Dificultad ●○○–●●●, pistas sin soluciones cerradas. La brújula del módulo, en tres pasos y un aviso. Primero, mira qué dos fases hay y qué signo tiene Δv: eso, y sólo eso, decide hacia dónde se inclina la línea. Segundo, antes de usar la forma integrada pregúntate a cuántos kelvin estás del ancla y a qué fracción de Tc estás trabajando; con L constante el margen es ±20 K, y por encima de 0,7 Tc no vale nada. Tercero, y es el error que más veces se comete en este tema: todas las presiones son absolutas. Un manómetro de olla, de bombona o de neumático marca presión relativa a la atmósfera, y meter ese número en Clausius-Clapeyron da un resultado que suena bien y está mal. En la verificación numérica de este mismo módulo, esa confusión hizo salir la masa del patinador un 9 % alta antes de que la comprobación cruzada la cazara.
Antes de que existieran los altímetros portátiles, los topógrafos llevaban un hipsómetro: un hervidor y un termómetro de precisión. En una cumbre el agua hierve a 87,5 °C. Calcula la presión y la altura. Después responde a lo que de verdad importa para un instrumento: ¿qué resolución necesita el termómetro para dar la altura con un error de ±50 m?
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Camino: la forma integrada anclada en el punto de ebullición normal —el Lvap del agua lo da el artículo 02— y después la atmósfera estándar del II.3, invertida para pasar de presión a altura. La resolución del termómetro no se estima a ojo: deriva la altura respecto de la temperatura de ebullición y evalúa esa derivada a la altitud que te haya salido. Trampa: la atmósfera estándar es una convención, no el cielo de ese día; un anticiclón o una borrasca corren la presión un 3 %, y eso mueve la altura mucho más que la última cifra del termómetro. Comprobación cruzada: compara tu presión con la de las tablas de vapor: la diferencia mide lo que cuesta suponer L constante en 12,5 K de extrapolación, y al propagarla a la altura tiene que salir del mismo orden que la tolerancia de ±50 m que te piden.
El nitrógeno hierve a 77,35 K a 1 atm y su punto triple está a 63,15 K. Si se conecta un dewar abierto de nitrógeno líquido a una bomba de vacío, el líquido se enfría al evaporarse hasta que, a cierta presión, empieza a congelarse y se convierte en una papilla blanca. Estima esa presión con Lvap = 5570 J/mol y compárala con los 12,5 kPa del punto triple. Explica de dónde sale el enfriamiento.
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Camino: aplica la forma integrada desde el punto de ebullición normal hasta la temperatura del punto triple; los dos extremos y el Lvap te los da el enunciado. El enfriamiento no lo produce la bomba: haz el balance de energía del líquido que queda cuando se marcha un mol, y sale solo. Trampa: L constante es la hipótesis débil en 14 K de extrapolación; antes de justificar hacia qué lado se desvía tu estimación, decide si el Lvap del nitrógeno crece o decrece al enfriarse —la correlación de Watson del artículo 02 lo dice—. Comprobación cruzada: el estado final tiene que caer sobre la línea de coexistencia, y tu presión debe apartarse de los 12,5 kPa del enunciado en el sentido que te haya dictado esa decisión.
En una nube conviven gotas de muchos tamaños. Usa la ecuación de Kelvin para calcular la sobresaturación que necesita en equilibrio una gota de agua de 0,1 µm, otra de 1 µm y otra de 10 µm a 25 °C (γ = 0,0720 N/m). Con eso, explica qué le ocurre a una población de gotas mezcladas en un aire con sobresaturación del 0,1 %, y por qué llueve.
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Camino: la ecuación de Kelvin del artículo 01, con el volumen molar del agua líquida; mira cómo entra el radio antes de hacer las tres cuentas, porque ahí se ve la estructura de todo el problema. La segunda parte no lleva cuentas nuevas: pon las tres gotas en el aire del enunciado y compara, una a una, la sobresaturación que cada gota necesita con la que hay. Trampa: la sobresaturación es p/psat − 1, no el logaritmo; a estos valores los dos números casi coinciden y el error no se ve en la cifra, sólo en el concepto. Y fíjate en si alguna de las tres queda cerca del filo, porque entonces hay que clasificar su equilibrio: pregúntate qué le ocurre si crece un poco. Comprobación cruzada: las tres sobresaturaciones deben ordenarse monótonamente con el radio; si alguna se sale del orden, revisa el exponente.
La presión media en la superficie de Marte es de unos 610 Pa. En el fondo de la cuenca de Hellas, el punto más bajo del planeta, llega a 1155 Pa. Determina en cada caso si el agua líquida puede existir y, cuando pueda, en qué intervalo de temperaturas. Datos del punto triple del agua: 273,16 K y 611,657 Pa.
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Camino: el problema entero es comparar cada presión con la del punto triple, y esa comparación no exige calcular nada — decide sola si hay ventana o no la hay. Donde la haya, el extremo inferior lo pone la curva de fusión, casi vertical, pero compruébalo en vez de darlo por supuesto; y el superior, la temperatura de ebullición a esa presión, que sale de Clausius-Clapeyron anclado en el punto triple con el Lvap del artículo 02, o de las tablas de vapor. Trampa: los 610 Pa y el punto triple se diferencian en menos de un 1 %, mucho menos que lo que la presión marciana cambia entre estaciones: la conclusión es firme para el dato dado, pero no aguanta un redondeo. Comprobación cruzada: la ventana tiene que estrecharse hasta cerrarse a medida que la presión baja hacia el punto triple; si no se te cierra, has anclado mal la integración.
A 25 °C y 1 bar, el diamante tiene una energía de Gibbs molar 2,90 kJ/mol superior a la del grafito: el grafito es la fase estable y tu anillo es metaestable. Con las densidades (grafito 2,26 g/cm³, diamante 3,52 g/cm³), calcula a qué presión se invierte la situación a temperatura ambiente. Después explica por qué la síntesis industrial no trabaja a esa presión sino a 5–6 GPa y 1500 °C.
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Camino: no hace falta Clapeyron. Basta (∂μ/∂p)T = v del artículo 01 y tratar los dos sólidos como incompresibles: cada μ es entonces una recta en p, y el problema se reduce a encontrar dónde se cruzan. Pasa antes las densidades a volumen molar con la masa atómica del carbono. La segunda parte no es termodinámica: pregúntate qué más hace falta, además de que ΔG cambie de signo, para que un trozo de grafito se convierta de verdad en diamante. Trampa: cuadra las unidades del Δv antes de dividir; en cm³/mol en vez de m³/mol el resultado sale con seis órdenes de magnitud de error y, expresado en GPa, suena igual de plausible. Comprobación cruzada: al apretar tiene que ganar la fase más densa; si te sale al revés, has invertido el signo del Δv.
Un superconductor de tipo I vuelve al estado normal cuando el campo aplicado supera Hc(T), que se ajusta bien con Hc(T) = Hc(0)[1 − (T/Tc)²]. Tratando esa curva como una línea de coexistencia, deduce el calor latente de la transición y evalúalo para el plomo (Tc = 7,20 K, Hc(0) = 63,9 kA/m, Vm = 18,3 cm³/mol) a T = Tc/2. Después responde: ¿qué pasa en T = Tc?
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Camino: la receta del artículo 02 con B en lugar de p y M en lugar de −V. Iguala los potenciales de Gibbs magnéticos de los dos estados a lo largo de Hc(T) y usa el dato físico que el enunciado no te da: el superconductor expulsa el campo, o sea M = −H, mientras que el metal normal no lo hace. De ahí sale la diferencia de entropías por unidad de volumen, y de ella el calor latente, sin más que derivar la curva que te dan. Trampa: dHc/dT es negativa, y un signo perdido aquí no avisa: invierte el calor latente y con él cuál de las dos fases resulta estar más ordenada. Comprobación cruzada: mira qué le pasa a tu expresión en T = Tc, y qué queda allí de la diferencia de entropías y de su derivada; esas dos cosas juntas contestan al último apartado.
Fin del módulo II.6. Con el potencial químico en la mano, la termodinámica ha dejado de describir máquinas y ha empezado a describir materia: sabes por qué la materia fluye a donde fluye, de dónde sale la pendiente de cada frontera de un diagrama de fases, cómo se calcula un punto de ebullición a cualquier presión y cómo se distingue una transición con calor latente de una sin él. Lo que falta es lo que ocurre cuando el sistema deja de ser puro. Todo este módulo ha supuesto un solo componente, y con eso μ era simplemente G/N; en cuanto hay dos sustancias mezcladas esa igualdad se rompe, aparece una entropía de mezcla que no se puede ignorar y con ella media fisicoquímica. El módulo II.7 construye el potencial químico de una mezcla, deduce la entropía de mezcla y la paradoja de Gibbs, obtiene la ley de Raoult y las cuatro propiedades coligativas —de donde por fin saldrá la crioscopía que aquí se usó prestada para explicar los 0,01 K del punto triple, y la que mantiene líquidas las salmueras de Marte—, ataca el equilibrio químico y cierra el Nivel II con el tercer principio: por qué el cero absoluto es inalcanzable y por qué eso permite, por fin, hablar de entropías absolutas y no sólo de diferencias.