Para todo movimiento periódico existe la pareja de variables perfecta. La variable de acción,
— el área encerrada por la órbita en el retrato de fases, la del problema 4 de la hoja de Hamilton — y su conjugado, el ángulo θ, que avanza uniformemente: θ̇ = ∂H/∂J = ω(J). El oscilador del artículo 01 (H = ωP) era esto: P era J. En estas variables, todo movimiento periódico es un reloj — y las frecuencias se calculan sin resolver el movimiento: deriva H(J) y listo. Para sistemas con varios grados de libertad separables, un (J, θ) por cada uno: el movimiento vive en toros — donuts en el espacio de fases — recorridos con varias frecuencias a la vez. Guarda la imagen del toro: III.6 se la jugará entera.
El superpoder: la invariancia adiabática
Aquí viene lo que nadie espera. Acorta lentamente la cuerda de un péndulo (el problema 2 de la hoja III.1): la energía no se conserva (trabajas contra la tensión), la frecuencia cambia (ω = √(g/L) sube)… pero el cociente E/ω — que es exactamente J — se queda quieto. La acción es un invariante adiabático: sobrevive a cambios lentos del sistema con error exponencialmente pequeño en la lentitud. La intuición geométrica es Liouville en miniatura: la órbita deformada lentamente sigue encerrando la misma área. Con números del péndulo: acortar L a la mitad multiplica ω por √2, luego E por √2 — y como E = ½mgLθ₀², la amplitud angular crece como L^(−3/4): un 68 %. El interactivo lo deja medir.
Acorta o alarga la cuerda del péndulo mientras oscila. La energía y la frecuencia cambian — su cociente, la acción, resiste… si vas despacio.
Recoge de 2 m a 0,5 m despacio: ω se duplica, E se duplica — y J se queda (fluctúa dentro del ciclo: compárala siempre en el mismo punto del vaivén). Ahora sube la velocidad de recogida y repite: el invariante se rompe — «adiabático» significa lento comparado con el período, y la promesa solo vale a ese precio. Los cinturones de Van Allen viven de que el campo terrestre cambia en horas y el rebote de sus partículas dura segundos.
Problema. Un electrón gira en hélice alrededor de una línea de campo magnético que se va estrechando (B crece hacia los polos terrestres). ¿Por qué «rebota» antes de llegar al polo?
Solución. El giro ciclotrón es un movimiento periódico rápido con su acción: J ∝ E_⊥/B (la energía del giro entre el campo). Si B cambia despacio a lo largo de la hélice — y lo hace: miles de giros por cada avance apreciable — J es invariante adiabático: E_⊥ crece en proporción a B. Pero la energía total E_⊥ + E_∥ sí se conserva (el campo magnético no trabaja): al ganar E_⊥, la partícula pierde avance E_∥… hasta pararse y rebotar donde B alcanza el valor crítico.
Resultado. Un espejo sin superficie, hecho de geometría de campo. Dos espejos enfrentados — el campo terrestre entre los polos — forman una botella: los electrones y protones atrapados rebotan de polo a polo en segundos, durante años — los cinturones de Van Allen (1958, primer descubrimiento de la era espacial). La misma botella magnética confina el plasma de los reactores de fusión tipo espejo, y la «invariante μ» de los físicos de plasmas es esta J con su nombre de trabajo. Un teorema de mecánica analítica sostiene la magnetosfera.
La acción cuantizada: la vieja cuántica
El superpoder adiabático resolvió un enigma de 1911: si un péndulo cambia lentamente, ¿qué magnitud suya podría estar «cuantizada» sin contradecirse? Einstein respondió en la primera Conferencia Solvay: la que no cambia — la acción. De ahí la regla de Bohr-Sommerfeld (1915): las órbitas permitidas son las de acción entera,
con h la constante de Planck — la constante que ya tenía unidades de acción esperando a esto. Aplicada al hidrógeno produce los niveles de Bohr exactos; al oscilador, E = nħω. La «vieja cuántica» (1913–1925) fue exactamente esta receta: mecánica de acción-ángulo con J obligada a ser entera — funcionó de milagro donde el sistema era separable, fracasó con el helio (no separable — el caos otra vez), y su fracaso parió la cuántica de verdad. Pero la semilla era esta variable: ħ es un cuanto de área de fases, y contar estados cuánticos es, aún hoy, contar celdas de tamaño h en el espacio de fases de este módulo. El Termario contará estados así; el Cuantario explicará por qué funciona.
Tres cosechas de una variable. Frecuencias sin resolver (ω = ∂H/∂J: así se calculan las oscilaciones de los asteroides y los «años» de cualquier sistema); robustez adiabática (espejos magnéticos, péndulos acortados, y hasta la expansión del universo enfriando radiación); y la puerta histórica a la cuantización. No está mal para «el área del retrato dividida por 2π». En III.6, los toros de acción-ángulo serán el orden que el caos intenta — y no siempre logra — destruir: el teorema KAM.
Ejercicios
Calcula J para el oscilador (área de la elipse de III.2 entre 2π) y deduce ω = ∂H/∂J. ¿Qué tiene de especial el resultado — y qué sistema NO lo comparte?
Solución
Área = π·√(2mE)·√(2E/mω²)... entre 2π: J = E/ω, o sea H = ωJ — lineal. Entonces ω = ∂H/∂J = ω: constante, independiente de J — el isocronismo, por tercera y definitiva vez (II.3 lo midió, III.2 lo dibujó, aquí es un enunciado de una línea: H lineal en J). El péndulo real no lo comparte: su H(J) se curva y ω cae con la amplitud — hasta anularse en la separatriz. «Cómo se curva H(J)» es el carné de identidad dinámico de cada sistema, y el dato que KAM pedirá en III.6.
El fotón en el universo en expansión: la radiación del fondo cósmico se enfrió de 3000 K a 2,7 K manteniendo su espectro térmico perfecto. Explícalo como invariancia adiabática — la expansión es lentísima comparada con el período de la luz.
Solución
Cada modo de radiación es un oscilador cuya frecuencia baja al estirarse el universo (λ crece con la escala a). Invariante adiabático: J = E/ω constante ⟹ E ∝ ω — la energía de cada modo cae en proporción exacta a su frecuencia. Un espectro de Planck tiene E/ω distribuido de forma que esa caída simultánea lo lleva a otro espectro de Planck de temperatura menor (T ∝ 1/a): el enfriamiento cósmico preserva la forma térmica sin que nada «termalize». El fondo de microondas es el invariante adiabático mejor medido de la historia — y el ejercicio 3 de Noether (III.1) más este cierran juntos el expediente de «la energía perdida del universo».
La regla ∮p dq = nh aplicada a una partícula en una caja de longitud L (rebotando entre paredes): deduce los niveles de energía permitidos, y compáralos con el resultado cuántico exacto.
Solución
Ida y vuelta: ∮p dq = 2pL = nh ⟹ p = nh/2L y E = n²h²/8mL² — que es exactamente el espectro cuántico de la caja (la vieja cuántica acierta aquí al 100 %: pasa en los sistemas más simples). La lectura honda: los niveles están igualmente espaciados en J (no en E), a un h por estado — cada estado cuántico ocupa una celda de área h del espacio de fases. Cuando el Termario cuente microestados «dividiendo el espacio de fases entre h³», estará usando esta caja; cuando el Cuantario resuelva la caja con ondas, verás por qué salía exacto: n medias longitudes de onda — la cuerda de guitarra de I.4, que era la respuesta desde el principio.