Llevemos el programa del artículo 01 al extremo: buscar la transformación canónica que lo trivializa todo — nuevas variables donde nada se mueva (todas constantes). La generatriz S(q, P, t) que lo consigue debe anular la nueva hamiltoniana, y esa exigencia es la ecuación de Hamilton-Jacobi:
una sola ecuación (en derivadas parciales) para una sola función escalar. Quien tiene S tiene todo: los momentos son p = ∂S/∂q y las trayectorias se leen derivando. Y la identidad que corona el curso: esa S es la acción de III.1, evaluada sobre las trayectorias reales — el objeto que definimos para variar, convertido en el que se calcula para resolver.
Cómo se usa: separar y cosechar
Para H sin tiempo explícito, S = W(q) − Et y la ecuación se vuelve H(q, ∂W/∂q) = E. Su poder práctico es la separación de variables: si el problema tiene simetrías, W se parte en sumandos de una variable cada uno — y una EDP imposible se vuelve integrales de una variable. El problema de Kepler en polares: W = W_r(r) + L·φ, con
— reconoce bajo la raíz el potencial efectivo de II.6: Hamilton-Jacobi fabrica la reducción que allí hicimos a mano, y de paso resuelve la órbita completa (Jacobi resolvió así en 1842 hasta el geodésico en el elipsoide, un problema intratable por fuerza bruta). La receta profesional: una coordenada cíclica = un sumando lineal; cada simetría separa una variable. Donde no hay simetrías suficientes — el péndulo doble, los tres cuerpos — la ecuación no separa, y esa frontera es la frontera del caos: III.6 la cruzará.
Problema. Dibuja las superficies S = constante de una partícula libre y de una en caída, y observa qué hacen las trayectorias respecto de ellas.
Solución. Libre: S = p·q − Et, superficies = planos perpendiculares a p que avanzan con el tiempo — y las trayectorias las cruzan en perpendicular. En caída: las superficies se curvan, y las parábolas de los proyectiles las atraviesan siempre en perpendicular (p = ∂S/∂q = ∇S: el momento es el gradiente de S, y el gradiente es normal a las superficies de nivel).
Resultado. Familias enteras de trayectorias ortogonales a superficies que avanzan: es exactamente la geometría de los rayos y frentes de onda de la óptica — con S jugando el papel de la fase. Hamilton lo vio en 1834: la mecánica de partículas y la óptica geométrica son el mismo formalismo (su «analogía óptico-mecánica»), con la ecuación de Hamilton-Jacobi como la eikonal de la luz. Durante 90 años fue una curiosidad elegante. Luego alguien la tomó en serio — la historia del artículo 04, y quizá la mejor del curso.
¿Para qué tanto aparato? Legítima pregunta: para resolver el oscilador ya bastaba II.3. Tres respuestas. Práctica: HJ es el método más potente de la mecánica celeste — la teoría de perturbaciones que predice mareas de satélites y correcciones GPS se construye sobre él. Estructural: HJ define las variables acción-ángulo (artículo 03) sobre las que se enuncian KAM y el caos moderno. Y profética: la ecuación de Schrödinger nació literalmente de esta página — como verás en dos artículos. Nadie estudia HJ por el oscilador: se estudia porque es el puente.
Ejercicios
Resuelve la caída libre con HJ: H = p²/2m + mgq. Separa S = W(q) − Et, integra W, y recupera la parábola derivando ∂S/∂E = constante.
Solución
W = ∫√(2m(E − mgq))dq = −(2/3)·(2m)^½·(E − mgq)^(3/2)/(mg). La condición ∂S/∂E = const da t + √(2m(E−mgq))/(mg) = const — despeja y ahí está q(t) = q₀ − ½gt² (+v₀t con la fase). Galileo por el camino más largo jamás recorrido — ese es el chiste estándar del método, y es justo: la ganancia de HJ nunca está en los problemas que ya sabías resolver. Está en que S te da familias de soluciones de golpe y en lo que S significa.
¿Por qué una coordenada cíclica produce en W un sumando lineal (W ⊃ L·φ), y qué objeto de la óptica es el análogo exacto de esa contribución?
Solución
Cíclica significa p_φ = L constante, y p_φ = ∂W/∂φ: integrar da L·φ, lineal. Su análogo óptico es la fase de una onda plana — crece linealmente en la dirección de propagación con pendiente fija (el vector de onda k). Una simetría = un «tono puro» en la fase S: la descomposición de W en sumandos es el análisis de Fourier de la mecánica, con las simetrías eligiendo las notas. Cuando en cuántica las funciones de onda del átomo lleven factores e^(imφ), estarás viendo este sumando con ħ en el denominador.
El GPS corrige sus relojes con teoría de perturbaciones sobre las órbitas: la Tierra no es esférica (achatamiento J₂) y las órbitas de los satélites precesan. ¿Por qué el marco natural de ese cálculo es HJ y no F = ma?
Solución
Porque la órbita kepleriana exacta ya está resuelta en HJ (las constantes de la separación son los elementos orbitales: semieje, excentricidad, inclinación…), y la perturbación J₂ se trata como una hamiltoniana pequeña que hace derivar lentamente esas constantes — el nodo de un GPS regresa 0,039°/día, unos 14° al año, y la fórmula (Ω̇ = −³⁄₂ J₂ (R⊕/a)² n cos i, con a = 26 560 km e i = 55°) sale en tres líneas de teoría canónica de perturbaciones. Con F = ma integrarías a ciegas millones de vueltas; con HJ, las «constantes que ya no lo son» te dan la física directamente. Toda la mecánica celeste práctica — de las efemérides de Le Verrier al mantenimiento de Starlink — vive en este esquema: resolver lo resoluble exactamente, y dejar que lo demás mueva despacio las constantes.