles.
En el aro por encima de la crítica, rompe la simetría a mano: inclina ligeramente el eje de giro. ¿Qué le pasa a la horquilla? ¿Qué versión del imán y del Higgs es esa?
Solución
La inclinación añade un término que favorece un lado: la horquilla se «desdobla» — una rama sobrevive suave (el lado favorecido, ahora único mínimo global) y la otra nace más tarde como mínimo local. Ya no hay elección espontánea: hay preferencia impuesta. Es el imán en un campo externo (elige el norte del campo, no el suyo) y la ruptura explícita de simetría del Particulario (las masas de los quarks inclinando el sombrero mexicano). Distinguir ruptura espontánea de explícita — quién eligió: ¿el azar o el sesgo? — es una de las preguntas estructurales de la física moderna, y en el aro se responde con un destornillador.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa — y, cuando toca, qué deuda de un módulo anterior salda cada fila. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Grados de libertad | Coordenadas menos ligaduras: barra libre 5 · péndulo doble 2 · moneda que rueda 4 · N moléculas 3N | art. 01, ej. res. 1 |
| Coordenadas generalizadas | q₁…q_n = conjunto mínimo que ya vive dentro de la ligadura; moverse en ellas la respeta, y la fuerza que la imponía desaparece de las ecuaciones | art. 01 |
| Holónoma frente a no holónoma | Holónoma: condición sobre posiciones (x²+y² = L²). No holónoma: sobre velocidades y no integrable (rodadura del coche, ẏ cos φ = ẋ sen φ) — se aparca maniobrando por eso | art. 01, ej. 3 |
| Principio de d'Alembert (1743) | Las fuerzas de ligadura ideales no trabajan en ningún desplazamiento permitido: proyectar F = ma sobre lo permitido las autoexcluye | art. 01 |
| Cuenta en alambre parabólico y = ax² | V = mga·x², T = ½m(1 + 4a²x²)ẋ²; cerca del fondo, oscilador con ω² = 2ga | art. 01, ej. 2 |
| Lagrangiana | L = T − V (en clásica se justifica porque funciona; el porqué es la interferencia de fases de Feynman) | art. 02 |
| Acción | S[q(t)] = ∫ L(q, q̇) dt entre t₁ y t₂ con extremos fijos | art. 02 |
| Principio de Hamilton | δS = 0: estacionaria, no necesariamente mínima (a veces silla). La cuántica necesita exactamente estacionariedad | art. 02, callout |
| Ecuaciones de Euler-Lagrange | d/dt(∂L/∂q̇ᵢ) − ∂L/∂qᵢ = 0, una por coordenada. Es la manivela: escribe T y V, gira | art. 02 |
| La manivela, girada | Partícula libre → mẍ = 0 · péndulo → mL²θ̈ = −mgL sen θ · Atwood → a = g(m₁−m₂)/(m₁+m₂) | art. 02, ej. 1 |
| La lagrangiana no es única | L′ = L + dF(q,t)/dt da las mismas ecuaciones: la derivada total solo suma una constante a S. Semilla de las transformaciones gauge | art. 02, ej. 2 |
| Braquistócrona | Cicloide. Con 2 m de avance y 1 m de caída: 0,806 s, frente a 1,010 s de la recta — un 25 % más lenta la más corta | art. 02, ej. res. 1 |
| Momento conjugado | p_q ≡ ∂L/∂q̇ — el objeto que en III.2 ascenderá a coordenada | art. 03 |
| Coordenada cíclica | Si q no aparece en L, p_q se conserva. En Kepler φ es cíclica y p_φ = mr²φ̇ es el momento angular | art. 03 · deduce la 2ª ley de Kepler de II.6 |
| Teorema de Noether (1918) | Cada simetría continua de la acción, una conservada: espacio homogéneo → p · isótropo → L · leyes que no envejecen → E | art. 03 |
| Cuándo NO se conserva cada moneda | V = mgz rompe p_z pero deja p_x, p_y · soporte que se sube (L depende de t) rompe E · sistema aislado conserva las tres | art. 03, ej. res. 1 · explica II.1 y II.4 |
| Péndulo cónico | φ cíclica → L_z = mL²sen²θ·φ̇ constante; la energía azimutal crece como L_z²/sen²θ y hace de barrera: el círculo es un mínimo, no colapsa | art. 03, ej. 2 · cobra la barrera centrífuga de II.6 |
| Fondo cósmico y energía | De 3000 K a 2,7 K sin escándalo: un universo en expansión no tiene simetría temporal, luego Noether no promete conservación | art. 03, ej. 3 |
| Cuenta en el aro giratorio | T = ½mR²(θ̇² + Ω²sen²θ), V = −mgR cos θ, con Ω impuesta desde fuera | art. 04 |
| Potencial efectivo del aro | V_ef(θ) = −mgR cos θ − ½mR²Ω²sen²θ | art. 04 · reusa el potencial efectivo de II.6 |
| Velocidad crítica | Ω_c = √(g/R). Con R = 20 cm: 7,00 rad/s = 67 rpm | art. 04 |
| Equilibrios por encima de la crítica | cos θ₀ = g/(Ω²R); a Ω = 2Ω_c los valles están en θ₀ = ±75,5° | art. 04 |
| Bifurcación de horquilla | El fondo pasa de valle a cima (V″(0) = mR²(g/R − Ω²) cambia de signo) y nacen dos valles simétricos: leyes simétricas, estado asimétrico — ruptura espontánea de simetría | art. 04, ej. res. 1 |
| Ablandamiento de modo | ω_osc = √(g/R − Ω²) → 0 al acercarse a Ω_c: las oscilaciones se vuelven infinitamente lentas. Es la firma con que se huele una bifurcación antes de verla | art. 04, ej. 1 |
| Estabilidades fabricadas por V_ef | Kapitza: zarandear el pivote añade un término efectivo ∝ sen²θ que estabiliza el péndulo invertido. V_ef puede tener valles donde V tenía cimas — quien agita, paga | art. 04, ej. 2 |
| Espontánea frente a explícita | Inclinar el eje desdobla la horquilla: una rama sobrevive suave y la otra nace como mínimo local. Ya no elige el azar, elige el sesgo | art. 04, ej. 3 |