Aquí está el corazón del Nivel III. Define la lagrangiana L = T − V y su integral a lo largo de una trayectoria, la acción:
El principio de Hamilton: entre configuraciones fijas en t₁ y t₂, la trayectoria real es la que hace S estacionaria — moverla infinitesimalmente no cambia la acción a primer orden. De esa exigencia, el cálculo de variaciones destila las ecuaciones de Euler-Lagrange:
una por coordenada generalizada. Es la manivela prometida: escribe T y V, gira, y salen las ecuaciones del movimiento — ligaduras ya digeridas, ni una flecha dibujada.
La manivela, girada dos veces
Partícula libre: L = ½mẋ². La manivela: d(mẋ)/dt = 0 — velocidad constante: la primera ley, ahora teorema. Péndulo: T = ½mL²θ̇², V = −mgL cos θ; la manivela da mL²θ̈ = −mgL sen θ — la ecuación exacta de I.1, en una línea y sin mencionar la tensión. Y el examen de potencia: el péndulo doble, que con Newton exige una página de tensiones acopladas, con Lagrange son cuatro términos de T, dos de V y la manivela — las ecuaciones que integraba el interactivo de I.5 salieron exactamente así. La receta escala sin protestar: más grados de libertad, más manivela, cero ingenio nuevo. Esa es la diferencia entre un truco y un método.
Problema. Bernoulli, 1696, desafío público: ¿por qué curva debe deslizar una cuenta para ir de A a B (más abajo, en diagonal) en el mínimo tiempo? Newton lo resolvió en una noche; la respuesta no es la recta.
Solución. Es un principio variacional con T[curva] en vez de S[trayectoria] — el mismo cálculo de variaciones. Minimizar ∫ds/v con v = √(2gy) (la energía de II.2) produce, manivela mediante, la cicloide: la curva que traza un punto de una rueda al rodar, invertida.
Resultado. Con la geometría del interactivo — 2 m de avance y 1 m de caída — la cicloide tarda 0,806 s y la recta, que es el camino más corto, 1,010 s: un 25 % más lenta. Esa es la magnitud del efecto, y no es sutil: la bajada empinada inicial compra velocidad que amortiza con creces el rodeo (el interactivo corre la carrera). El desafío de 1696 fundó el cálculo de variaciones, la herramienta de este artículo — y de paso enseñó el patrón que Hamilton elevaría a principio: las preguntas «¿qué curva optimiza?» tienen maquinaria propia, y la naturaleza parece hacérselas todas.
De A a B (2 m en horizontal), deslizando sin fricción. La recta es el camino más corto; la cicloide, el más rápido — a cámara lenta (×2) para saborearlo. Los tres tiempos salen de la misma cuadratura, exacta en cada tramo recto, así que la comparación es limpia.
La cicloide gana bajando en picado al principio: compra velocidad pronto y la amortiza el resto del camino. No es la más corta — es la mejor inversora. Mueve la caída y verás que gana siempre, aunque por poco cuando B queda muy abajo: los mínimos variacionales son planos, y cerca del óptimo casi cualquier curva sirve. Y tiene una propiedad de regalo: es tautócrona — se suelte donde se suelte la cuenta, llega abajo en el mismo tiempo (Huygens la quiso para relojes por eso).
¿Por qué T − V? El porqué llega con la cuántica
Honestidad del oficio: en mecánica clásica, L = T − V se justifica porque funciona — reproduce Newton. El porqué profundo lo dio Feynman en 1948: en mecánica cuántica la partícula explora todas las trayectorias a la vez, cada una con una fase proporcional a su acción, e^(iS/ħ). Lejos de la trayectoria estacionaria las fases vecinas se cancelan (la interferencia destructiva de I.4); cerca de ella, donde S no varía a primer orden, se refuerzan. La trayectoria clásica es donde las fases conspiran — el principio de Hamilton es interferencia cuántica vista desde lejos, y ħ minúsculo es lo que afila la conspiración hasta parecer un camino único. El Cuantario contará esa historia entera; el Anexo A del Particulario ya la usa para los campos. Aquí basta saber que este artículo no es una elegancia: es la puerta por la que la mecánica clásica se conecta con todo lo demás.
Estacionaria, no mínima. El folclore dice «mínima acción» y suele ser cierto en trayectorias cortas — pero el principio exige solo estacionariedad (a veces es punto de silla: pasa en trayectorias largas del oscilador). La distinción no es pedante: lo que la cuántica necesita es exactamente estacionariedad — donde la fase no varía — y no minimalidad. La naturaleza no ahorra: interfiere.
Ejercicios
Gira la manivela para la máquina de Atwood (dos masas m₁ > m₂ colgando de una polea ideal, coordenada x = descenso de m₁) y recupera la aceleración que Newton daría con dos diagramas y una tensión.
Solución
T = ½(m₁+m₂)ẋ², V = −(m₁−m₂)gx (m₂ sube lo que m₁ baja). Euler-Lagrange: (m₁+m₂)ẍ = (m₁−m₂)g, o sea a = g(m₁−m₂)/(m₁+m₂) — el clásico, sin tensión a la vista (y si la quisieras, Lagrange también sabe recuperarla con multiplicadores: la maquinaria da opcionalmente lo que antes era obligatorio). Una coordenada, dos escalares, cero flechas: la firma del método en el problema más venerable del laboratorio de primero.
¿Qué produce la manivela si añades a L una derivada total, L′ = L + dF(q,t)/dt? ¿Qué dice eso de la «unicidad» de la lagrangiana?
Solución
Nada nuevo: la derivada total suma F(q₂,t₂) − F(q₁,t₁) a la acción — una constante para extremos fijos, invisible a la variación. Las ecuaciones no cambian. Moraleja doble: la lagrangiana no es única (hay infinitas L para la misma física — libertad que en teoría de campos se vuelve el corazón de las transformaciones gauge del Particulario), y lo físico no es L sino la clase de trayectorias estacionarias que define. El objeto matemático correcto siempre es un poco más abstracto que su representante de carne y hueso.
La luz obedece su propio principio variacional — Fermat, 1662: el camino de tiempo mínimo. Deduce de ahí, sin cálculo, la ley de la refracción cualitativa (por qué la luz se quiebra al entrar al agua) — y la del socorrista que corre por la playa.
Solución
En el agua la luz va más lenta: el tiempo mínimo entre un punto en el aire y otro sumergido no es la recta — conviene viajar más tramo en el medio rápido y quebrar al entrar al lento, exactamente como el socorrista que corre más por la arena y nada lo justo (su «índice de refracción» es el cociente de velocidades correr/nadar). Snell sale de optimizar; el Fotonario lo hace con todas las cifras. La rima con este artículo no es casual: Hamilton descubrió su principio persiguiendo la analogía mecánica-óptica — y esa misma analogía, en manos de Schrödinger en 1926, parió la ecuación de la cuántica. El módulo III.3 la contará: la acción es la fase de algo.