Este curso empezó con la caída de una piedra y termina donde la física clásica sigue sin terminar: la turbulencia. A Re alto, el flujo se puebla de remolinos de TODAS las escalas — el humo del cigarro, el chorro del grifo abierto, la atmósfera entera — y la ecuación de Navier-Stokes, que los contiene todos, se vuelve intratable: caos (III.6) con infinitos grados de libertad. No hay solución general; ni siquiera está demostrado que las soluciones existan siempre y sean suaves — ese enunciado es uno de los siete problemas del milenio del Instituto Clay: un millón de dólares, disponible desde el año 2000.
La cascada de Richardson
Lo que sí se entiende es el mecanismo, y cabe en el verso que Richardson escribió en 1922 parodiando a Swift: «los grandes remolinos tienen remolinos menores que se nutren de su velocidad, y los menores, otros menores — y así hasta la viscosidad». La cascada de energía : la energía entra por arriba (el viento, la hélice, la cuchara en el café), desciende de remolino en remolino sin apenas pérdida — la viscosidad no llega a las escalas grandes — y muere en calor donde los remolinos son tan pequeños que Re local ~ 1. La turbulencia es una tubería de energía entre escalas: el café se calienta (I.3, Joule) al final de una cascada que tu cuchara alimentó por arriba.
Problema. Si la cascada solo depende del ritmo ε al que baja la energía (por kg), ¿cómo se reparte la energía entre escalas? Análisis dimensional — el arma de I.1 — en su hora más gloriosa.
Solución. El espectro E(k) (energía por número de onda k) solo puede construirse con ε [m²/s³] y k [1/m]. Única combinación posible:
Resultado. La ley de Kolmogórov (1941): en pleno caos de infinitos remolinos, el reparto de energía obedece una potencia universal — y medida: en túneles de viento, en la atmósfera, en el océano, en las corrientes de un canal de marea escocés, el −5/3 aparece con fidelidad pasmosa (hasta en los cirros que ves desde el avión: su textura fractal es la cascada congelada en hielo). No es una solución de Navier-Stokes — es una ley ESTADÍSTICA del desorden, hermana de las de III.6 y del Termario que viene: cuando la trayectoria es imposible, la estadística aún legisla. Que el resultado más robusto sobre el problema más difícil de la física clásica saliera de contar unidades es la mejor defensa del análisis dimensional jamás escrita.
El curso, en limpio — y su frontera. Diecinueve módulos: la caída de Galileo, las tres leyes, las tres monedas, ondas, caos; el Nivel II con vectores, energía, oscilaciones, cohetes, giros, órbitas y cuerdas; y el III con la acción, el espacio de fases, Hamilton-Jacobi, tensores, matrices, atractores y KAM — hasta esta última página donde la propia mecánica clásica confiesa su problema abierto. No es un final triste: es el mapa honesto — la mecánica funciona desde 1687 y aún tiene tesoros sin excavar. Los caminos desde aquí: la estadística del desorden (Termario), la mecánica de lo pequeño (Cuantario), la gravedad como geometría (Gravitario). El autobús de la familia pasa por todos. Gracias por llegar hasta la última parada.
Ejercicios
Estima la escala de Kolmogórov — donde la cascada muere — para tu café removido (ε ~ 0,01 m²/s³, ν = 10⁻⁶ m²/s; la escala es η = (ν³/ε)^(1/4)). ¿Cuántas décadas de remolinos separa tu cuchara del calor?
Solución
η = (10⁻¹⁸/0,01)^(1/4) = (10⁻¹⁶)^(1/4) = 10⁻⁴ m: una décima de milímetro. De la cuchara (3 cm) a η: dos décadas y media de remolinos encadenados — modesto. La atmósfera hace lo mismo de 1000 km a 1 mm: NUEVE décadas, y por eso simular el tiempo «resolviendo todo» es imposible (10²⁷ celdas): los modelos parametrizan la cascada por debajo de su rejilla. El límite práctico de la predicción meteorológica (I.5) es, también, un problema de esta escala — todo cierra.
¿Por qué la turbulencia MEZCLA tan bien — la leche en el café en un segundo, cuando la difusión molecular tardaría horas? Conecta con la gota de Liouville de III.2.
Solución
La cascada estira y pliega la mancha de leche en filamentos cada vez más finos (la gota de fases de III.2, ahora en fluido real): multiplica su superficie exponencialmente hasta que las capas son tan delgadas que la difusión molecular — inútil a lo grande — las remata en milisegundos. Turbulencia y difusión son socias: una pliega, la otra borra. El mismo tándem mezcla el oxígeno del océano, la contaminación urbana y el combustible de cada cilindro de tu coche (sin turbulencia, los motores no quemarían a tiempo). El desorden como servicio público.
El problema Clay pide demostrar existencia y suavidad de las soluciones de Navier-Stokes en 3D. En 2D está resuelto (sí, siempre suaves). ¿Qué tiene la tercera dimensión que rompe la baraja? (Pista: ¿qué hacen los remolinos en 3D que en 2D no pueden?)
Solución
Estirarse. En 2D los remolinos son columnas rígidas: su giro se conserva por parcela y la energía hasta sube de escala (¡cascada inversa: los huracanes se organizan DESDE la pequeña escala!). En 3D un tubo de vórtice puede estirarse (III.2: adelgazar al alargarse) y su giro se INTENSIFICA — el «vortex stretching» amplifica sin freno conocido, y nadie ha podido descartar que concentre energía infinita en un punto en tiempo finito (la «singularidad» que el millón de dólares pregunta). La patinadora de II.5, ejecutada por un filamento de vórtice, es la sospechosa del mayor problema abierto de la mecánica: el curso termina donde una idea de su primer nivel desafía al último. Buen viaje — y buena caza.
Con una salvedad que ya no se puede callar, porque el frente se ha movido. Para Euler — Navier-Stokes sin viscosidad — y con pared, Chen y Hou demostraron la formación de singularidad en tiempo finito con una prueba asistida por ordenador (Comm. Math. Phys., 2021; extendida a datos iniciales suaves en PNAS, 2025): el perfil autosemejante existe y sus cotas de error están verificadas por máquina. Y en septiembre de 2025, un trabajo de DeepMind con Brown, NYU y Stanford encontró familias enteras de singularidades autosemejantes inestables en tres ecuaciones de fluidos, descubiertas con redes neuronales guiadas por la física y afinadas casi a precisión de máquina. Ninguna de las dos cosas cobra el millón: la primera es Euler y necesita un contorno; la segunda no demuestra nada, encuentra candidatos. Pero entre las dos han cambiado la pregunta — de «¿existe alguna singularidad?» a «¿alguna de ellas es estable?» —, y esa es exactamente la que decide el problema del milenio.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa — y, cuando toca, qué deuda de un módulo anterior salda cada fila. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Qué distingue a un fluido | No aguanta esfuerzos de corte: cede y fluye. A cambio transmite fuerza de un modo nuevo — isótropo y por superficie: la presión | art. 01 |
| Ecuación hidrostática | dp/dz = −ρg. En agua, 1 atm cada 10,3 m; a 100 m de profundidad, 981 kPa | art. 01 |
| Paradoja hidrostática | Solo cuenta la altura: un tubo fino y un lago ejercen la misma presión a la misma cota. La presión pregunta «¿cuánto hay encima?», jamás «¿cuánto hay detrás?» | art. 01, ej. res. 1 |
| Principio de Arquímedes | Empuje = peso del fluido desalojado, porque las presiones solo ven el contorno y no se enteran de qué hay dentro | art. 01 |
| El iceberg proverbial | Hielo 917 kg/m³ en agua de mar 1025 ⟹ 89 % sumergido. Mar Muerto: 1240 kg/m³ | art. 01 |
| La presa, dimensionada | F = ½ρgh·(h·w) = ½ × 1000 × 9,81 × 100² × 200 ≈ 10¹⁰ N, el peso de un millón de toneladas. El centro de empuje cae a un tercio de la base: de ahí el perfil con la base gorda | art. 01, ej. res. 1 |
| Principio de Pascal | La presión se transmite íntegra: émbolos de 1 y 100 cm², 100 N levantan 10 000 N — pero el grande sube 1 cm por cada metro que baja el chico. Trabajo idéntico | art. 01, ej. 2 · la palanca de II.5 hecha líquida |
| Quien rompe es la presión, no la fuerza | Elefante de 4000 kg sobre cuatro patas de 600 cm²: 1,7×10⁵ Pa (atmósfera y media). Tacón de aguja de 1 cm² con 60 kg: 6×10⁶ Pa (unas 60 atm), 35 veces más | art. 01, ej. 1 |
| La atmósfera | 101 325 Pa al nivel del mar, ρ = 1,2 kg/m³, altura de escala ~8 km: la presión cae a la mitad cada ~5,5 km. El Everest respira un tercio de atmósfera; a 11 km queda un cuarto | art. 01, callout |
| Arquímedes con gravedad efectiva | El globo de helio en un coche que frena se va hacia atrás: la pseudogravedad apunta al parabrisas, el aire —más denso— «cae» hacia allí, y el flotador es empujado al lado contrario | art. 01, ej. 3 · usa los sistemas no inerciales de II.1 |
| Continuidad | A·v = constante: por un tubo que se estrecha, el fluido acelera | art. 02 |
| Ecuación de Bernoulli | p + ½ρv² + ρgz = constante a lo largo del flujo (fluido ideal, régimen estacionario) | art. 02 · es II.2 por unidad de volumen |
| El canje | Velocidad cara, presión barata. De ahí el venturi, el carburador, el pulverizador, la trompa de agua, la chimenea que tira sola, la vela en ceñida, el efecto Magnus y los tejados que se van en un vendaval | art. 02 y callout |
| Sustentación, con honestidad | A320 de 70 t con 120 m²: Δp = mg/A ≈ 5700 Pa, un 5,6 % de atmósfera. Lo que es falso es el «mismo tiempo»: el aire del extradós llega mucho antes. La explicación buena tiene dos caras equivalentes — deflectar aire hacia abajo (Newton) y sostener una circulación (Kutta-Zhukovski) | art. 02, ej. res. 1 |
| Tubo de Pitot | Δp = ½ρv², luego v = √(2Δp/ρ). A 250 m/s con aire a 0,4 kg/m³: 12 500 Pa. Si se hiela, miente — Air France 447 (2009) | art. 02, ej. 1 |
| Teorema de Torricelli | v = √(2gh): el agua «cae» por dentro del depósito. El chorro se estrecha después (vena contracta, ~62 % del orificio) porque las líneas de corriente no doblan en ángulo recto | art. 02, ej. 2 |
| La línea amarilla del andén | Aire arrastrado a ~15 m/s junto a un tren de 100 km/h (27,8 m/s): Δp ≈ 140 Pa y ~100 N hacia la vía sobre 0,7 m² de perfil. Física, no leyenda | art. 02, ej. 3 |
| Número de Reynolds | Re = ρvL/μ = inercia/viscosidad. Bajo: laminar y meloso. Alto: remolinos, estelas, turbulencia | art. 03 |
| Semejanza dinámica | Dos flujos con el mismo Re son dinámicamente semejantes aunque uno sea una bacteria y otro un petrolero. Maqueta 1:50 de un submarino que va a 10 m/s exigiría remolcarla a 500 m/s: de ahí los túneles presurizados a 20 atm o criogénicos | art. 03, ej. 3 |
| Transición en tubos | Re ≈ 2300. Aorta (ρ = 1060, μ = 0,004, v = 0,3 m/s, D = 2,5 cm): Re ≈ 2000, al borde exacto. Una estenosis acelera el flujo, dispara Re y la turbulencia suena: los soplos que ausculta el médico | art. 03, ej. 1 |
| Arrastre de Stokes (Re ≪ 1) | F = 6πμrv, lineal en v. Gota de llovizna (radio 0,05 mm): cae a 0,30 m/s con Re ≈ 2, al borde legal de Stokes. Gotícula de niebla, diez veces menor: cien veces más despacio — 3 mm/s, unos 11 m/h. Con esta fórmula midió Millikan la carga del electrón | art. 03 · salda la doble ley de arrastre prometida en II.1 |
| Por qué «flota» la niebla | No porque no caiga: 11 m/h vaciarían un banco de 100 m en nueve horas. La reponen la turbulencia y las corrientes ascendentes más rápido de lo que Stokes la deja bajar | art. 03 |
| Arrastre cuadrático (Re grande) | ½ρC_dAv², cobrado por la estela turbulenta: el régimen de los paracaidistas | art. 03 · completa II.1 |
| La vida a bajo Reynolds | Bacteria de 1 µm a 30 µm/s: Re = 3×10⁻⁵. Si deja de nadar se para en 0,1 µs tras recorrer ~0,1 Å. Sin inercia el flujo es reversible: el teorema de la vieira (Purcell, 1977) prohíbe nadar con gestos recíprocos — de ahí flagelos rotatorios y látigos ondulantes | art. 03, ej. res. 1 |
| Capa límite (Prandtl, 1904) | A Re alto la viscosidad se refugia en una película pegada al objeto, y el drama del arrastre es si se despega. Una capa límite turbulenta se agarra mejor: por eso la pelota de golf lleva hoyuelos y una bola lisa volaría la mitad | art. 03, callout |
| Fluidos no newtonianos | μ depende de la cizalla. Pseudoplásticos: se adelgazan al agitarse (ketchup, pintura). Dilatantes: se espesan bajo impacto (arena mojada, maicena, chaleco antibalas líquido) | art. 03, ej. 2 |
| Turbulencia | Caos con infinitos grados de libertad. Ni siquiera está demostrado que las soluciones de Navier-Stokes en 3D existan siempre y sean suaves: problema del milenio del Instituto Clay, un millón de dólares desde el año 2000 | art. 04 · III.6 con infinitas dimensiones |
| Cascada de Richardson (1922) | La energía entra por las escalas grandes, baja de remolino en remolino casi sin pérdida —la viscosidad no llega arriba— y muere en calor donde el Re local es del orden de 1 | art. 04 |
| Ley de Kolmogórov (1941) | E(k) = C·ε^(2/3)·k^(−5/3): la única combinación posible de ε [m²/s³] y k [1/m]. Medida en túneles de viento, atmósfera, océano y canales de marea — análisis dimensional en su hora más gloriosa | art. 04, ej. res. 1 |
| Escala de Kolmogórov | η = (ν³/ε)^(1/4). Café removido (ε ~ 0,01 m²/s³, ν = 10⁻⁶ m²/s): η = 10⁻⁴ m, dos décadas y media desde la cuchara. La atmósfera va de 1000 km a 1 mm: nueve décadas, 10²⁷ celdas — por eso los modelos parametrizan por debajo de la rejilla | art. 04, ej. 1 |
| Por qué la turbulencia mezcla | Estira y pliega la mancha en filamentos cada vez más finos hasta que la difusión molecular —inútil a lo grande— la remata en milisegundos. Una pliega, la otra borra | art. 04, ej. 2 · la gota de fases de III.2 en fluido real |
| Qué rompe la tercera dimensión | En 2D los remolinos son columnas rígidas y la energía hasta sube de escala (cascada inversa). En 3D un tubo de vórtice puede estirarse e intensificar su giro sin freno conocido: el vortex stretching es la sospechosa de la singularidad que pregunta el problema Clay | art. 04, ej. 3 · la patinadora de II.5, ejecutada por un filamento |
| Dónde está el frente hoy | Chen y Hou demostraron con ayuda del ordenador la singularidad en tiempo finito para Euler con contorno (2021; datos suaves en 2025), y en 2025 se encontraron con redes neuronales familias de singularidades autosemejantes inestables en tres ecuaciones de fluidos. Ninguna cobra el millón: la pregunta viva ya no es si existe alguna singularidad, sino si alguna es estable | art. 04, ej. 3 |