El curso lleva doce módulos usando tres conservaciones como si fueran regalos. Emmy Noether lo demostró en 1915 y lo publicó en 1918 — la fecha por la que se cita — y dijo de dónde salen: si la lagrangiana no cambia bajo una transformación continua — desplazar el sistema, girarlo, esperar — entonces existe una cantidad que el movimiento no puede cambiar. El teorema de Noether es un diccionario exacto:
Las monedas no son accidentes: son la contabilidad de las indiferencias del universo.
El mecanismo, en versión de trabajo
La versión de andar por casa del teorema ya está dentro de la manivela: si L no depende de una coordenada q (solo de su velocidad), la ecuación de Euler-Lagrange dice d(∂L/∂q̇)/dt = 0 — la cantidad , el momento conjugado de q, se conserva. A esas coordenadas ignoradas se las llama cíclicas, y cazarlas es el primer gesto del profesional: en el problema de Kepler, L no depende del ángulo polar φ — su momento conjugado, mr²φ̇, es exactamente el momento angular, y la segunda ley de Kepler (II.6) cae sin cálculo. Noether generaliza el gesto a simetrías que no son «una coordenada que falta» sino cualquier deformación continua que deje S quieta — incluida la traslación temporal, cuya moneda es la energía.
Problema. ¿Cuándo se conserva cada moneda? Examina tres sistemas: (a) una partícula cerca del suelo (V = mgz); (b) un péndulo cuyo soporte alguien sube lentamente; (c) dos partículas aisladas interactuando entre sí.
Solución. (a) V rompe la simetría vertical (subir no es gratis): p_z no se conserva — pero x e y siguen siendo cíclicas: p_x, p_y sí, y la trayectoria parabólica de II.1 es esa mezcla exacta. (b) La lagrangiana depende del tiempo a través de L(t) del soporte: no hay simetría temporal — la energía del péndulo no se conserva (quien sube el soporte trabaja). (c) Nada distingue posiciones, direcciones ni instantes: las tres monedas completas — y por eso los choques de II.4 conservaban p y L pasara lo que pasara dentro.
Resultado. El teorema convierte la pregunta «¿qué se conserva?» — antes un acto de fe módulo a módulo — en un diagnóstico: mira qué simetrías tiene tu L y cobra las monedas correspondientes. Y al revés, que es como lo usa la física de frontera: si el experimento muestra una cantidad conservada, busca la simetría escondida que la fabrica. La mitad del Modelo Estándar del Particulario se construyó jugando ese ajedrez al revés.
La mujer del teorema
Emmy Noether demostró esto en Gotinga, adonde Hilbert y Klein la llamaron para un problema que traía de cabeza a la relatividad general recién nacida (la energía gravitatoria no parecía conservarse; su teorema explicó exactamente cuándo y por qué) — y donde la universidad le negó durante años una plaza por ser mujer, con Hilbert protestando que «esto es una universidad, no una casa de baños». Dio clases anunciadas a nombre de Hilbert, fundó de paso el álgebra abstracta moderna, y en 1933 fue expulsada por judía y murió exiliada en 1935. Einstein la llamó en su obituario «el genio matemático creativo más significativo producido desde que comenzó la educación superior de las mujeres». El teorema que organiza este curso lleva el nombre de alguien a quien el sistema intentó sistemáticamente no dejar demostrarlo.
Por qué este teorema manda en toda la física. Da un método de diseño: ¿quieres una teoría que conserve la carga? Constrúyela con la simetría correspondiente (una fase interna — la del Particulario III.1). ¿Ves que el universo en expansión no conserva la energía de la luz que viaja por él? Noether te dice exactamente por qué (el fondo cósmico envejece: no hay simetría temporal). De Lagrange a la última lagrangiana del Modelo Estándar, la física teórica es el arte de elegir simetrías y cobrar sus monedas — y ese arte tiene una fundadora con nombre y apellido.
Ejercicios
La partícula en un plano inclinado infinito (bajando según x, V = mg·x·sen α). ¿Qué momento se conserva y cuál no? Tradúcelo a la experiencia de esquiar.
Solución
La coordenada a lo largo de la curva de nivel (y, horizontal en la ladera) es cíclica: p_y se conserva — la componente de tu velocidad que traversa la pendiente nadie la toca. La coordenada de máxima pendiente no: ahí V trabaja. Por eso el esquiador que traversa mantiene su deriva horizontal mientras acelera pendiente abajo, y el descenso es la superposición limpia de ambas — la parábola de II.1 tumbada sobre la montaña. Simetrías parciales, conservaciones parciales: el teorema factura con precisión quirúrgica.
El péndulo cónico (masa girando en círculo horizontal colgada de un hilo) tiene dos coordenadas naturales: el ángulo del hilo con la vertical θ y el azimut φ. ¿Cuál es cíclica? Usa su moneda para explicar sin cálculo por qué el círculo es estable.
Solución
φ: girar el sistema alrededor de la vertical no cambia nada — se conserva L_z = mL²sen²θ·φ̇. Con L_z fijo, acercarse a la vertical (θ pequeño) exigiría φ̇ enorme y una energía cinética azimutal que crece como L_z²/sen²θ: la barrera centrífuga de II.6, renacida. El péndulo cónico vive en el mínimo de un potencial efectivo — perturbado, oscila alrededor (con una pequeña nutación), jamás colapsa al eje. Noether + potencial efectivo = estabilidad demostrada sin resolver nada: el método del Nivel III en miniatura.
En el universo en expansión, los fotones del fondo cósmico llevan 13 800 millones de años perdiendo energía por corrimiento al rojo — de 3000 K a 2,7 K. ¿Adónde «va» esa energía? Responde con Noether.
Solución
A ninguna parte — y no hay escándalo: la conservación de la energía es la moneda de la simetría temporal, y un universo en expansión no la tiene: el escenario de fondo cambia con el tiempo (como el péndulo del soporte móvil, a escala cósmica). Noether no promete conservación incondicional: promete el canje exacto simetría ↔ moneda, y aquí la simetría falta. La pregunta «¿dónde está la energía perdida del fondo cósmico?» — un clásico de los foros — está mal planteada, y el teorema de 1918 es la respuesta rigurosa. El Gravitario heredará este ejercicio con la maquinaria completa.