Queda la pieza que conecta el módulo con la carne y el acero: el impulso — la integral de la fuerza en el tiempo, que es exactamente el cambio de momento:
Léelo como un contrato: Δp está fijado por el choque (de 50 km/h a cero, punto); lo negociable es el reparto entre F y t. Todo el diseño de seguridad — y media técnica deportiva — es negociación de ese reparto.
La negociación, con números
Problema. Ocupante de 70 kg a 50 km/h (13,9 m/s; Δp = 972 kg·m/s). Compara la fuerza media al detenerse contra el salpicadero (~20 ms), con cinturón (~150 ms) y con cinturón + airbag (~250 ms).
Solución. F = Δp/Δt en cada caso:
Resultado. El mismo Δp: 71g letales, 9g serios, 6g contusos — el factor doce que separa la crónica de sucesos del susto se compra entero con milisegundos. El airbag no es un cojín: es un comprador de tiempo (y de superficie: reparte los newtons en más cm² — la presión también negocia). La rodilla flexionada de I.2, el guante del portero, la red del trapecista: todos son el mismo contrato con distinta prima.
El otro sentido: fabricar momento
El contrato funciona igual para dar velocidad. El palo de golf toca la bola medio milisegundo y le imprime 70 m/s: fuerza media 6300 N — 14 000 veces el peso de la bola; durante ese instante, la gravedad es un rumor. De ahí una regla técnica universal que ahora puedes justificar: el follow-through (acompañar el golpe) de golfistas, tenistas y karatecas no añade fuerza mágica — alarga el contacto, y con él el ∫F dt entregado. Y su reverso: el karateca que rompe la tabla busca lo contrario en la retirada — su puño entrega ~1 kN en 5 ms, y la tabla (que rompe a ~700 N) no tiene tiempo de doblarse elásticamente y repartir. Golpear rápido es elegir que el objeto responda con su rigidez, no con su elasticidad: el mantel de I.1, en versión cinturón negro.
El módulo, en limpio. (1) El centro de masas se mueve como una partícula: las fuerzas internas no existen para él. (2) Los choques se rinden en el marco CM; masas iguales trasvasan (billar, moderadores), dispares rebotan, y los 90° delatan gemelos. (3) El cohete es momento integrado: Δv = v_e ln(m₀/m_f), y el logaritmo dicta la astronáutica entera. (4) J = ∫F dt = Δp: el tiempo del choque es negociable y en esa negociación van vidas. El módulo II.5 pone todo esto a girar: rotación y momento angular.
Ejercicios
El gato del módulo II.1 aterriza de 27 m/s «repartiendo» la frenada: patas extendidas, flexión completa, ~60 cm de recorrido. Estima la g media que sufre — y compárala con el humano rígido de I.2 (2 cm).
Solución
a = v²/2d = 27²/1,2 ≈ 610 m/s² ≈ 62g — brutal pero repartida por cuatro patas de resorte y un cuerpo de 4 kg (la fuerza absoluta, ~2,4 kN, es modesta). El humano rígido a la misma velocidad con 2 cm: 1860g — no hay biología para eso. La ventaja compuesta del gato: terminal baja (tamaño, II.1) por recorrido largo (impulso, este artículo) por masa pequeña (escalado, I.3). La leyenda de las siete vidas es un teorema en tres factores.
¿Por qué un martillo de 1 kg clava lo que tu brazo empujando con todas tus fuerzas (300 N sostenidos) no mueve un milímetro?
Solución
El martillo llega a ~8 m/s y se detiene en ~1 mm: fuerza media F = mv²/2d ≈ 32 000 N — cien veces tu empujón, durante un cuarto de milisegundo. El clavo necesita superar un umbral de fuerza (el rozamiento estático de la madera, I.2): 300 N eternos no lo alcanzan jamás; 32 kN instantáneos, cada golpe. El martillo es un banco de impulso: acumulas Δp barato durante medio segundo de swing y lo liquidas en un instante carísimo. Toda herramienta de percusión — y todo aplauso — es este arbitraje temporal.
Los cohetes de la hoja II.1 despegan a 1,2–1,5g pero sus cargas se diseñan para aguantar ~6g. ¿De dónde salen los otros g — si el motor empuja suave?
Solución
Del final de cada etapa: el empuje es constante pero la masa mengua (Tsiolkovski quemándose), así que a = F/m crece sin parar — el Saturno V pasaba de 1,2g en la rampa a ~4g justo antes de apagar la primera etapa (y los transbordadores estrangulaban motores para no pasar de 3g con tripulación). Más los picos de impulso: encendidos, apagados y separaciones son escalones de fuerza en milisegundos — vibración y sacudida que dimensionan la electrónica. La ecuación del cohete da el Δv; el impulso, los sustos por el camino. Ambos son este módulo.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Centro de masas | R = Σ m_i r_i / M — el promedio de posiciones ponderado por masas | art. 01 |
| Teorema del centro de masas | M·R̈ = F_externa total. Las fuerzas internas se cancelan por pares (tercera ley): el CM de un obús que estalla sigue su parábola | art. 01 |
| Baricentro Tierra-Luna | R = m_L·d/(m_T + m_L) = 4670 km del centro de la Tierra — dentro del planeta (R = 6371 km). El bamboleo se mide, y así se descubrieron los primeros exoplanetas | art. 01, ej. res. 1 |
| El marco del centro de masas | Momento total cero por construcción: todo choque se ve simétrico. El LHC colisiona haces opuestos precisamente para que el laboratorio SEA el marco CM | art. 01 |
| Reparto de desplazamientos | En razón inversa de masas: dos patinadores de 60 y 90 kg que se empujan recorren 6 m y 4 m, y el CM no se mueve | art. 01, ej. 1 |
| La barca y el paseo | Caminar 4 m sobre una barca de 120 kg pesando 70 kg la recula 4×70/190 = 1,47 m, y tú avanzas solo 2,53 m respecto del agua | art. 01, ej. 2 |
| El truco de Fosbury | La gravedad solo cobra por elevar el CM: arqueado sobre el listón, el CM pasa 5–10 cm por debajo de él | art. 01, ej. 3 |
| Choque elástico frontal (blanco en reposo) | v₁′ = ((m₁−m₂)/(m₁+m₂))·v₁ · v₂′ = (2m₁/(m₁+m₂))·v₁ | art. 02 |
| Los tres casos límite | Masas iguales: traspaso total (billar) · m₁ mucho mayor: el blanco sale a 2v₁ y el proyectil ni se entera · m₁ mucho menor: rebote casi perfecto | art. 02 |
| Choque perfectamente inelástico | Quedar pegados pierde la máxima energía posible… y ni un gramo·metro por segundo de momento | art. 02 |
| La receta CM, en tres pasos | (1) resta a todo v_CM = m₁v₁/(m₁+m₂); (2) en el marco CM el choque es trivial — elástico: las velocidades se invierten; inelástico: se anulan; (3) devuelve v_CM | art. 02 |
| Péndulo balístico | Dos etapas en orden: choque (momento sí, energía no) y subida (energía sí). v′ = √(2gh) y v = ((m+M)/m)·v′. Bala de 10 g en bloque de 2,00 kg que sube 20,2 cm → 400 m/s | art. 02, ej. res. 1 |
| Lo que sobrevive a un choque pegado | Fracción de energía cinética m/(m+M): en el péndulo balístico, 0,5 % — el 99,5 % se pierde astillando madera. Quien iguale energías se equivoca en un factor doscientos | art. 02, ej. res. 1 |
| La firma de los 90° | Masas iguales en choque elástico 2D salen en ángulo recto: conservar p da v₁ = v₁′ + v₂′ y conservar E da v₁² = v₁′² + v₂′² — Pitágoras exige perpendicularidad | art. 02 |
| Moderadores nucleares | El neutrón conserva [(m₁−m₂)/(m₁+m₂)]² de su energía por choque frontal: hidrógeno 0, carbono (11/13)² = 0,72, plomo (206/208)² = 0,98. Por eso agua o grafito, y jamás plomo | art. 02, ej. 2 |
| Ecuación de Tsiolkovski | Δv = v_e·ln(m₀/m_f). Sale de m·dv = v_e·dm e integrar 1/m — el logaritmo es el único paso | art. 03 |
| Velocidades de escape de gases | Química buena: 3–4,5 km/s, el límite del enlace molecular. Motor iónico de xenón: 30 km/s, pero con empujes de milinewtons | art. 03 |
| La tiranía del logaritmo | Ganar v_e pide m₀/m_f = e (dos tercios de combustible); 2v_e pide e² = 7,4 (86 %); los ~9,4 km/s de la órbita baja con v_e = 3,2 km/s piden 19 — un 95 % de combustible | art. 03 |
| Por qué existen las etapas | Con un 8 % de masa estructural, una sola etapa da como mucho Δv = 3,2·ln(12,5) = 8,1 km/s: no llega. Soltar el tanque vacío re-arranca la ecuación con mejor cociente | art. 03, ej. res. 1 |
| Números reales | Saturno V: 2970 t para poner 140 t en órbita (cociente global 21). Falcon 9: 550 t para ~18 t. La sonda Dawn sumó 11 km/s de Δv con 425 kg de xenón | art. 03 |
| Pérdidas gravitatorias | Cada segundo subiendo lento regala g·t de Δv: ~1,2–1,5 km/s de los 9,4 presupuestados. De ahí el perfil de despegue a 1,2–1,5 g y acelerón al enrarecerse el aire | art. 03, ej. 2 |
| Lo que cuesta reutilizar | Falcon 9: −23 % de carga a LEO (22,8 t desechable frente a 17,5 t) y −34 % a GTO (8,3 frente a 5,5 t). Sale barato porque la primera etapa se suelta pronto (~2 km/s) y casi vacía | art. 03, ej. 3 |
| Impulso | J = ∫F dt = Δp. Léelo como contrato: Δp lo fija el choque; lo negociable es el reparto entre fuerza y tiempo | art. 04 |
| Los tres finales de un mismo choque | Ocupante de 70 kg a 50 km/h: Δp = 972 kg·m/s. Salpicadero (20 ms) → 49 kN = 71 g · cinturón (150 ms) → 6,5 kN = 9,4 g · cinturón y airbag (250 ms) → 3,9 kN = 5,7 g | art. 04, ej. res. 1 |
| Fabricar momento | Palo de golf: 45 g a 70 m/s en 0,5 ms → 6300 N de fuerza media, 14 000 veces el peso de la bola. El follow-through no añade fuerza mágica: alarga el contacto y con él la integral | art. 04 |
| Golpear rápido, al revés | El karateca entrega ~1 kN en 5 ms y la tabla (que rompe a ~700 N) no tiene tiempo de doblarse y repartir: golpear rápido es elegir que el objeto responda con su rigidez, no con su elasticidad | art. 04 |
| El gato que aterriza | a = v²/2d: 27 m/s frenados en 60 cm son 610 m/s² = 62 g, pero solo 2,4 kN sobre 4 kg. El humano rígido con 2 cm de recorrido: 1860 g | art. 04, ej. 1 |
| El martillo como banco de impulso | 1 kg a 8 m/s detenido en 1 mm: F = mv²/2d = 32 000 N, cien veces un empujón sostenido de 300 N. El clavo necesita superar un umbral de fuerza, no de energía | art. 04, ej. 2 |
| Las g de un cohete | El empuje es constante pero la masa mengua: a = F/m crece sin parar. El Saturno V pasaba de 1,2 g en la rampa a ~4 g justo antes de apagar la primera etapa | art. 04, ej. 3 |
| DART (2022), datos | 580 kg a 6,1 km/s contra Dimorphos (~4,3×10⁹ kg); el Δv medido fue 2,70 ± 0,10 mm/s y el período orbital se acortó 33 min (se esperaban 7), mayor que el que da el balance de momento de la sonda sola — la diferencia la aporta la eyecta del cráter. Hera (ESA, lanzada en 2024) va a medir la masa y el cráter, que son el denominador que hoy falta | hoja 05, problema 4 |