Un cuerpo en el campo −GMm/r con momento angular L no puede caer al centro aunque quiera: acercarse con L fijo dispara la velocidad de giro (Kepler II) y con ella una barrera cinética. La contabilidad exacta vive en el potencial efectivo:
el pozo gravitatorio más una «barrera centrífuga» que el propio giro fabrica. El resultado es un valle — y todo el módulo II.2 aplica: raya de energía, puntos de retorno, fondo del valle. Solo que aquí los retornos se llaman perihelio y afelio.
U_ef = −GMm/r + L²/2mr²: el pozo gravitatorio más la barrera centrífuga. Mueve la energía y lee la órbita — los puntos marcan perihelio y afelio.
Elipse. Dos retornos: perihelio y afelio — el cuerpo oscila entre ambos mientras gira. Una órbita es una oscilación radial montada en un tiovivo (y Kepler II regula el tiovivo).
El catálogo por energías
Lee el valle con la raya E y sale el catálogo completo. E en el fondo del valle: círculo (un solo radio permitido). E negativa sobre el fondo: elipse — el cuerpo oscila entre dos retornos, perihelio y afelio (¡una órbita es una oscilación radial montada sobre un giro!). E = 0 exacto: parábola, la frontera del escape — llega al infinito con las manos vacías. E positiva: hipérbola, escape con cambio — la trayectoria de toda sonda interestelar y de los cometas de paso único. Un número clasifica el destino: negativo, atrapado; cero, en la puerta; positivo, libre. (Que las curvas sean exactamente las cónicas de los griegos es el pequeño milagro del 1/r² — la demostración, en el Nivel III; la constatación, en cuatro siglos de astrometría.)
Problema. De E = −GMm/2a (el resultado central de las órbitas ligadas: la energía solo depende del semieje), deduce la velocidad en cualquier punto de una elipse.
Solución. Iguala ½mv² − GMm/r = −GMm/2a y despeja:
Resultado. La vis-viva: dame dónde estás (r) y qué órbita llevas (a), te doy tu velocidad. Auditoría con Halley: a = 17,9 UA, perihelio r = 0,59 → v = 54 km/s; afelio r = 35,3 → 0,9 km/s. Un cometa pasa de cazar Mercurios a trotar como un peatón, y la fórmula lo despacha sin resolver ni una trayectoria — es II.2 («responder sin resolver») con el cielo entero de clientela. Toda la navegación espacial se planifica con esta línea.
El resultado más antiintuitivo del artículo. En órbita, frenar te acelera: un satélite que roza atmósfera pierde energía, cae a una órbita más baja (a menor)… donde la vis-viva dice que va más rápido. La fricción acelera; el empujón hacia delante te sube y te frena. Los astronautas del acoplamiento lo aprenden contra toda intuición de conductor: para alcanzar a la estación que va delante, se frena (bajas, aceleras, la alcanzas por debajo). El pozo gravitatorio cobra la mitad de lo que le des y devuelve la otra mitad en velocidad — el teorema del virial, que el Nivel III firmará en general.
Ejercicios
La ISS (r = 6771 km, v = 7,67 km/s) sufre arrastre y pierde ~2 km de altura al mes. ¿Cuánta velocidad «gana» al mes por culpa del freno? ¿Quién paga la cuenta?
Solución
Para órbita circular v² = GM/r: dv/v = −½ dr/r. Con dr = −2 km: dv = +7670 × 1/6771 ≈ +1,1 m/s al mes — frenada que acelera, como manda el virial. La cuenta la paga la energía total (cae el doble de lo que sube la cinética), y la repone el reboost periódico de las naves de carga. La ISS vive en una contradicción aparente — frenando hacia delante y acelerando hacia abajo — que es simplemente el pozo cobrando su mitad.
¿Cuánto Δv cuesta escapar de la Tierra desde la órbita baja (v = 7,67 km/s)? ¿Y por qué ese número (no los 11,2 desde el suelo) es el que figura en los presupuestos de las misiones?
Solución
Escape local = √2 × circular: 10,85 km/s; el Δv desde la órbita es (√2 − 1) × 7,67 ≈ 3,2 km/s. Las misiones salen de LEO porque ahí ya tienes pagados (con Tsiolkovski y lágrimas) los primeros 9,4; el peaje interplanetario se cuenta desde arriba. De propina, comprueba la parábola: quien parte con exactamente 10,85 llega «al infinito» con v = 0 — la frontera E = 0 del catálogo, en carne de sonda.
ʻOumuamua (2017), el primero de los tres visitantes interestelares conocidos, pasó su perihelio (0,255 UA) a 87,4 km/s cuando la parábola local dictaba 83,4. ¿Qué dijo ese exceso — y qué órbita «lleva puesta»?
Solución
E > 0 sin apelación: hipérbola — no pertenece al Sol, vino de fuera y se va para siempre. El exceso sobre la parábola mide su «velocidad en el infinito»: v_∞ = √(87,4² − 83,4²) ≈ 26 km/s, la velocidad con la que cruzaba la galaxia antes de que el Sol la desviara. Fíjate en lo delicada que es esta resta: son dos números casi iguales, y una décima de más en cualquiera de ellos mueve v_∞ un kilómetro por segundo — por eso el dato que se publica es el v_∞ ajustado a toda la órbita (26,3 km/s), no el resultado de restar dos velocidades redondeadas. Un solo dato de velocidad, contrastado con el catálogo de energías, bastó para declarar interestelar al objeto en días. El clasificador de cónicas de este artículo es, literalmente, el control de pasaportes del sistema solar. Y sigue trabajando: en 2019 pasó 2I/Borisov, y el 1 de julio de 2025 el ATLAS descubrió 3I/ATLAS, que atravesó su perihelio el 29 de octubre de ese año a 1,36 UA con excentricidad ≈ 6,1 — el más rápido de los tres con diferencia: repite la resta con esos elementos y saldrá un v_∞ de 58 km/s, más del doble que el de ʻOumuamua. Tres pasaportes sellados en ocho años, cuando en los dos siglos anteriores no se selló ninguno: lo que ha cambiado no es el cielo, son los telescopios de barrido.