La hoja de problemas · Lagrange

Antes de escribir nada, pregúntate qué transformación deja el sistema exactamente igual: si desplazas todo el conjunto (cuña más bloque) horizontalmente, ¿cambia algún término de L? Esa invariancia es la que te va a regalar la cíclica, y con ella una constante del movimiento que puedes nombrar antes de calcularla. El trabajo de verdad está en T: la velocidad del bloque en el laboratorio es la suma vectorial de su velocidad relativa a la cuña y la velocidad de la cuña, así que al elevar al cuadrado aparece un término cruzado con el coseno del ángulo. Ese término cruzado es todo el problema; si no está, tu L describe otro sistema y la manivela girará en vano.

Antes de calcular, mira un detalle formal: al sustituir la longitud como función dada del tiempo, ¿aparece t explícitamente en la lagrangiana? El teorema que relaciona simetrías con conservadas contesta la primera pregunta con solo mirar eso — y de paso acota la segunda. Para el trabajo de quien recoge: la tensión, que en un péndulo de longitud fija no trabaja nunca porque es perpendicular al movimiento, aquí sí trabaja, porque ahora hay movimiento radial impuesto. Escribe la tensión en función del ángulo y de la velocidad angular antes de integrar, y observa que no es simplemente mg. Y guarda el problema: en III.3 aparecerá una cantidad que no se conserva exactamente pero casi, y este péndulo será su ejemplo estrella.

Coordenadas polares en el plano, y escribe la energía cinética con cuidado: en polares tiene dos términos y el segundo lleva un r² que es el que hace todo el trabajo después. Una de las dos coordenadas no aparece en L; cóbrala. La constante que salga tiene una interpretación geométrica que ya usaste en II.6 sin deducirla — dibuja el área que barre el radio vector en un tiempo dt, escríbela en polares y compárala con tu constante: la coincidencia no es casualidad, es una identidad. Después sustituye la conservada en la expresión de la energía para eliminar una velocidad: lo que queda es un problema en una sola variable, y el término que ha aparecido de la nada es exactamente el que en II.6 había que recitar.

Es el aro del artículo 04 con otro nombre: el ángulo de equilibrio sale de la misma competencia entre gravedad y término centrífugo, y la rama de la horquilla ya la conoces. Lo que este problema añade es el bucle: escribe el signo de dθ/dΩ (¿se abre o se cierra al acelerar?) y el signo de d(vapor)/dθ (¿qué hace la válvula al abrirse las masas?), y multiplícalos. El producto es la ganancia del lazo, y su signo decide si el regulador regula o si se embala. Para la segunda parte, recuerda qué le pasa a la frecuencia de las oscilaciones pequeñas cerca de una bifurcación (ejercicio 1 del artículo 04) y pregúntate qué le hace al lazo de control un sensor que tarda muchísimo en responder. Ahí está el «caza» que atormentó a los ingenieros victorianos y que llevó a Maxwell a fundar, en 1868, la teoría de control.

Trabaja en el sistema que gira. Ahí la perla siente, además del peso, un término centrífugo que se puede escribir como energía potencial — con signo menos, y no es una energía de verdad: es el precio de haber cambiado de sistema. Escribe V_ef(x) sustituyendo la ligadura del alambre y fíjate en la potencia de x de cada sumando: ahí está toda la magia. Y ojo con lo que hay que demostrar, que es el error habitual: «equilibrio en todas partes» no significa «V_ef tiene un mínimo», significa «V_ef no depende de x». Es una condición mucho más fuerte, y por eso solo la cumple un valor de Ω. Para la aplicación astronómica: la superficie libre de un líquido en rotación se coloca justamente donde V_ef es constante. ¿Qué forma adopta entonces, y qué instrumento daría cualquier cosa por conseguir esa forma en varios metros de diámetro sin tener que pulirla?

Para contar, escribe V_ef en el sistema que gira (las dos gravedades más el centrífugo) e impón que su gradiente se anule. Separa la búsqueda en dos familias usando la simetría: los equilibrios que caen sobre la recta que une ambos cuerpos, que salen de una única ecuación algebraica en una variable —cuenta sus raíces físicamente admisibles—, y los que no, que salen de una condición geométrica sobre las distancias a ambos cuerpos sorprendentemente simple. Para la estabilidad, la trampa mayor del problema: V_ef no contiene toda la dinámica del sistema rotante. Falta una fuerza que ningún potencial puede representar porque no trabaja nunca — la misma que desvía los vientos en II.1. Analiza los tres colineales con V_ef a secas y verás que basta; inténtalo con los otros dos y comprobarás que no basta, y que sin esa fuerza el veredicto saldría justo al revés de lo que ven los telescopios. Ahí está la gracia del problema, y la razón de que haya asteroides acampados en triángulos equiláteros.