Último artículo del nivel, y saldo de deudas con I.4. El efecto Doppler tiene dos fórmulas — y su diferencia es un pequeño escándalo conceptual:
¿No debería dar igual quién se mueve? En un medio material, no: el aire define un reposo privilegiado. La fuente móvil comprime las ondas (a v_f → c, ¡f′ diverge!); el observador móvil solo las cosecha más deprisa (a v_o = c, apenas duplica). A velocidades cotidianas ambas convergen a f′/f ≈ 1 ± v/c y la sirena de I.4 no nota la diferencia — pero la asimetría es real, y su ausencia en el caso de la luz (sin medio que arbitre) es una de las grietas por donde entró la relatividad. Aquí queda plantada la bandera.
El cono de Mach: la velocidad hecha geometría
¿Y si la fuente alcanza a sus propias ondas? A v_f = c la fórmula divergía: todas las crestas se apilan en una sola — la barrera del sonido, que costó aviones enteros hasta 1947. Superada, las ondas quedan detrás, envolviendo a la fuente en el cono de Mach de semiángulo sen θ = c/v = 1/M (Mach 2: 30°). El paso del cono por tus oídos es el estampido sónico — y el matiz que los periódicos siempre yerran: no es el ruido de «romper la barrera» una vez; es una estela permanente que barre el suelo mientras el avión sea supersónico — por eso el Concorde solo aceleraba sobre el océano, y por eso el estampido del látigo del artículo 03 suena cada vez. La versión náutica la has visto: la V de un pato nadando es un cono de Mach de ondas de superficie; y la versión luminosa existe — la radiación de Cherenkov, el «boom» azul de partículas que superan a la luz en el agua — y el Particulario la usa para cazar neutrinos.
Problema. Oyes el estampido cuando el avión — que vuela a 3000 m — está ya 5,2 km por delante de tu vertical. ¿A qué Mach vuela?
Solución. El cono llega con retraso: tan θ = 3000/5200 → θ = 30°, y
Resultado. Mach 2 — medido con un transportador y sin radar: la geometría del cono es el velocímetro. El mismo triángulo, con la luz de Cherenkov, mide la velocidad de neutrinos y muones en los tanques de Super-Kamiokande: el ángulo del anillo azul dicta la física. Un estampido molesto y un Nobel comparten trigonometría.
El 1/r² y el final de la energía
Queda cerrar la contabilidad de II.2: la energía de una onda viaja, y en tres dimensiones se reparte. Una fuente que emite potencia P baña cada esfera de radio r con intensidad I = P/4πr² — el 1/r² geométrico que comparte con la gravedad, y la razón de que el concierto se apague con la distancia (−6 dB por cada duplicación: la aritmética logarítmica de I.4). La excepción confirma: ondas confinadas no diluyen — el sonido en un tubo (el «teléfono» de hilo y dos latas, los estetoscopios) y las olas de un canal llegan lejos porque su energía no tiene esfera donde repartirse. Y los 60 W de una orquesta sinfónica entera (¡esa es toda su potencia acústica!) explican por qué las salas de conciertos son cáscaras diseñadas al milímetro: no amplifican — administran migajas con la física de este módulo.
El Nivel II, en limpio. Siete módulos: vectores y v²/R; trabajo, potenciales y el mapa de la energía; el oscilador con su Q y sus modos; el CM, Tsiolkovski y el impulso; el diccionario del giro y sus tres monedas; Kepler, la vis-viva y las mareas; y la cuerda — la ecuación de ondas, Fourier, la impedancia y el cono de Mach. Es el equipaje completo del Taylor y el French: con él se calcula la mecánica de casi todo lo visible. El Nivel III lo reconstruirá desde arriba — Lagrange, Hamilton, el caos con matemáticas y los fluidos — y demostrará lo que aquí se midió. Nos vemos en la acción.
Ejercicios
El radar de tráfico mide el Doppler de su propio eco. Emite a 24 GHz; un coche a 120 km/h se acerca. ¿Qué corrimiento total mide el aparato? (Ojo: el eco sufre Doppler dos veces.)
Solución
El coche es observador que se acerca (recibe f más alta) y reemisor móvil (devuelve más alta aún): el corrimiento se dobla, Δf = 2f·v/c = 2 × 24×10⁹ × 33,3/3×10⁸ ≈ 5,3 kHz. El cacharro no mide frecuencias absolutas (imposible a una parte en 10⁷): bate el eco contra la emisión — la técnica del afinador de I.4 — y cuenta el batido de 5,3 kHz, audible si quisieran. Multa por interferencia: I.4 + este artículo, embolsados a 24 GHz.
La ecografía Doppler mide flujo sanguíneo con el mismo principio. ¿Qué corrimiento produce sangre a 0,5 m/s con ultrasonido de 5 MHz en tejido (c = 1540 m/s)? ¿Es medible?
Solución
Δf = 2f·v/c = 2 × 5×10⁶ × 0,5/1540 ≈ 3,2 kHz — y aquí la naturaleza regala una carambola: el batido cae en pleno rango audible, así que los ecógrafos lo reproducen por el altavoz: el «fiu-fiu» del latido fetal que se oye en las consultas es literalmente el corrimiento Doppler de la sangre, convertido en sonido sin más procesamiento que un batidor. Pocas veces una fórmula se deja escuchar tan directamente.
Un fuego artificial estalla a 500 m y su estampido te llega a ~100 dB. La normativa limita el ruido en la zona de lanzamiento (a 15 m) — estima cuánto marca allí el sonómetro y por qué los pirotécnicos llevan protección seria.
Solución
De 500 a 15 m hay un factor 33 en r: la intensidad sube 33² ≈ 1100 veces — unos +30 dB: ~130 dB, umbral del dolor y territorio de daño instantáneo. La regla compacta: −6 dB por duplicación de distancia, +6 por mitad — y por eso la distancia es el protector auditivo más barato que existe. El 1/r² que apaga conciertos es exactamente el que ensordece pirotécnicos: la geometría no toma partido.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Ecuación de ondas | ∂²y/∂t² = (T/μ)·∂²y/∂x², deducida aplicando F = ma a un elemento de cuerda: la fuerza restauradora es la CURVATURA local | art. 01 |
| Velocidad en una cuerda | v = √(T/μ) — rigidez sobre inercia. Cualquier forma f(x − vt) la satisface: los pulsos viajan sin deformarse | art. 01 |
| Fundamental de una cuerda fija | Cabe media longitud de onda: λ = 2L, luego f = v/2L = √(T/μ)/2L | art. 01 |
| Tensión de una guitarra | La de 110 Hz con L = 64,8 cm y μ = 5,2 g/m: λ = 1,30 m, v = 143 m/s y T = μv² = 106 N — unos 11 kg por cuerda, ~60 kg de tirón permanente sobre la tapa | art. 01, ej. res. 1 |
| El piano | ~230 cuerdas a 700–900 N suman 18–20 toneladas. Por eso el arpa interior es un puente de hierro fundido, y lo es desde 1825 exactamente por esta fórmula | art. 01, ej. res. 1 |
| Los tres mandos del lutier | Tensión (f ∝ √T: subir un semitono, +5,9 % en f, exige +12 % de tensión) · longitud (el traste, con la doceava raíz de dos serigrafiada en el mástil) · densidad lineal μ (el entorchado) | art. 01 |
| Medir tensión con un cronómetro | Cable de 200 m y μ = 1,2 kg/m con el pulso de vuelta en 4 s: v = 400/4 = 100 m/s y T = μv² = 12 000 N. Técnica real de inspección de remontes y puentes colgantes | art. 01, ej. 1 |
| Cuerdas graves | A T y L iguales, μ ∝ 1/f²: bajar dos octavas pide ×16 en μ. Se consigue con entorchado (alma flexible más camisa metálica pesada), porque nailon macizo sería rígido y desafinaría los armónicos altos | art. 01, ej. 3 |
| Teorema de Fourier | Toda función periódica se escribe como suma de senos armónicos con las amplitudes adecuadas | art. 02 |
| La onda cuadrada | y = (4/π)·(sen ωt + sen 3ωt/3 + sen 5ωt/5 + …): solo armónicos impares, decayendo como 1/n | art. 02 |
| Suavidad y espectro | Saltos (cuadrada) → 1/n; esquinas, es decir derivada discontinua (triángulo) → 1/n². Cuanto más suave la onda, más rápido cae su espectro — y saturar un amplificador FABRICA esquinas, o sea armónicos nuevos | art. 02, ej. 2 |
| Timbre = espectro | Flauta casi fundamental puro; violín repartido en decenas de armónicos; clarinete favorece los impares por ser tubo cerrado. La cóclea hace el análisis de Fourier en hardware, con resonadores afinados de grave a agudo | art. 02 |
| Dónde se pulsa la cuerda | La forma inicial reparte las amplitudes, y ningún modo con NODO en el punto de pulsación puede sonar. En el centro mueren los armónicos pares (sonido redondo); junto al puente, espectro rico y brillante | art. 02, ej. res. 1 |
| Los macillos del piano | Colocados a 1/7–1/8 de la cuerda precisamente para asesinar el séptimo armónico, el primero que desafina con la escala | art. 02, ej. res. 1 |
| Afinar comparando armónicos | Una quinta La 110 / Mi 165 se afina con el tercer armónico del La (330 Hz) contra el segundo del Mi (330 Hz). La escala temperada exige quintas ligeramente impuras: batidos lentos a propósito (~1 Hz) | art. 02, ej. 3 |
| Impedancia de una cuerda | Z = √(Tμ) | art. 03 |
| Coeficiente de reflexión | R = (Z₁ − Z₂)/(Z₁ + Z₂), con Z₁ el medio por el que llega la onda. Sale de exigir desplazamiento continuo y fuerza neta nula sobre un nudo sin masa | art. 03 |
| Los casos límite | Z iguales: R = 0, pasa todo y la frontera no existe · Z₂ mayor: R negativo y el pulso vuelve INVERTIDO · extremo fijo (Z₂ infinita): R = −1 · extremo libre (Z₂ nula): R = +1, vuelve entero y derecho | art. 03 |
| Casar impedancias | De aire a agua, Z salta un factor ~3600 y rebota el 99,9 % de la energía. El gel de la ecografía y los huesecillos del oído medio (que valen ~30 dB) existen para adaptar; la campana de la trompeta es un adaptador gradual | art. 03 |
| Las estacionarias, explicadas del todo | La cuerda es una cavidad entre dos espejos de impedancia, y sus armónicos son las únicas ondas que sobreviven a sus propios reflejos | art. 03 |
| El látigo supersónico | μ cae órdenes de magnitud del mango a la punta, así que v = √(T/μ) crece y la velocidad del extremo se dispara para conservar la energía: la punta pasa de Mach 1 — el primer objeto fabricado por el ser humano en romper la barrera del sonido | art. 03, ej. res. 1 |
| El signo del eco como diagnóstico | Vuelve invertido = anclaje rígido, como debe. Vuelve derecho = el extremo se comporta como libre: anclaje suelto o tramo dañado. La FASE del eco delata la naturaleza de la frontera | art. 03, ej. 2 |
| Doppler, las DOS fórmulas | Fuente móvil: f′ = f·c/(c − v_f), que diverge cuando v_f → c. Observador móvil: f′ = f·(c + v_o)/c, que a v_o = c apenas duplica. En un medio material el aire define un reposo privilegiado; a velocidades cotidianas ambas dan 1 ± v/c | art. 04 |
| Cono de Mach | sen θ = c/v = 1/M (Mach 2 → 30°). El estampido no es el ruido de romper la barrera una vez: es una estela permanente que barre el suelo mientras el avión sea supersónico | art. 04 |
| Medir Mach con un transportador | Estampido oído cuando el avión (3000 m de altura) está ya 5,2 km por delante: tan θ = 3000/5200 → θ = 30°, y M = 1/sen θ = 2 | art. 04, ej. res. 1 |
| Parientes del cono | La V de un pato nadando; y la radiación de Cherenkov — partículas más rápidas que la luz EN EL AGUA — que Super-Kamiokande usa para cazar neutrinos leyendo el ángulo del anillo azul | art. 04 |
| Intensidad y distancia | I = P/4πr²: −6 dB por cada duplicación de distancia, +6 por cada mitad. Las ondas confinadas (un tubo, un canal) no diluyen, porque no tienen esfera donde repartirse | art. 04 |
| Doppler de ida y vuelta | El eco sufre Doppler dos veces: Δf = 2f·v/c. Radar de 24 GHz con un coche a 120 km/h → 5,3 kHz; ecografía Doppler de 5 MHz con sangre a 0,5 m/s en tejido (c = 1540 m/s) → 3,2 kHz, en pleno rango audible | art. 04, ej. 1 y 2 |
| La distancia como protector auditivo | De 500 a 15 m hay un factor 33 en r y 1100 en intensidad: +30 dB. Un estampido de 100 dB a 500 m marca ~130 dB en la zona de lanzamiento — umbral del dolor | art. 04, ej. 3 |
| Potencia acústica de una orquesta | ~60 W en total, la orquesta sinfónica entera. Las salas de conciertos no amplifican: administran migajas con la física de este módulo | art. 04 |