El cohete es conservación del momento en régimen continuo: expulsa masa a velocidad v_e y se queda el retroceso. La dificultad — que el cohete se aligera mientras empuja — la resolvió Tsiolkovski con la integral más famosa de la ingeniería. Resultado, la ecuación del cohete:
Dos protagonistas: la velocidad de escape de los gases v_e (química buena: 3–4,5 km/s — el límite del enlace molecular) y el cociente entre masa inicial y final. Y un villano: el logaritmo. Para ganar v_e de velocidad necesitas que 2/3 del cohete sea combustible (m₀/m_f = e); para ganar 2v_e, e² ≈ 7,4 — un 86 %; para los ~9,4 km/s que cuesta la órbita baja (7,9 de velocidad más las pérdidas por gravedad y aire), con v_e = 3,2 km/s: m₀/m_f = e^2,94 ≈ 19 — un 95 % de combustible, dejando un 5 % para motores, tanques, estructura y carga. La tiranía prometida desde I.1, con su fórmula.
Elige el motor (vₑ: queroseno ~3,0 · hidrógeno ~4,4 · iones ~30, pero sin empuje) y cuánto del cohete es combustible. La barra dice hasta dónde llegas — y contra qué muros.
Δv = 6.1 km/s. No orbitas: el logaritmo pide más — y cada punto de combustible extra rinde menos que el anterior.
Problema. Con v_e = 3,2 km/s y un 8 % de masa estructural por tanque (lo mínimo que la ingeniería sabe hacer), demuestra que una sola etapa apenas alcanza la órbita — y que dos etapas la alcanzan con carga.
Solución. Una etapa: aun sin carga útil ninguna, m_f incluye el 8 % estructural: m₀/m_f ≤ 1/0,08 = 12,5, y Δv = 3,2 × ln 12,5 = 8,1 km/s — no llega. Dos etapas: cada una aporta Δv = 4,7 km/s con cociente e^(4,7/3,2) = 4,3 — cómodo con 8 % de estructura y hueco para carga; al agotar la primera, se tira el tanque vacío y la segunda arranca ligera.
Resultado. La etapa es la única escapatoria legal del logaritmo: soltar masa muerta a mitad de camino re-arranca la ecuación con mejor cociente. Los números reales obedecen: el Saturno V pesaba 2970 t y puso 140 t en órbita (cociente global 21); un Falcon 9, 550 t para ~18 t. Toda la arquitectura de la astronáutica — etapas, propulsantes densos abajo y eficientes arriba, la obsesión por cada kilo seco — es gestión del interior de un logaritmo.
Lo que la ecuación prohíbe y lo que insinúa
La ecuación también dicta el futuro. ¿Marte con retorno? Δv total ~15–20 km/s: con química (v_e ≤ 4,5) los cocientes se vuelven grotescos — de ahí el repostaje en órbita o fabricar combustible allí. ¿Subir v_e? Los motores iónicos expulsan xenón a 30 km/s: cocientes de masa ridículos… con empujes de milinewtons — aceleran sondas durante años, no lanzan nada desde el suelo (la Dawn de la NASA sumó 11 km/s de Δv con 425 kg de xenón: imposible químicamente). La ecuación no dice cómo ir rápido: dice qué arquitectura corresponde a cada viaje — química para despegar, iones para persistir, y para las estrellas… otra física. El logaritmo es el contable; elegir v_e es la estrategia.
De dónde sale (hazlo una vez en la vida). En dt, el cohete de masa m expulsa dm de gas a velocidad v_e respecto de sí: conservar momento da m·dv = v_e·dm, o sea dv = v_e·dm/m. Integrar 1/m — el único paso — regala el logaritmo. Toda la tragedia astronáutica vive en que la ganancia va con d(ln m), no con dm: los primeros kilos de combustible empujan cohete lleno; los últimos, cohete vacío. Por eso se cuenta desde el final.
Ejercicios
Deduce cuánto Δv «regala» soltar la primera etapa vacía del ejemplo (estructura del 8 % de una etapa de 400 t) justo antes de encender la segunda (150 t). ¿Compensa el coste de llevar dos motores?
Solución
Soltar 32 t de tanque muerto antes de quemar la segunda etapa mejora su cociente de (150+32)/(f+32) a 150/f — con la segunda al 90 % de combustible (f = 15 t final): de ln(182/47) = 1,35 a ln(150/15) = 2,30. Con v_e = 3,2: +3 km/s por el gesto de abrir cuatro pernos explosivos. Ningún motor extra pesa eso. En el logaritmo, la masa muerta al final del vuelo es la más cara del universo — y por eso los cohetes tiran de sí mismos por el camino.
La NASA da al Falcon 9 v_e ≈ 3,0 km/s (nivel del mar). ¿Qué fracción del empuje del despegue se «gasta» en sostener el cohete contra la gravedad durante el primer minuto — y por qué entonces conviene quemar rápido?
Solución
Todo segundo pasado subiendo lento regala g·t de Δv a la gravedad: son las «pérdidas gravitatorias» (~1,2–1,5 km/s de los 9,4 presupuestados). Quemar más rápido acorta t y las reduce — pero sube el arrastre (v² en aire denso) y las g estructurales: el perfil real (despegar a ~1,2–1,5 g, acelerar fuerte al enrarecerse el aire) es el compromiso optimizado entre este ejercicio y el II.1. El Δv de un cohete no se gasta solo en ir rápido: se gasta en dejar de estar abajo — y el cronómetro es parte de la factura.
Recuperar la primera etapa le cuesta al Falcon 9 en torno a un 23 % de la carga útil a LEO (22,8 t desechable frente a ~17,5 t posando en barcaza) y un 34 % a la órbita de transferencia geoestacionaria (8,3 t contra 5,5 t). ¿Por qué solo eso, según la propia ecuación que hace todo tan caro?
Solución
Porque la primera etapa se suelta pronto (a ~2 km/s) y casi vacía: frenar y posar esa masa ligera a esa velocidad moderada pide un Δv modesto, pagadero con el margen de combustible que la ecuación castiga poco al principio del logaritmo (combustible extra en m₀ apenas duele; en m_f, muchísimo). Un cuarto de la carga no es calderilla — el retorno al punto de lanzamiento, más exigente que la barcaza, se acerca a un tercio —, pero se compra una etapa entera. Compáralo con reutilizar la segunda, que se suelta a 7,8 km/s y con los tanques secos: ahí la penalización se come la misión, y por eso tardó otra década y exige naves como Starship. La ecuación de Tsiolkovski no solo explica por qué el espacio es difícil: explica exactamente qué partes de la dificultad se pueden comprar baratas. Y el mercado le ha dado la razón con datos: en 2025 solo ocho de los ciento sesenta y cinco lanzamientos de Falcon 9 usaron un propulsor nuevo, y en julio de 2026 uno de ellos alcanzó su trigésimo sexto vuelo. Ese cuarto de carga útil resultó ser el mejor descuento por volumen de la historia de la astronáutica.