La Luna no está «flotando»: está cayendo. Cae hacia la Tierra 1,35 milímetros cada segundo — y lleva 4500 millones de años sin llegar al suelo, porque su velocidad de costado hace que el suelo se le aparte continuamente. Este artículo cierra las tres leyes, presenta la gravitación universal y hace, número a número, el cálculo con el que Newton unificó el cielo y el suelo.
Tercera ley: las fuerzas van en pares
Empuja la pared: la pared te empuja. No es filosofía — es medible: patina sobre hielo y empuja a un amigo; salís despedidos los dos. Toda fuerza es una interacción entre dos cuerpos, con dos caras iguales y opuestas. Un rifle de 4 kg que dispara una bala de 10 gramos a 800 m/s retrocede a 2 m/s: la bala y el rifle sintieron la misma fuerza durante el mismo tiempo, y el reparto de velocidades fue inverso al de masas. El cohete del artículo 03 vive de esto: empuja gases hacia abajo y los gases lo empujan hacia arriba — no «se apoya» en el aire; en el vacío funciona mejor.
Y la simetría inquietante: la Tierra tira de la manzana… luego la manzana tira de la Tierra, con la misma fuerza. ¿Por qué no vemos a la Tierra subir? F = ma con m = 6×10²⁴ kg: la aceleración de la Tierra hacia la manzana es de 10⁻²⁵ m/s² — la ley se cumple, el espectáculo no.
El test de la Luna
Problema. Si la gravedad se debilita con el cuadrado de la distancia — F ∝ 1/r² — la aceleración que la Tierra imprime a la Luna puede predecirse desde g. Compruébalo.
Solución. La Luna está a r = 384 400 km del centro de la Tierra; la manzana, a un radio terrestre, R = 6371 km. El cociente es r/R = 60,3. Si la ley es 1/r², la Luna debe caer 60,3² = 3640 veces más despacio que la manzana:
Contraste con la observación: un cuerpo en círculo de radio r y período T acelera hacia el centro . Con el mes sidéreo, T = 27,32 días:
Resultado. Predicción 2,70, medida 2,72 — acuerdo del 1 %. «Las comparé y las hallé responder bastante bien», escribió Newton. En ese «bastante bien» cabe la primera unificación de la física: la misma ley para el huerto y para el cielo, . La Luna cae — medio a·t², o sea 1,35 mm cada segundo — hacia una Tierra que no deja de apartarse.
El cañón de Newton
El propio Newton regaló la mejor visualización de qué es una órbita: un cañón en una montaña altísima. Dispara flojo y la bala cae a unos kilómetros; más fuerte, y la curvatura de la Tierra empieza a «retirarle el suelo»; a la velocidad orbital — 7,9 km/s a ras de suelo — la caída iguala exactamente a la curvatura: la bala cae para siempre alrededor del planeta. Por encima de 11,2 km/s, ni la caída perpetua la retiene: escapa.
Desde una montaña de 500 km (exagerada, como en el dibujo de Newton, 1687), dispara horizontal y mira qué hace la gravedad real. A esta altura la órbita circular pide 7.6 km/s y el escape, 10.8 km/s (a ras de suelo: 7,9 y 11,2). Se integra con velocity-Verlet (leapfrog) a paso fijo de 4 s: simpléctico y de segundo orden, así que su error hace oscilar la energía en vez de acumularla — el marcador de abajo mide esa oscilación, en unidades de la profundidad del pozo.
Suborbital: la bala cae — la curvatura del planeta no se aparta lo bastante deprisa.
La Estación Espacial Internacional orbita a 420 km, donde la gravedad vale g = 8,6 m/s² — un 88 % de la de tu salón. Sus astronautas no flotan por falta de gravedad: flotan porque estación y tripulantes caen juntos, a 7,7 km/s de velocidad horizontal, dando una vuelta al mundo cada 93 minutos. Es el ascensor en caída libre del artículo 03, convertido en residencia permanente.
El módulo, en limpio. (1) Todo cae igual, con g — lo midió una rampa. (2) El movimiento no pide motor; el cambio, sí. (3) El cambio cuesta F = ma. (4) Las fuerzas van en pares, y la que tira de la manzana sujeta a la Luna con la misma ley, debilitada con 1/r². Cuatro frases que convirtieron el universo en un mecanismo calculable — los siguientes módulos exploran ese mecanismo, hasta encontrarle los límites en el módulo I.5.
Ejercicios
Del test de la Luna sale su aceleración, a = 2,70×10⁻³ m/s². Sin mirar ningún calendario, deduce de ahí el período de la órbita lunar.
Solución
Invierte la fórmula centrípeta: de sale
«En la ISS no hay gravedad: por eso flotan.» Desmonta la frase con dos números del artículo.
Solución
A 420 km de altura, g = 8,6 m/s² — el 88 % del valor en superficie: gravedad hay, y mucha; sin ella la estación saldría en línea recta (primera ley) y se perdería. Flotan porque estación y astronauta caen con la misma aceleración: entre ellos no hay peso aparente, como en el ascensor en caída libre. La órbita es el arte de caer eternamente — 7,7 km/s de costado hacen que el suelo nunca llegue.
La Luna tira de la Tierra con la misma fuerza con que la Tierra tira de la Luna (tercera ley). ¿En qué fenómeno cotidiano — dos veces al día — notas ese tirón?
Solución
Las mareas. El tirón lunar no es idéntico en toda la Tierra — el lado que mira a la Luna está 6400 km más cerca que el centro, y el opuesto, más lejos. Esa diferencia de gravedad estira ligeramente el planeta y sus océanos en el eje Tierra-Luna: dos abultamientos, dos pleamares al día. La fuerza de marea — la gravedad como diferencia — reaparecerá en el Nivel II con números, y es la misma física que despedaza estrellas cerca de un agujero negro.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Aceleración de la caída libre | g = 9,81 m/s² — igual para todos los cuerpos, con aire o sin peso de por medio | art. 01 |
| Caída desde el reposo | d = ½gt² · v = gt · v = √(2gd) | art. 01 |
| Ley de los números impares | 1 : 3 : 5 : 7 en tiempos iguales ⟺ d ∝ t² — la firma de la aceleración constante | art. 01, ej. res. 1 |
| Números de caída de referencia | 5 m → 1,01 s y 36 km/h · 10 m → 1,43 s y 50 km/h · 55,9 m (Pisa) → 3,4 s y 119 km/h | art. 01 |
| Plano inclinado (diluir la gravedad) | a = g·sen θ; 3° → 0,51 m/s², diecinueve veces menos que g | art. 01 |
| Velocidad terminal | Cuando la resistencia del aire iguala al peso: ~200 km/h para un paracaidista en plancha | art. 01, ej. 3 |
| Primera ley (inercia) | Sin fuerza neta, velocidad constante. Lo que pide explicación es el cambio, no el movimiento | art. 02 |
| Principio de relatividad de Galileo | Ningún experimento interno distingue reposo de movimiento rectilíneo uniforme | art. 02 |
| Velocidad orbital de la Tierra | v = 2πr/T = 29 800 m/s ≈ 30 km/s (r = 1,496×10¹¹ m, T = 365,25 d); ~9 km por estornudo | art. 02, ej. res. 1 |
| Escala de comparación | AVE a 300 km/h = 83,3 m/s: medio segundo de salto son 41 m que también recorres tú | art. 02 |
| Sistema no inercial | Marco que acelera → aparecen fuerzas fantasma (centrífuga, Coriolis). Se pagan en II.1 | art. 02 |
| Segunda ley | F = ma; 1 N acelera 1 kg a 1 m/s²; una manzana de 102 g pesa 1,00 N | art. 03 |
| Peso frente a masa | P = mg; en la Luna g = 1,62 m/s² (un sexto), la masa no cambia | art. 03 |
| Despegue del Saturno V | a = F/m − g = 33,9×10⁶/2,97×10⁶ − 9,81 = 11,4 − 9,81 = 1,6 m/s² = 0,16 g | art. 03, ej. res. 1 |
| Frenada en distancia dada | a = v²/2d; 100 km/h (27,8 m/s) parado en 1 m → 390 m/s² = 39 g | art. 03 |
| Lo que cuesta un choque | 70 kg a 39 g «pesan» 2,7 t; alargar la frenada de 1 a 1,5 m baja a 26 g (a ∝ 1/d) | art. 03, ej. 3 |
| Tercera ley | Fuerzas iguales y opuestas, siempre en pares; rifle de 4 kg con bala de 10 g a 800 m/s → retrocede a 2 m/s | art. 04 |
| Gravitación universal | F = G·m₁m₂/r², debilitada con 1/r² | art. 04 |
| El test de la Luna (1666) | r/R = 384 400/6 371 = 60,3; predicción g/60,3² = 2,70×10⁻³ m/s² frente a la medida 4π²r/T² = 2,72×10⁻³ (T = 27,32 d): 1 % de acuerdo | art. 04, ej. res. 1 |
| Aceleración de un movimiento circular | a = 4π²r/T² = v²/r; con ella la Luna «cae» 1,35 mm cada segundo | art. 04, ej. 1 |
| El cañón de Newton | Órbita a ras de suelo: 7,9 km/s · velocidad de escape: 11,2 km/s | art. 04 |
| La ISS, con números | 420 km de altura: g = 8,6 m/s² (88 % del valor en superficie), 7,7 km/s, una vuelta cada 93 min | art. 04, ej. 2 |
| Ingravidez | No es ausencia de gravedad: es normal cero porque todo cae con la misma a | art. 03 ej. 1 · art. 04 |