La hoja de problemas · Hamilton

No integres nada. Dibuja primero U(q) y superpón niveles horizontales de energía: cada corte te da los puntos de retorno de una órbita, y con p = ±√(2m(E−U)) la curva del plano de fases sale del dibujo sin resolver una sola ecuación diferencial. Clasifica los equilibrios por el signo de U″ y traduce: un mínimo de U corresponde a un tipo de punto fijo del retrato, un máximo al otro — di cuál a cuál y por qué. Para la última pregunta, haz el censo: cuenta cuántos valores de E cualitativamente distintos hay (por debajo del máximo central, justo en él, por encima) y compara ese censo con el del péndulo del artículo 02. Hay un régimen que allí no existía y aquí sí, y la diferencia está en si el movimiento «por encima» vuelve o no vuelve.

La trampa está en el orden de las operaciones. Escribe primero la energía cinética en el laboratorio, donde la cuenta tiene una velocidad radial y otra de arrastre; sustituye después la ligadura que impone el motor; y solo entonces haz la transformada de Legendre. Al pasar a H, presta mucha atención al signo con que reaparece el término de arrastre — es el mismo signo que el artículo 01 discutió, y aquí se queda solo en el escenario, sin gravedad que lo compense. Para los equilibrios, no resuelvas la ecuación del movimiento: escribe el potencial efectivo que sale de H y mira su forma. Es una parábola, y lo que decide todo es hacia dónde abre. Cuenta sus mínimos. Si te sale un número distinto del que tenía el aro por debajo de su crítica, has entendido el problema; si te sale el mismo, revisa el signo. Y para cerrar, pregúntate qué le ocurre a la energía real de la cuenta mientras H se conserva, y quién la paga: hay un motor, y el motor no sale gratis.

Escribe L_z en cartesianas y calcula los dos corchetes a mano con la convención del artículo 03 — es más corto de lo que parece si agrupas primero los términos cinéticos, que se cancelan solos y dejan únicamente la parte del potencial. Para el caso central, hazlo con V(r) genérico y usa la regla de la cadena: verás por qué el resultado no depende de qué V sea, que es justamente lo interesante. Para el anisótropo, el resultado no es cero y su forma te dice en qué configuraciones concretas deja de conservarse L_z: señálalas sobre la órbita. Y para «qué se ve», dibuja o simula una trayectoria del muelle anisótropo con la razón de frecuencias del enunciado y ponla al lado de una elipse de Kepler. Una de las dos barre áreas iguales en tiempos iguales; la otra, no — y decidir cuál mirando el dibujo es el objetivo del problema.

Escribe A(E) = ∮p dq con p despejado de la energía y deriva respecto de E bajo el signo integral: lo que aparece dentro tiene una interpretación inmediata en cuanto lo reescribas como dq partido por algo. Ese «algo» es toda la demostración. Para el oscilador, no hace falta integrar: la órbita del plano de fases es una elipse y su área se conoce sin más que identificar los dos semiejes en función de E. Para el péndulo cerca de la separatriz, tampoco hace falta la cuenta exacta: piensa qué le pasa a la pendiente de A(E) cuando la órbita se acerca a una curva que tarda un tiempo infinito en recorrerse, y describe con qué rapidez ocurre. Guarda A(E) = ∮p dq como oro: en III.3 tendrá nombre propio y será la protagonista.

Modela cada elemento como lo que hace de verdad. La lente delgada cambia p_x en proporción a x y deja x igual (en jerga de aceleradores, una patada proporcional a la distancia al eje); el vuelo libre hace justo lo contrario, cambia x en proporción a p_x y deja p_x igual. Las dos matrices son triangulares, así que sus determinantes se leen sin calcular nada — y el de cualquier secuencia de elementos es el producto de los suyos. Ese número es toda la primera parte del problema: dile qué significa geométricamente para la mancha del haz y ya tienes contestado al ingeniero. Para la segunda parte, dibuja la mancha antes y después de la lente y fíjate en que la lente la inclina sin cambiarle el área: si estrechas la proyección sobre un eje, la proyección sobre el otro tiene que crecer, y el producto de las dos tiene un suelo que no depende del dibujo. Encuentra ese suelo y ponle el nombre que le dan en aceleradores. Compruébalo después contra tu propia cámara: ¿qué relación hay entre abrir el diafragma y la profundidad de campo? Y remata con el argumento inverso, que es el que usa el ingeniero de verdad: dado un tamaño de punto de colisión que quieres conseguir, ¿qué te obliga a hacer eso con la divergencia — y qué le hace a la vida útil del haz?

Empieza por lo pequeño y con probabilidades, no con termodinámica: si cada molécula elige mitad independientemente, ¿cuál es la probabilidad de que las diez estén a la vez a la izquierda? De ahí al tiempo de retorno falta un dato que el enunciado no da — cada cuánto se «rebaraja» la configuración —, y lo tienes que estimar tú con la frecuencia de colisiones de un gas a presión ambiente (del orden de 10⁹–10¹⁰ por segundo y molécula). Después repite con 10²³ y no intentes evaluar la potencia: toma logaritmos decimales y quédate en el exponente, que es donde está la respuesta. Para la última pregunta, fíjate en un detalle: en ningún punto de tu cuenta has escrito una prohibición. ¿Qué has escrito entonces, y qué clase de ley es la segunda de la termodinámica si esto es todo lo que la sostiene?