Suelta no un estado sino una nube de estados — una gota de incertidumbre en el espacio de fases. El teorema de Liouville (1838) afirma: el flujo la arrastra y deforma, pero su volumen es exactamente constante — la dinámica hamiltoniana es un fluido incompresible en 2n dimensiones. La demostración cabe en dos líneas con el artículo 01: la «velocidad» del flujo es (∂H/∂p, −∂H/∂q), y su divergencia, ∂²H/∂q∂p − ∂²H/∂p∂q = 0 — el signo menos de Hamilton es, literalmente, la incompresibilidad.
500 péndulos casi idénticos — una gota de incertidumbre soltada cerca de la separatriz. Mira cómo el flujo la cizalla y filamenta: su área, jura el teorema, no cambia ni un pelo.
Al principio, gota compacta: todos los péndulos de acuerdo.
Lo que el teorema prohíbe (y lo que la fricción se salta)
Prohíbe atractores: si todas las trayectorias de una región cayeran a un punto, el volumen se contraería — imposible en un sistema hamiltoniano. Por eso los sistemas conservativos no «se calman»: no tienen adónde. La fricción viola la hipótesis (no es hamiltoniana: exporta energía a grados de libertad microscópicos que el retrato no dibuja) y por eso el péndulo real sí espirala a su fondo — el volumen que «pierde» el retrato visible lo ganan, con intereses, los 10²³ osciladores térmicos del aire y el eje. Contabilidad completa: el teorema de Liouville nunca se viola; se esconde en los grados de libertad que decidimos no mirar. Esa frase es media segunda ley de la termodinámica, y el Termario la cobrará entera.
Problema. El Termario tratará un gas como «todos los microestados de energía E son equiprobables». ¿Qué le da derecho?
Solución. Liouville. Si asignas probabilidades uniformes en una región del espacio de fases hoy, el flujo las arrastra sin comprimirlas ni diluirlas: la uniformidad sobre la superficie de energía es la única distribución que la dinámica hamiltoniana deja en paz (estacionaria). Cualquier otra medida se deformaría con el tiempo y delataría un «ahora» privilegiado.
Resultado. La equiprobabilidad microcanónica no es una hipótesis inocente ni un acto de fe: es la medida compatible con Liouville — el teorema es el puente estructural entre la mecánica de este curso y la física estadística del siguiente sitio de la familia. Cuando el Termario diga «contamos microestados», estará cobrando este artículo. (La letra fina — ergodicidad: si el sistema efectivamente explora toda la superficie — sigue siendo investigación activa; el caos de III.6 es su mejor aliado.)
El eterno retorno, con teorema
Corolario asombroso (Poincaré, 1890): en un sistema hamiltoniano confinado (energía acotada, volumen de fases finito), casi toda condición inicial vuelve arbitrariamente cerca de sí misma si esperas lo suficiente. La demostración es Liouville más el principio del palomar: las imágenes sucesivas de una regioncita conservan volumen y no caben eternamente sin solaparse. ¿Escandaloso? — ¿el gas que se expandió no debería poder volver a su rincón? Puede, y el teorema lo jura. El rescate es el tiempo: para 10²³ moléculas, el retorno tarda del orden de 10^(10²³) vidas del universo — un número al que no le caben los ceros en el universo observable. La flecha del tiempo es compatible con el eterno retorno porque la eternidad necesaria no está disponible. (El duelo Zermelo-Boltzmann sobre este punto, hacia 1896, es de las mejores peleas intelectuales de la física; el Termario venderá las entradas.)
El módulo, en limpio. (1) Legendre cambia velocidades por momentos: 2n ecuaciones de primer orden con un signo menos estructural. (2) El retrato de fases dibuja todas las historias sin resolver ninguna: centros, sillas, separatrices. (3) El corchete organiza los observables en álgebra — y la cuántica es esa álgebra con ħ. (4) Liouville: el flujo no comprime — y de ahí cuelgan la estadística y el eterno retorno. Falta el arma secreta del formalismo: cambiar de coordenadas en el espacio de fases entero sin romper nada. Transformaciones canónicas y Hamilton-Jacobi: III.3, el módulo que pediste.
Ejercicios
El oscilador amortiguado contrae área de fases a ritmo e^(−bt/m). Compruébalo con la divergencia del flujo (q̇ = p/m, ṗ = −kq − bp/m) y reconcílialo con Liouville.
Solución
div = ∂q̇/∂q + ∂ṗ/∂p = −b/m < 0: contracción uniforme, área ∝ e^(−bt/m) — todas las espirales caen al atractor del origen. Sin contradicción: este flujo no es hamiltoniano (no existe H con ese campo). El término −bp/m es el resumen fenomenológico de 10²³ grados de libertad omitidos; en el espacio de fases completo (péndulo + aire + soporte), Liouville reina. Moraleja de método: «disipación» es el nombre que damos al volumen de fases que emigra a donde no miramos.
Los aceleradores de partículas viven de Liouville: la «emitancia» de un haz (su área en el espacio de fases posición-ángulo) no se puede reducir con imanes. ¿Por qué? ¿Y cómo la reducen entonces los «enfriadores» de haces?
Solución
Imanes y cavidades son fuerzas hamiltonianas: reordenan la gota del haz (la enfocan aquí a costa de desparramarla allá) pero no comprimen su área — la emitancia es un Liouville con nombre de ingeniero, y limita cuánta luminosidad puede dar un colisionador. Enfriar exige hacer trampa legal: acoplar el haz a algo no hamiltoniano que se lleve el volumen — radiación de sincrotrón (el LEP del Particulario se autoenfrriaba radiando), enfriamiento estocástico (Nobel a Van der Meer: medir y corregir partícula a partícula, pura información — casi un demonio de Maxwell con antenas) o electrones fríos de acompañamiento. Donde veas un haz brillante, alguien está pagando la factura de Liouville fuera del haz.
La gota del interactivo se filamenta en el péndulo: se estira en hilos finísimos que «parecen» llenar la región sin llenarla. ¿Cómo convive eso con el volumen constante — y qué anuncia para el caos?
Solución
Estirarse mucho en una dirección exige adelgazar en otra: el filamento conserva el área siendo cada vez más largo y más fino — a tiempos largos, una madeja de medida intacta pero entretejida por toda la región (mézclalo con una cucharada: es exactamente remover azúcar en el café). En un sistema caótico ese estirado es exponencial (Lyapunov de I.5): la gota-incertidumbre se vuelve inservible en un tiempo logarítmico aunque su área jure que «no ha crecido». Liouville y el caos no se contradicen: se reparten los papeles — el volumen se conserva, la forma se venga. III.6 medirá esa venganza.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa — y, cuando toca, qué deuda de un módulo anterior salda cada fila. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Transformada de Legendre | H = Σᵢ pᵢq̇ᵢ − L, con pᵢ = ∂L/∂q̇ᵢ. Cambia velocidades por momentos — la misma operación que fabrica entalpía y energías libres en termodinámica | art. 01 · asciende el p de III.1 |
| Ecuaciones de Hamilton | q̇ = ∂H/∂p, ṗ = −∂H/∂q. 2n ecuaciones de primer orden, simétricas salvo un signo | art. 01 |
| Hamiltonianas de bolsillo | Oscilador p²/2m + ½kq² · péndulo p²/2mL² − mgL cos q · caída libre p²/2m + mgq | art. 01, ej. 1 |
| Cuándo H = T + V | Solo si las coordenadas (las ligaduras) no dependen explícitamente del tiempo. Con escenarios móviles H sigue generando la dinámica, pero lo que conserva es otra cosa | art. 01, ej. res. 1 |
| H que no es la energía | Aro giratorio: H = p²/2mR² − ½mR²Ω²sen²θ − mgR cos θ — el término de Ω con signo menos. Es la energía en el sistema rotante: el invariante de Jacobi | art. 01, ej. res. 1 · cobra el aro de III.1 y los puntos de Lagrange de su hoja |
| Elipses del oscilador | H = E da una elipse de semiejes √(2mE) y √(2E/k), recorrida con ω = √(k/m) sea cual sea E | art. 01, ej. 2 · redibuja el isocronismo de II.3 |
| Por qué integradores simplécticos | Respetan la conservación de volumen exactamente: su error hace oscilar la energía en vez de acumularla. Un Runge-Kutta genérico, más preciso por paso, sangra energía y hunde el planeta en un millón de órbitas | art. 01, ej. 3 |
| Espacio de fases | El estado completo es un punto (q, p) y la dinámica es un flujo. Si H se conserva, cada trayectoria es curva de nivel de H: el retrato se dibuja sin resolver nada | art. 02 |
| Retrato del péndulo | Óvalos alrededor del reposo (oscilación) + bandas onduladas arriba y abajo (molinetes) + la separatriz que los separa | art. 02 |
| Separatriz | E = 2mgL medida desde el fondo; con el cero en el centro de giro, la misma curva es H = +mgL. Llega al péndulo invertido en tiempo infinito | art. 02 |
| Gramática de retratos | (1) Los equilibrios son donde el flujo se para: centros y sillas. (2) Las curvas no se cruzan jamás — determinismo hecho topología. (3) El flujo conserva el área | art. 02 |
| Por qué en un plano no cabe el caos | Si las trayectorias no pueden cruzarse, no tienen sitio para enredarse: hace falta una tercera dimensión, la que el péndulo forzado sí tiene | art. 02 · se cobrará en III.6 |
| Período cerca de la separatriz | T ∝ ln(1/|1 − E/E_c|), pero el logaritmo es perezoso: T/T₀ = 2,35 a 0,99 E_c · 3,08 a 0,999 E_c · 7,5 a (1−10⁻⁹)E_c | art. 02, ej. res. 1 |
| Bifurcación en idioma de fases | Un centro que pare dos centros y se hace silla: eso es la horquilla vista en el retrato | art. 02, ej. 1 · traduce III.1 art. 04 |
| Qué hace la fricción al retrato | Los óvalos caen en espiral a un atractor; la separatriz asciende a frontera de cuencas. Todo el vocabulario de III.6 nace de un término −bθ̇ | art. 02, ej. 2 |
| Topología del péndulo | El espacio de fases es un cilindro (θ ≡ θ+2π): el óvalo es contraíble, la banda de molinete da la vuelta y no lo es. Ninguna deformación continua convierte una en otra | art. 02, ej. 3 |
| Corchete de Poisson | {F, G} = Σᵢ (∂F/∂qᵢ · ∂G/∂pᵢ − ∂F/∂pᵢ · ∂G/∂qᵢ) | art. 03 |
| Ley universal de evolución | dF/dt = {F, H}. Con F = q y F = p se recupera el dúo del artículo 01 | art. 03 |
| Criterio de conservación | F se conserva ⟺ {F, H} = 0. Noether en un renglón | art. 03 · comprime III.1 art. 03 |
| Corchete fundamental | {q, p} = 1 — el «uno» estructural de la mecánica | art. 03 |
| Álgebra del momento angular | {L_x, L_y} = L_z (y cíclicas); {L², L_z} = 0. Idéntica en clásica y en cuántica | art. 03, ej. 3 |
| Las conservadas generan sus simetrías | {L_z, x} = +y, {L_z, y} = −x, {L_z, p_x} = +p_y. Con δF = ε{F, L_z} se lee x → x − εy, y → y + εx, p_x → p_x − εp_y: L_z genera giros, p traslaciones, H la evolución temporal | art. 03, ej. 1 |
| El dictado de Dirac (1925) | {F, G} → [F̂, Ĝ]/(iħ). El «uno» {q, p} = 1 se convierte en [q̂, p̂] = iħ, y dF/dt = {F, H} en la evolución de Heisenberg | art. 03, ej. res. 1 |
| Conservadas que fabrican conservadas | Identidad de Jacobi: si F y G se conservan, {F, G} también. En Kepler produce el vector de Laplace-Runge-Lenz, que apunta al perihelio | art. 03, callout · explica por qué no precesan las elipses de II.6 |
| Aniquilación con signos clásicos | a = q√(mω/2) + ip/√(2mω) evoluciona como a(t) = a(0)e^(−iωt): la elipse empaquetada en un número que rota | art. 03, ej. 2 |
| Teorema de Liouville (1838) | El flujo hamiltoniano conserva el volumen de fases: su divergencia es ∂²H/∂q∂p − ∂²H/∂p∂q = 0. El signo menos de Hamilton es la incompresibilidad | art. 04 |
| Qué prohíbe Liouville | Atractores: un sistema conservativo no puede «calmarse». La fricción no lo viola — esconde el volumen en los grados de libertad que decidimos no mirar | art. 04 |
| Flujo disipativo, medido | Oscilador amortiguado (q̇ = p/m, ṗ = −kq − bp/m): div = −b/m y el área cae como e^(−bt/m). No existe H que genere ese campo | art. 04, ej. 1 |
| Por qué existe la mecánica estadística | La medida uniforme sobre la superficie de energía es la única que el flujo hamiltoniano deja estacionaria: la equiprobabilidad microcanónica no es fe, es Liouville | art. 04, ej. res. 1 |
| Recurrencia de Poincaré (1890) | En un sistema hamiltoniano confinado, casi toda condición inicial vuelve arbitrariamente cerca de sí misma. Para 10²³ moléculas: del orden de 10^(10²³) vidas del universo | art. 04 |
| Emitancia | El área de fases de un haz no la reduce ningún imán. Enfriar exige acoplar a algo no hamiltoniano: radiación de sincrotrón, enfriamiento estocástico, electrones fríos | art. 04, ej. 2 |
| Filamentación | Estirarse mucho obliga a adelgazar: el volumen se conserva y la forma se venga. En un sistema caótico el estirado es exponencial y la gota-incertidumbre muere en tiempo logarítmico | art. 04, ej. 3 · lo mide III.6 |