Recapitula el hallazgo del artículo 02: las trayectorias mecánicas son ortogonales a las superficies S = constante, que avanzan como frentes. En óptica geométrica pasa lo mismo: los rayos son ortogonales a los frentes de fase constante, gobernados por la ecuación eikonal — que es, término a término, Hamilton-Jacobi con el índice de refracción jugando el papel del potencial. La analogía óptico-mecánica de Hamilton:
Durante noventa años fue una elegancia de museo. Este artículo cuenta cómo se convirtió en la ecuación más importante del siglo XX.
La pregunta de Schrödinger
La óptica geométrica — rayos, eikonal — no es la verdad de la luz: es el límite de longitud de onda corta de la óptica ondulatoria. Los rayos son una aproximación que ignora la difracción y la interferencia, válida mientras λ sea pequeña frente a los obstáculos (el murciélago de I.4 lo sabía). En 1925, con de Broglie proponiendo ondas de materia, Schrödinger tomó la analogía de Hamilton en serio y la leyó al revés: si la mecánica clásica tiene la estructura exacta de una óptica geométrica… ¿de qué óptica ondulatoria es el límite? Buscó la ecuación de ondas cuya eikonal fuera Hamilton-Jacobi — el ansatz es escribir la onda como ψ = e^(iS/ħ) y exigir que a orden ħ⁰ se recupere HJ — y la encontró en las navidades de 1925:
La ecuación de Schrödinger no se «dedujo» de nada más profundo: se construyó para que la mecánica de este curso fuera su límite de longitud de onda corta — con λ = h/p, la longitud de de Broglie, haciendo de λ de la luz. La mecánica clásica entera — Newton, Lagrange, Hamilton, este módulo — es la óptica geométrica de la onda ψ.
Problema. Calcula la longitud de de Broglie de (a) un electrón a 100 eV, (b) una mota de polvo de 1 µg a 1 mm/s, y dictamina quién vive en régimen ondulatorio.
Solución. λ = h/p. (a) Electrón: p = √(2mE) ≈ 5,4×10⁻²⁴ kg·m/s → λ ≈ 0,12 nm — el tamaño de un átomo: el electrón en un cristal está en pleno régimen de difracción (Davisson y Germer la midieron en 1927: la confirmación de todo esto). (b) La mota: p = 10⁻¹² kg·m/s → λ ≈ 6,6×10⁻²² m — diez mil billones de veces menor que un núcleo.
Resultado. Para la mota — y para balones, péndulos y planetas — la longitud de onda es tan absurdamente corta que el límite eikonal es exacto a todos los efectos: por eso este curso funciona. La mecánica clásica no es «falsa»: es la óptica geométrica de ondas cuya λ no cabe en el universo de lo cotidiano. Y el criterio del murciélago (λ frente a tamaño) decide quién necesita al Cuantario: electrones en átomos, sí; motas de polvo, jamás.
El módulo — y la mecánica teórica — en limpio. Las canónicas dan la libertad total del espacio de fases; HJ la lleva al límite comprimiendo la dinámica en una función S; acción-ángulo cosecha relojes, frecuencias sin resolver, invariantes adiabáticos y la primera cuantización; y la analogía óptico-mecánica revela qué era todo esto: el límite clásico de una mecánica ondulatoria, con S como fase y ħ como cuanto de acción. Pocas veces un formalismo «superfluo» — nadie necesitaba HJ para resolver péndulos — resultó ser el andamio exacto de la siguiente física. Es el mejor argumento que conozco para estudiar estructura y no solo recetas — y el cierre del arco que empezó en la caída de Galileo.
Ejercicios
El principio de Fermat (luz: tiempo mínimo) y el de Maupertuis (mecánica: ∫p dq estacionaria a energía fija) son los dos lados de la analogía. Comprueba la correspondencia: ¿qué juega el papel del índice n en mecánica?
Solución
Fermat minimiza ∫n ds; Maupertuis, ∫p ds — el momento local p = √(2m(E−V)) es el índice de refracción mecánico: grande donde V es bajo (la partícula «refracta» hacia los valles de potencial, como la luz hacia el vidrio). El socorrista de III.1 era esta correspondencia en la playa. Y la lente electrónica de un microscopio la usa al pie de la letra: electrodos que crean valles de potencial son lentes para electrones, diseñadas con trazado de rayos mecánico — óptica de Hamilton con soldador.
En el límite eikonal, la fase acumulada por un camino es S/ħ. Usa la imagen de Feynman de III.1 (todas las trayectorias, fases e^(iS/ħ)) para explicar en tres frases por qué ħ pequeño = mundo clásico, y qué experimento rompe el límite.
Solución
Con ħ minúsculo frente a las acciones en juego, caminos vecinos difieren en fases enormes y se cancelan — salvo alrededor del de S estacionaria: solo sobrevive la trayectoria clásica. Cuando la acción del problema se acerca a ħ (electrones en átomos: S ~ pocas veces ħ), la cancelación es incompleta y muchos caminos contribuyen: interferencia de materia. El experimento canónico es la doble rendija con electrones — votado en 2002 «el más bello de la física» — donde cada electrón interfiere consigo mismo: la mecánica de caminos múltiples que la clásica resume en uno. El Cuantario abre con él; este curso te deja en la puerta con el marco entendido.
Los espejismos de carretera son la analogía funcionando en dirección óptica: el aire caliente sobre el asfalto tiene n menor. Descríbelo como un «potencial» y di qué trayectoria mecánica es el análogo del rayo que ves.
Solución
n creciendo con la altura equivale a un potencial que decrece hacia arriba para el rayo: la luz rasante se curva hacia arriba — se «refleja» sin espejo, y ves el cielo en el suelo: el espejismo. El análogo mecánico exacto es la trayectoria de un proyectil en un potencial invertido cerca del suelo — o, más bonito, el rebote del espejo magnético del artículo 03: partícula que penetra en zona «cara», se frena en su avance y da la vuelta. Espejismo, espejo magnético y barrera de potencial son el mismo fenómeno en las tres ópticas — la de la luz, la de los plasmas y la de la mecánica. La analogía de Hamilton no era una metáfora: era un teorema con tres oficios.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa — y, cuando toca, qué deuda de un módulo anterior salda cada fila. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Transformación canónica | Cambio (q, p) → (Q, P), que puede mezclar posiciones con momentos, y que respeta las ecuaciones de Hamilton para cualquier hamiltoniana | art. 01 |
| Criterio de canonicidad | {Q, P} = 1. Conservar el «uno» estructural conserva la mecánica entera, Liouville incluido: toda canónica preserva el volumen de fases | art. 01 · usa el corchete de III.2 |
| Canónica y no canónica | (Q, P) = (p, −q) sí: {p, −q} = +1. El intercambio ingenuo (p, q) no: {p, q} = −1. El signo protege la orientación del espacio de fases — el sentido de giro es física, no convenio | art. 01, ej. 1 |
| Transformación de escala | Q = λq, P = p/λ es canónica para todo λ. Con λ = √(mω) el oscilador queda H = (ω/2)(P² + Q²): poner m = ω = 1 es elegir una escala canónica, no hacer trampa | art. 01, ej. 2 |
| Generatriz tipo F₂(q, P) | p = ∂S/∂q, Q = ∂S/∂P. S = qP es la identidad. Canónica por teorema, sin comprobar corchetes | art. 01 |
| Generatriz tipo F₁(q, Q) | p = ∂F₁/∂q, P = −∂F₁/∂Q — otra función y otras reglas. F₁ = qQ intercambia papeles: Q = p, P = −q | art. 01 |
| El oscilador, resuelto cambiando variables | F₁ = ½mωq²·cot Q da q = √(2P/mω)·sen Q, p = √(2Pmω)·cos Q y H = ωP; entonces Ṗ = 0, Q̇ = ω y sale q(t) = A sen(ωt + φ) sin integrar nada | art. 01, ej. res. 1 |
| La dinámica misma es canónica | Llevar cada estado a donde estará en t es una transformación canónica, con la acción clásica de generatriz. De ahí Liouville y los integradores simplécticos | art. 01, callout |
| Pasar al sistema rotante | Canónica dependiente del tiempo: la nueva hamiltoniana gana −ΩL_z, es decir K = E − ΩL_z, el invariante de Jacobi | art. 01, ej. 3 · da partida de nacimiento a las fuerzas ficticias de II.1 y al H ≠ E de III.2 |
| Ecuación de Hamilton-Jacobi | H(q, ∂S/∂q) + ∂S/∂t = 0: una sola ecuación en derivadas parciales para una sola función escalar. Quien tiene S tiene todo, porque p = ∂S/∂q | art. 02 |
| Qué es S | La acción de III.1, evaluada sobre las trayectorias reales: el objeto que se definió para variar resulta ser el que se calcula para resolver | art. 02 · cierra el círculo de III.1 art. 02 |
| Caso sin tiempo explícito | S = W(q) − Et, y la ecuación se vuelve H(q, ∂W/∂q) = E | art. 02 |
| Separación de variables | Una coordenada cíclica = un sumando lineal en W. Kepler en polares: W = W_r(r) + L·φ con W_r = ∫√(2m(E + GMm/r) − L²/r²) dr | art. 02 · fabrica el potencial efectivo que II.6 recitaba |
| Dónde no separa | Péndulo doble, tres cuerpos. Esa frontera es la frontera del caos | art. 02 · la cruza III.6 |
| S como frente de onda | Las superficies S = constante avanzan como frentes y las trayectorias las cruzan siempre en perpendicular, porque p = ∇S. HJ es la eikonal de la mecánica | art. 02, ej. res. 1 |
| Teoría canónica de perturbaciones | Las constantes de la separación son los elementos orbitales; la perturbación los hace derivar despacio. GPS con J₂: Ω̇ = −(3/2)·J₂·(R⊕/a)²·n·cos i = −0,039°/día (unos 14° al año) con a = 26 560 km e i = 55° | art. 02, ej. 3 |
| Variable de acción | J = (1/2π)∮ p dq — el área encerrada por la órbita en el retrato de fases, entre 2π | art. 03 · cobra el problema 4 de la hoja de III.2 |
| Ángulo conjugado | θ̇ = ∂H/∂J = ω(J): las frecuencias se calculan derivando H, sin resolver el movimiento | art. 03 |
| Oscilador en acción-ángulo | J = E/ω, luego H = ωJ — lineal — y ω = ∂H/∂J no depende de J: isocronismo en una línea. El péndulo real curva H(J) y su ω cae con la amplitud hasta anularse en la separatriz | art. 03, ej. 1 · tercera y definitiva versión de II.3 |
| Toros | Con varios grados de libertad separables, un par (J, θ) por grado: el movimiento vive en toros recorridos con varias frecuencias a la vez | art. 03 · III.6 se los juega enteros |
| Invariancia adiabática | J sobrevive a cambios lentos del sistema con error exponencialmente pequeño en la lentitud: la órbita deformada despacio sigue encerrando la misma área | art. 03 |
| Péndulo que se acorta | J = E/ω constante ⟹ E ∝ ω ∝ L^(−1/2); y como E = ½mgLθ₀², la amplitud angular crece como L^(−3/4): reducir L a la mitad la aumenta un 68 % | art. 03 · cobra el problema 2 de la hoja de III.1 |
| Espejo magnético | J ∝ E_⊥/B invariante ⟹ E_⊥ crece con B; como el campo no trabaja, E_∥ se agota y la partícula rebota. Cinturones de Van Allen (1958); es la «invariante μ» de los físicos de plasmas | art. 03, ej. res. 1 |
| Fondo cósmico | Cada modo es un oscilador cuya ω baja al expandirse el universo: J = E/ω ⟹ E ∝ ω, y un espectro de Planck cae a otro Planck más frío (T ∝ 1/a) | art. 03, ej. 2 · cierra con III.1 art. 03 el expediente de «la energía perdida» |
| Bohr-Sommerfeld (1915) | ∮ p dq = nh, con h la constante que ya tenía unidades de acción. Da los niveles de Bohr exactos y E = nħω para el oscilador | art. 03 |
| La partícula en una caja | Ida y vuelta: ∮ p dq = 2pL = nh ⟹ E = n²h²/8mL², exactamente el espectro cuántico. Cada estado ocupa una celda de área h del espacio de fases | art. 03, ej. 3 |
| Dónde fracasó la vieja cuántica | Donde el sistema no es separable — el helio. La misma frontera del artículo 02, otra vez | art. 03 |
| Analogía óptico-mecánica (1834) | trayectoria ↔ rayo · S ↔ fase · V(q) ↔ n(q) · Maupertuis ↔ Fermat · Hamilton-Jacobi ↔ eikonal | art. 04 |
| Índice de refracción mecánico | Fermat minimiza ∫n ds y Maupertuis ∫p ds: el momento local p = √(2m(E−V)) es el índice — grande donde V es bajo. Las lentes electrónicas se diseñan con trazado de rayos mecánico | art. 04, ej. 1 |
| Ecuación de Schrödinger | iħ ∂ψ/∂t = −(ħ²/2m)∇²ψ + Vψ. Se construyó para que la mecánica clásica fuera su límite de longitud de onda corta, con λ = h/p de de Broglie y el ansatz ψ = e^(iS/ħ) a orden ħ⁰ | art. 04 |
| Por qué no vemos la onda | Electrón a 100 eV: p = 5,40×10⁻²⁴ kg·m/s → λ = 0,123 nm, el tamaño de un átomo. Mota de 1 µg a 1 mm/s: λ = 6,6×10⁻²² m | art. 04, ej. res. 1 |
| Criterio de mundo clásico | Con ħ minúsculo frente a la acción en juego, las fases vecinas se cancelan y sobrevive una sola trayectoria. Cuando S ~ ħ, muchos caminos contribuyen: doble rendija con electrones | art. 04, ej. 2 · cobra la imagen de Feynman de III.1 |