El diccionario termina en su fila más honda: el momento angular L = Iω, que sin par externo se conserva exactamente (τ = dL/dt: la tercera ley cancela los pares internos igual que canceló las fuerzas en II.4). Y como L = Iω con una I que el sistema puede cambiar, la conservación produce espectáculo: quien encoge su I debe acelerar su ω. El escenario, la pista de hielo; la platea, el universo.
La patinadora y el púlsar
La patinadora abre los brazos (I grande, giro lento), los encoge — I cae a un 40 % — y su ω se multiplica por 2,5: de una vuelta por segundo a un torbellino, sin apoyo ninguno. Nota la letra pequeña energética: ½Iω² = ½Lω crece al encoger (misma L, más ω) — el trabajo lo pagan sus brazos tirando hacia dentro contra la centrífuga: el giro final es más rápido y más caro. El interactivo deja hacer de patinadora sin frío ni caídas.
Vista desde arriba. Encoge los brazos y el giro se acelera solo — el momento angular L = Iω no puede cambiar, así que ω hace lo que I deshace. La factura energética la pagan tus brazos.
Extendida: giro lento y barato. Así se entra en la pirueta.
Y la versión cósmica, la más violenta del curso: una estrella como el Sol (radio 700 000 km, una vuelta cada 25 días) colapsa en estrella de neutrones de 12 km. I ∝ R²: el factor de encogimiento es (R₁/R₂)² ≈ 3×10⁹, y el período pasa de 25 días a milisegundos. Los púlsares — faros de radio que laten cientos de veces por segundo, descubiertos en 1967 — son patinadoras de diez kilómetros ejecutando esta cuenta: nadie los aceleró; solo encogieron. La conservación de L es tan de fiar que los púlsares más estables rivalizan con los relojes atómicos.
Problema. Una rueda de bici (I = 0,18 kg·m²) girando a 300 rpm (31 rad/s) se sostiene por un solo extremo de su eje, a 20 cm del apoyo. ¿Por qué no cae? ¿Qué hace en su lugar?
Solución. La gravedad aplica un par τ = mgr horizontal (m = 2 kg): τ = 3,9 N·m. Pero τ = dL/dt: el par no puede «tumbar» a L (eso exigiría par vertical) — solo girarlo en horizontal. El eje barre un cono a la velocidad de precesión:
Resultado. una vuelta del eje cada ~9 segundos — la demo favorita de todos los laboratorios, y exactamente lo que hace toda peonza: no desafía a la gravedad; la esquiva en círculos, y cae solo cuando el rozamiento le gasta la ω del denominador. La misma física, a lo grande: la Tierra — achatada, con la Luna y el Sol tirando de su ecuador — precesa su eje en unos 25 800 años: la estrella polar es un cargo temporal, y Vega tiene la plaza reservada para el año 14 000.
La rigidez del giro
Corolario práctico: un L grande es difícil de girar — el giro «se aferra» a su dirección. La bala rifada no vuela recta por magia: su L axial resiste los pares aerodinámicos que voltearían a una bala lisa; el frisbee y el balón de fútbol americano, igual. El giróscopo de un avión o un móvil es un L de referencia contra el que medir giros; la bicicleta usa un cóctel (geometría de la horquilla sobre todo, efectos giroscópicos de propina) para su milagrosa estabilidad. Y el helicóptero paga la factura inversa: hacer girar el rotor exige par, y la tercera ley devuelve ese par al fuselaje — que giraría en sentido contrario sin el rotor de cola empujando constantemente. Cada helicóptero lleva la conservación de L cosida en la cola.
El módulo, en limpio — y el curso, casi. (1) El diccionario: θ, ω, α, I, τ, L. (2) I = Σmr²: el reparto manda, y la carrera de rodadura lo demuestra sin báscula. (3) Στ = 0 completa la estática: escaleras, grúas, bíceps. (4) L = Iω se conserva sin par externo: patinadora, púlsar, precesión, rotor de cola. Con energía, momento y momento angular, la mecánica tiene sus tres monedas completas — y el Nivel III demostrará (Noether mediante) que las tres son hijas de simetrías. Antes, dos citas pendientes: las órbitas (II.6) y la cuerda (II.7).
Ejercicios
El gato de II.4 cae de espaldas y aterriza de pie — sin nada contra lo que empujar y con L = 0 durante toda la caída. ¿Cómo, si el momento angular se conserva?
Solución
Conservar L = 0 no prohíbe girar: prohíbe girar todo a la vez en el mismo sentido. El gato dobla la cintura y juega con dos I distintos: encoge las patas delanteras (I pequeño) y gira el tren delantero mucho mientras el trasero, con patas extendidas (I grande), contra-gira poco; luego invierte el reparto. Suma neta de L: cero en todo instante; suma neta de orientación: media vuelta. Los astronautas aprenden la misma gimnasia para orientarse en la ISS, y los satélites la ejecutan con ruedas de reacción: girar el volante interno a un lado gira el satélite al otro — L = 0, orientación a la carta.
El día terrestre se alarga 2,3 ms por siglo (lo miden los eclipses antiguos y los corales fósiles: hace 400 millones de años el día duraba ~22 horas). La Tierra pierde L a espuertas. ¿Adónde va?
Solución
A la Luna. Las mareas (I.1) frenan la rotación terrestre por fricción, y el par de vuelta — tercera ley — acelera a la Luna en su órbita: L total conservado. Una Luna con más L orbital sube a órbita más alta: los 3,8 cm/año de alejamiento que los espejos del Apolo miden con láser son la contrapartida exacta de tus milisegundos de día extra. El sistema Tierra-Luna es una patinadora al revés — extendiéndose y frenando — con contabilidad verificada por retrorreflectores. En II.6, la versión orbital completa.
Los clavadistas salen del trampolín con un L fijo. Explica su coreografía completa — carpa cerrada, giros, extensión final antes del agua — como gestión de I con L constante.
Solución
El trampolín es la única fuente de L: lo que sale, se administra. Carpa o agrupación cerrada: I mínimo, ω máxima — ahí caben los tres mortales y medio. Extensión final: I se multiplica por ~3, ω cae otro tanto, y el clavadista entra casi sin rotar — vertical, limpio, sin salpicar. Todo el deporte aéreo (saltos, gimnasia, snowboard) es un solo problema: repartir un L prefijado entre «cuántas vueltas» y «cuándo frenarlas», eligiendo I(t) con los brazos. La patinadora, el gato y el clavadista son el mismo teorema con distinta licra.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| El diccionario del giro | x → θ · v → ω · a → α · m → I · F → τ · p → L, con F = ma → τ = Iα y ½mv² → ½Iω². Cada fila es un teorema, no una analogía | art. 01 |
| Cambio de divisa | v = ωr: a igual giro, el punto lejano del eje corre más | art. 01 |
| Cinemática angular, heredada entera | θ = ωt · θ = ½αt² · ω² = 2αθ — las fórmulas de Galileo con letras griegas | art. 01 |
| Rodadura sin deslizar | v = ωR. El punto de contacto está instantáneamente quieto (por eso la rueda usa rozamiento estático y no disipa); el eje va a v y el punto más alto, a 2v | art. 01 · art. 01, ej. 2 |
| Transmisión y caja de cambios | La cadena iguala velocidad lineal: ω_piñón = ω_plato × (dientes de plato / dientes de piñón). 90 rpm con 50/25 y rueda de 0,7 m → 6,6 m/s = 24 km/h; con piñón de 11, 54 km/h. No crea potencia: cambia par por velocidad | art. 01, ej. res. 1 |
| El límite de todo rotor | Disco duro a 7200 rpm = 754 rad/s: el borde (4,5 cm) corre a 34 m/s = 122 km/h y soporta ω²r = 25 600 m/s² = 2600 g. Girar rápido es, estructuralmente, estar explotando despacio | art. 01, ej. 1 |
| Momento de inercia | I = Σ m_i r_i²: cada gramo cuenta según el CUADRADO de su distancia al eje. I es del cuerpo Y de su eje | art. 02 |
| Catálogo (mismo m y R) | Aro mR² · disco o cilindro macizo ½mR² · esfera maciza (2/5)mR² · barra por el centro mL²/12, por un extremo mL²/3 | art. 02 |
| Teorema del eje paralelo | I = I_cm + Md². Barra de 2 m y 6 kg: 2 kg·m² por el centro y 8 por el extremo — cuatro veces más. Alejar el eje del CM siempre encarece, y encarece con d² | art. 02, ej. 3 |
| La carrera de rodadura | v² = 2gh/(1 + I/mR²): gana la esfera (factor 1,4), luego el cilindro (1,5), último el aro (2) — independiente de masa y de radio. La lata de caldo gana a la de garbanzos porque el líquido apenas gira por dentro | art. 02, ej. 1 |
| Volante de inercia | Disco de 100 kg y 0,5 m: I = ½mR² = 12,5 kg·m². A 30 000 rpm (3140 rad/s), E = ½Iω² = 6,2×10⁷ J = 17 kWh. Duplicar el régimen cuadruplica la energía… y la tensión centrífuga | art. 02, ej. res. 1 |
| Un kilo de llanta son dos kilos | Al acelerar, la masa en la llanta paga ½mv² de traslación MÁS ½Iω² = ½mv² de giro; en el buje (r ≈ 0) es casi gratis | art. 02, ej. 2 |
| Ingeniería de I | El funambulista no se equilibra empujando la pértiga: se compra un I gigante que convierte cualquier vuelco en cámara lenta — el tiempo de caída de un péndulo invertido crece con √(I/mgd) | art. 02 |
| Par | τ = rF·sen θ: fuerza por brazo, la distancia perpendicular del eje a la línea de la fuerza | art. 03 |
| Estática completa | ΣF = 0 Y Στ = 0 — la segunda respecto de cualquier punto: elige el que anule más incógnitas | art. 03 |
| La palanca | F₁r₁ = F₂r₂. No regala julios: el trabajo F·d es idéntico en ambos extremos — cambia mucho recorrido suave por poco recorrido brutal | art. 03 |
| La escalera, saldada | Contra pared lisa: μ ≥ 1/(2·tan θ) — 0,29 a 60°, 0,42 a 50°. Con un pintor de masa 4m a tres cuartos de altura: μ ≥ 0,7/tan θ — 0,40 y 0,59. La regla gremial (base a un cuarto de la altura, θ = 76°) deja μ ≥ 0,18 incluso con el pintor arriba | art. 03, ej. res. 1 |
| Grúa torre | Στ sobre el mástil: 10 t a 40 m piden 27 t de contrapeso a 15 m. Pero con esa carga y descargada volcaría al revés, así que el contrapeso real se dimensiona para el punto medio del rango | art. 03, ej. 1 |
| Biomecánica de la palanca | El bíceps se inserta a ~4 cm del codo y la mano queda a ~35: sostener 5 kg le cuesta 430 N, nueve veces el peso. El cuerpo compra velocidad y rango a cambio de fuerza (1 cm de contracción mueve la mano 9) | art. 03, ej. 2 |
| El par como motor | τ = Iα es la especificación real de un motor: el eléctrico da su par máximo a cero rpm, la combustión necesita revoluciones — y la caja de cambios existe para casar ambas curvas | art. 03 |
| Momento angular | L = Iω, con τ = dL/dt. Sin par externo se conserva exactamente: la tercera ley cancela los pares internos igual que canceló las fuerzas en II.4 | art. 04 |
| La patinadora | Si I cae al 40 %, ω se multiplica por 2,5. Letra pequeña: ½Iω² = ½Lω crece — el trabajo lo pagan sus brazos tirando hacia dentro contra la centrífuga | art. 04 |
| El púlsar | I ∝ R²: del Sol (700 000 km, una vuelta cada 25 días) a una estrella de neutrones de 12 km hay un factor 3×10⁹, y el período cae a milisegundos. Nadie los aceleró: solo encogieron | art. 04 |
| Precesión | Ω = τ/L = mgr/(Iω). Rueda de bici (I = 0,18 kg·m², 2 kg, 31 rad/s, apoyo a 20 cm): τ = 3,9 N·m y Ω = 0,7 rad/s — una vuelta del eje cada ~9 s. La Tierra precesa su eje en ~25 800 años | art. 04, ej. res. 1 |
| La rigidez del giro | Un L grande resiste los pares que lo voltearían: bala rifada, frisbee, giróscopo. Y el helicóptero paga la factura inversa — el rotor de cola existe para absorber el par de reacción del rotor principal | art. 04 |
| Girar con L = 0 | Conservar L = 0 no prohíbe girar: prohíbe girar todo a la vez en el mismo sentido. El gato juega con dos I distintos entre tren delantero y trasero; los satélites, con ruedas de reacción | art. 04, ej. 1 |
| La deuda Tierra-Luna | El día se alarga 2,3 ms por siglo (hace 400 millones de años duraba ~22 h) y la Luna se aleja 3,8 cm/año, medidos con los retrorreflectores del Apolo: el mismo L, cambiado de titular | art. 04, ej. 2 |
| Clavadistas y gimnastas | El trampolín fija L de una vez; la coreografía es elegir I(t): agrupado, I mínimo y ω máxima; extendido al final, I ×3 y entrada casi sin rotar | art. 04, ej. 3 |
| Datos del sólido terrestre | I de la Tierra 8,0×10³⁷ kg·m²; día 86 400 s. Con L constante, ΔI/I da directamente ΔT/T | hoja 05, problema 6 |