Como todas las hojas del sitio: sin soluciones, con pistas y dificultad graduada (●○○ directo, ●●○ combinar ideas, ●●● reto). La regla de las pistas: dan el camino — qué principio aplicar, qué coordenada elegir, dónde está la trampa — y nunca el resultado. El número final es tuyo. Tres de los seis problemas recuperan sistemas ya vistos en los artículos — el alcance del 02, la terminal del 03, la estación del 04 —; cuando ocurre se dice en el enunciado, y se pide algo que allí no se preguntó.
Un especialista despega de una rampa de 30° a 40 m/s (144 km/h) y aterriza a la misma altura. ¿Cuántos autobuses de 12 m puede saltar, sin aire? Y después, la pregunta que el artículo 02 dejó abierta: allí el saque de puerta se quedaba un 30 % por debajo de lo real y la factura se le pasó entera al aire. Aquí el proyectil pesa trescientos kilos. Estima el arrastre sobre moto y piloto y decide si el aire puede explicar también los cuarenta y pico metros que separan tu resultado del récord real, que ronda los 100 m. Si no puede, di quién paga el resto.
Pista
Descompón la velocidad de despegue y aprovecha que el aterrizaje es a la misma altura: el alcance sale de una identidad trigonométrica que convierte sen θ · cos θ en un solo seno. Comprueba de paso cuánto cuesta la rampa de 30°, comparándola con el ángulo que maximizaría el salto. Para la segunda parte no hace falta integrar nada: el peso del arrastre frente al del proyectil se resume en un solo parámetro, ρ·C_dA/2m, con dimensiones de 1/longitud, y basta compararlo entre la moto (C_dA del orden de 0,6 m², 300 kg) y el balón del artículo 02 (0,0076 m², 0,43 kg). Multiplícalo por el alcance ideal de cada uno y tendrás el orden de magnitud del déficit relativo sin resolver una sola ecuación diferencial. Cuando veas que los dos números no se parecen en nada, vuelve al récord y busca al otro culpable: piensa qué se está midiendo exactamente en un salto homologado — dónde empieza y dónde acaba, y qué hace la rampa de recepción — y por qué un piloto no despega al ángulo que tú acabas de calcular.
¿Qué ángulo de peralte permite tomar una curva de 200 m de radio a 100 km/h sin pedirle nada al rozamiento?
Pista
Diagrama de cuerpo libre con la normal inclinada y el rozamiento puesto a cero: quedan dos fuerzas, y su resultante tiene que ser horizontal y valer exactamente la centrípeta. Trampa clásica: la aceleración centrípeta no es una fuerza que dibujar en el diagrama, va al otro lado del igual. Cuando tengas el ángulo, compáralo con el peralte máximo de una vía férrea real (unos 7°) y decide quién paga la diferencia en una curva de verdad — y qué le pasa a un tren detenido en una curva peraltada para la velocidad de proyecto.
Una honda gira una piedra de 200 g en un círculo de 2 m de radio, a 3 vueltas por segundo. Calcula la tensión de la cuerda justo antes de soltar y la velocidad de salida del proyectil. ¿En qué dirección sale la piedra respecto del círculo?
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Pasa primero las vueltas por segundo a rad/s; a partir de ahí la tensión es la única fuerza con componente centrípeta apreciable. Compárala al final con el peso de la piedra y verás si estaba justificado ignorarlo — esa comparación es media respuesta. Para la dirección de salida, la pregunta no es «¿hacia dónde tira la cuerda?» sino «¿qué hace un cuerpo cuando deja de actuar sobre él cualquier fuerza?». Dibuja el círculo y el vector velocidad: la respuesta es geométrica, no dinámica.
Desde un acantilado de 50 m lanzas a 20 m/s con 45°. ¿Cuánto dura el vuelo y a qué distancia de la base cae? ¿El ángulo óptimo desde una altura es mayor o menor que 45°? (Razónalo sin calcularlo.)
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Pon el origen en el punto de lanzamiento y deja que la altura final sea negativa: la cuadrática en t tiene dos raíces y solo una significa algo. Para el óptimo no derives nada — razona qué compra el ángulo. Subir mucho compra tiempo de vuelo, pero desde una altura ya tienes tiempo regalado en el tramo de caída extra, y en ese tramo lo único que convierte tiempo en distancia es la velocidad horizontal. Contrasta tu conclusión con un hecho conocido: los lanzadores de peso, que sueltan desde la altura del hombro, no lanzan a 45°.
Tercera esfera del módulo: el artículo 03 midió la terminal de un paracaidista en su ejemplo resuelto y la de una bala de cañón de hierro en su ejercicio 3; esta es la que decide facturas de seguro. Una piedra de granizo esférica de 2 cm de radio (hielo, 917 kg/m³). Calcula su velocidad terminal y su energía cinética al llegar. Compárala con la de una pelota de golf (46 g) a esa misma velocidad y dictamina: ¿exagera tu aseguradora?
Pista
Necesitas tres datos que el enunciado no te da: el coeficiente de arrastre de una esfera (C_d ≈ 0,47), la densidad del aire y la fórmula de velocidad terminal del artículo 03. Cuidado con el área: en el arrastre entra la sección transversal, no la superficie de la esfera — un factor 4 de regalo si te equivocas. Antes de dictaminar sobre la aseguradora, pregúntate cuál de las dos magnitudes decide una abolladura: ¿la energía, o el impulso repartido en el tiempo de contacto (II.4)? Y comprueba cómo escala v_t con el radio antes de opinar sobre el granizo de 4 cm de las noticias: la ley de escala es más informativa que el número.
El ejercicio 1 del artículo 04 evaluó la estación de «2001» (R = 100 m) y le salió habitable. Aquí se diseña, y desde el otro extremo. Una nave de ciencia ficción barata genera 1g girando con R = 10 m. Calcula: (a) las rpm; (b) la diferencia de «gravedad» entre la cabeza y los pies de un tripulante de 1,80 m; (c) la fuerza de Coriolis al caminar a 1 m/s. Después dale la vuelta al problema: impón a la vez el umbral de confort rotacional y un gradiente cabeza-pies por debajo del 10 %, despeja el radio mínimo que cumple cada condición, y di cuál de las dos manda — que es lo que fija de verdad el tamaño de una estación tripulada.
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Todo sale de Ω, y la condición de 1g en el suelo de la nave te la da. Para (b), la «gravedad» a la altura de la cabeza no es la del suelo: usa el radio de la cabeza, no el de los pies, y expresa el resultado como fracción, que es lo que nota el oído interno. Para (c), la Coriolis de II.1 con la velocidad de marcha — y fíjate en su dirección respecto de la vertical local, porque ahí está el mareo, no en el módulo. Para la inversión final tienes un dato de ingeniería que no está en el enunciado: los estudios de habitabilidad ponen el umbral de confort por debajo de ~2 rpm. Escribe cada condición como una desigualdad en R y fíjate en que no escalan igual — una va con Ω² y la otra es lineal en el radio —, así que el veredicto no depende de los detalles: uno de los dos radios mínimos aplasta al otro por más de un orden de magnitud. Comprueba de paso a cuál de los dos límites obedece la estación de «2001» del artículo 04 y a cuál le sobra margen.
Al terminar esta hoja sabes convertir cualquier enunciado en componentes, pagar facturas centrípetas, estimar cuándo el aire manda y desenmascarar pseudofuerzas. El módulo II.2 te cambia de moneda: del vector fuerza al escalar energía — y verás cuántos de estos mismos problemas se rinden más rápido en la otra contabilidad.