Dificultad ●○○–●●●, pistas sin soluciones: la pista da el camino, nunca el resultado. El lema del módulo como método: si el problema se resiste, no lo empujes — cámbiale las variables.
Comprueba que S(q, P) = qP + εq (con ε constante) genera una traslación del momento, y que S = qP + εP genera una traslación de la posición. ¿Qué función generaría la evolución temporal de una partícula libre durante un intervalo τ?
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Las tres son generatrices del tipo F₂(q, P), así que solo necesitas dos ecuaciones: p = ∂S/∂q y Q = ∂S/∂P. Escríbelas antes de tocar nada y aplícalas mecánicamente a cada S; después nombra, en cada caso, qué variable ha quedado desplazada y cuál intacta. Para la evolución libre, la generatriz que buscas es la solución de Hamilton-Jacobi para H = p²/2m: plantea la ecuación, obsérvala un segundo (p es constante, así que integrar en el tiempo es inmediato) y saldrá la forma de S sin esfuerzo. Aviso de convenio, que es donde se cae todo el mundo y donde se cuelan los signos: con F₂ las nuevas variables (Q, P) son las constantes del movimiento, de modo que Q resulta ser la posición de partida, no la de llegada. Decide el signo mirando eso, no de memoria, y comprueba tu resultado poniendo τ = 0.
El problema 2 de la hoja III.1, por fin cuantitativo: un péndulo de 2 m oscilando con 5° de amplitud se acorta lentamente hasta 0,5 m. Calcula amplitud angular, energía y frecuencia finales, y verifica quién pagó la diferencia.
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Empieza nombrando el invariante correcto: lo que sobrevive a un cambio lento no es la energía sino la acción, J = E/ω. A partir de ahí es álgebra — pero hay una trampa que se lleva por delante a casi todo el mundo: la longitud aparece dos veces, una dentro de ω y otra dentro de la energía de la oscilación, y hay que meter las dos. Escribe E en función de la amplitud angular antes de sustituir: ¿cuánta energía tiene un péndulo que oscila con amplitud θ₀? No es ½mv² a secas — hay una longitud escondida en la altura que la masa sube, y ese es el término que decide el exponente. Verifícate al final con un test de coherencia: multiplica tu θ₀(L) por lo que corresponda y comprueba que E/ω sale efectivamente independiente de L; si no sale, el exponente está mal. Y para el «quién pagó»: integra el trabajo de la tensión a lo largo de la recogida, recordando que la tensión media de un péndulo que oscila no es mg (hay una contribución centrífuga y otra del coseno del ángulo).
Para la órbita de Kepler, las acciones radial y angular cumplen H = −(GMm)²m/[2(J_r + J_φ)²]. Sin resolver nada: deduce de ahí que la frecuencia radial y la angular son iguales, y qué tiene eso que ver con que las elipses no precesen.
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No calcules las frecuencias: derívalas. En acción-ángulo cada frecuencia es la derivada parcial de H respecto de su acción, así que basta mirar de qué combinación de acciones depende H para saber si las dos derivadas coinciden — es una observación, no una cuenta. Traduce después la igualdad de frecuencias a geometría: si la oscilación radial (perihelio a afelio y vuelta) tarda lo mismo que la vuelta angular completa, ¿dónde está el móvil cuando cierra una vuelta? La segunda parte gana si la haces al revés: pregúntate qué tendría que cambiar en H para que las dos frecuencias dejaran de ser iguales, y qué le ocurre entonces a la elipse. Busca dos correcciones reales al 1/r² —una terrestre y otra de Mercurio— y comprueba lo frágil que es esta degeneración.
El artículo 03 aplicó ∮p dq = nh a la caja y salió exacta; su ejercicio 1 ya te dio J = E/ω para el oscilador. Los dos casos fáciles están hechos, así que aquí se pide lo contrario: dos sistemas donde la receta de 1915 falla, y de dos maneras distintas. (a) El rotor rígido — masa girando libre en círculo —, contra el resultado cuántico exacto E = ħ²ℓ(ℓ+1)/2I. (b) La pelota que rebota sin pérdidas sobre el suelo bajo gravedad, contra el espectro exacto, que va por ceros de la función de Airy. Dictamina, en cada uno, qué acierta y qué se le escapa — y por qué no es el mismo fallo dos veces.
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Son dos integrales de una línea cada una. Rotor: el momento conjugado del ángulo es constante, así que la integral sobre una vuelta es trivial y de ahí a la energía hay un paso. Compárala con el exacto término a término y verás que la discrepancia no es un sumando suelto sino un producto: escribe los dos como polinomios en el número cuántico y di cuál de los dos crece más deprisa y desde dónde. Pelota: la órbita del plano de fases va del suelo al punto de retorno y vuelve, con p = √(2m(E − mgz)); la integral es inmediata y te deja E en función de n con un exponente que no es 1 ni 2 — ese exponente es media respuesta, y conviene que lo prediga antes el análisis dimensional que la integral. Después compara con el exacto: los ceros de Airy no están igualmente espaciados, y Bohr-Sommerfeld reproduce su tendencia pero no su arranque. Ahí está la clave del apartado (b), y es la misma que hace falta para el oscilador: la receta cuenta órbitas clásicas, y una órbita clásica de energía mínima es una partícula perfectamente quieta apoyada en el suelo. Búscale al problema su experimento — hay neutrones ultrafríos rebotando en un espejo horizontal cuyos niveles se midieron uno a uno — y comprueba con qué corrección al entero n encaja mejor.
Volvemos a la caja del ejercicio 3 del artículo 03 — la misma partícula rebotando entre dos paredes — pero allí la caja estaba quieta y solo se contaban niveles; aquí se mueve. Una pared se acerca lentamente: v_pared ≪ v_partícula. Usa la invariancia de J = 2pL/2π para deducir cómo crece la energía al comprimir — y compara con la ley adiabática de los gases (TV^(γ−1) = const, γ = 3 para una dimensión). ¿Acabas de deducir termodinámica sin estadística?
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Escribe J para la partícula que rebota (cuidado: un ciclo completo del movimiento son dos travesías de la caja) y decláralo constante. Eso te da p(L) de inmediato, y de ahí E(L) por la relación entre energía cinética y momento. Es media línea. La otra mitad del problema es la traducción, que es lo que vale nota: para comparar con TV^(γ−1) = const hay que decidir qué es «T» y qué es «V» para una sola molécula en una dimensión — la temperatura es energía cinética media, y el «volumen» de un sistema unidimensional es una longitud. Sustituye γ = 3 y compara las dos leyes término a término. Si coinciden, conviene que te preguntes qué has metido de contrabando: ¿dónde exactamente está la hipótesis de que el proceso es reversible, y qué la rompería?
La invariancia adiabática exige «cambio lento comparado con el período». Un péndulo con energía creciente lentamente se acerca a la separatriz, donde el período diverge (III.2). ¿Qué le pasa al invariante al cruzar de oscilar a voltear? Conéctalo con los cinturones de Van Allen que sí pierden partículas.
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Vuelve a la hipótesis del teorema y ponla a prueba literalmente: «lento comparado con el período». Escribe qué le pasa al período cuando la energía se acerca a la de la separatriz (lo cuantificaste en la hoja de III.2, problema 4) y decide si existe algún ritmo de cambio que siga mereciendo el nombre de «lento» ahí. Segunda pieza, geométrica y decisiva: compara el área encerrada por la órbita justo antes de cruzar con la de la órbita justo después. ¿Son iguales? Si no lo son, el invariante no puede pasar de una a otra de forma continua, y lo que ocurra al cruzar dependerá de un detalle diminuto — pregúntate cuál, y qué implica que dependa de él. Para la magnetosfera, identifica primero quién hace de separatriz (el cono de pérdida) y qué invariante juega el papel de J (el momento magnético μ): a partir de ahí es el mismo argumento con otro vocabulario, y las auroras son el recibo.
Al terminar esta hoja generas transformaciones a voluntad, cobras invariantes adiabáticos en péndulos, pistones y magnetosferas, y sabes exactamente qué acertó y qué no la primera cuántica. El módulo III.4 baja de la abstracción al taller: el sólido rígido — tensores de inercia, Euler, y una raqueta de tenis con un teorema propio.