El espacio de fases del péndulo es un plano (θ, p) — y como H(θ, p) se conserva, cada trayectoria vive en una curva de nivel de H: el retrato de fases se dibuja sin resolver nada, como el mapa de II.2, pero ahora el mapa contiene todas las historias posibles a la vez. El del péndulo es el retrato más instructivo de la física: óvalos alrededor del reposo (oscilaciones), bandas onduladas arriba y abajo (molinetes), y separándolos, la separatriz — la trayectoria de energía exacta E = 2mgL, medida desde el fondo, que «llega» al péndulo invertido en tiempo infinito. (Aviso de convenio: el artículo 01 escribió H = p²/2mL² − mgL cos q, que pone el cero de energías en el centro de giro; con ese origen la misma separatriz es H = +mgL. Mismo péndulo, mismo dibujo, distinto lugar donde se ha clavado el cero — conviene mirar siempre desde dónde se mide.)
Cada curva es una historia completa (una energía). Óvalos: oscilar. Bandas superiores e inferiores: voltear sin fin. La curva gruesa que los separa, pasando por el péndulo invertido: la separatriz.
Órbita cerrada alrededor del centro (punto lleno: el péndulo colgando). Cuanto más cerca de la separatriz, más se deforma el óvalo y más «duda» arriba — el período diverge.
Gramática de retratos
Tres reglas para leer cualquier retrato. (1) Los equilibrios son los puntos donde el flujo se para: el fondo del péndulo (centro: las órbitas lo rodean en óvalos) y el péndulo invertido (silla: las trayectorias se acercan por una dirección y huyen por otra — la separatriz entra y sale de él). (2) Las curvas no se cruzan jamás: por cada punto pasa una sola historia — es el determinismo de I.5 hecho topología, y la razón profunda de que en un plano no quepa el caos (las trayectorias no tienen sitio para enredarse: hace falta la tercera dimensión que el péndulo forzado sí tiene). (3) El área importa: el artículo 04 demostrará que el flujo la conserva — y esa conservación es un teorema con consecuencias en toda la física.
Problema. Un péndulo se lanza con energía un 1 % inferior a la crítica. Describe su movimiento — y por qué su período se dispara.
Solución. Su órbita es un óvalo pegado por dentro a la separatriz: sube casi hasta la vertical, se detiene «dudando» junto al equilibrio inestable — donde el flujo es lentísimo, porque la silla frena todo lo que pasa cerca — y recae. El período diverge logarítmicamente al acercarse a la crítica: T ∝ ln(1/|1 − E/E_c|). Pero el logaritmo es un divergente perezoso, y conviene ponerle cifras: a E = 0,99 E_c la integral elíptica exacta da T/T₀ = 2,35 — más del doble, no «varias veces». Hay que llegar a E = 0,999 E_c para triplicarlo (3,08) y a E = (1 − 10⁻⁹)E_c para multiplicarlo por siete y medio. Esa lentitud es la firma del logaritmo: lo que diverge de verdad no es el período, es la paciencia que exige verlo divergir.
Resultado. Esa «duda» junto a la silla es exactamente la sensibilidad que I.5 explotaba: cerca de la separatriz, diferencias minúsculas de energía deciden entre oscilar y voltear — y cuando al péndulo se le añade un forzamiento periódico, es esta franja la primera que se vuelve caótica (la separatriz se «deshilacha» en la maraña que Poincaré no quiso dibujar). El retrato de fases no solo ordena la regularidad: señala con el dedo dónde se romperá.
El retrato como lengua franca. Los mismos dibujos clasifican osciladores químicos, circuitos, láseres, poblaciones de conejos y neuronas: centros, sillas, y — en cuanto hay disipación — espirales que caen a atractores. La teoría de sistemas dinámicos (III.6) es, en gran parte, el arte de razonar con retratos sin resolver ecuaciones; este artículo es su alfabeto. Strogatz lo cuenta como nadie — y su libro preside la bibliografía de este nivel por derecho.
Ejercicios
Dibuja (a mano alzada) el retrato de fases de la cuenta en el aro giratorio de III.1, antes y después de la crítica. ¿Qué le pasa al punto central al cruzar Ω_c?
Solución
Por debajo: un centro en θ = 0 rodeado de óvalos — un retrato de péndulo estándar. Por encima: el centro se convierte en silla (con su separatriz en forma de ∞) y nacen dos centros nuevos en ±θ₀, cada uno con su familia de óvalos: el retrato del doble pozo. La bifurcación de horquilla es, en el idioma de fases, «un centro que pare dos centros y se hace silla» — y con este diccionario puedes clasificar transiciones mirando retratos, que es como trabaja la teoría de bifurcaciones adulta.
Añade fricción −bθ̇ al péndulo. ¿Qué le pasa al retrato — a los óvalos, a los molinetes, a la separatriz? ¿Qué objeto nuevo aparece?
Solución
H deja de conservarse: las trayectorias cruzan las curvas de nivel hacia energías menores. Los óvalos se vuelven espirales que caen al fondo (el centro asciende a atractor: el objeto nuevo); los molinetes van perdiendo vuelo hasta quedar atrapados en la cuenca de algún fondo; y la separatriz se convierte en la frontera de cuencas: decide a qué vuelta completa quedará atrapado cada molinete inicial. Todo el vocabulario del caos disipativo de III.6 — atractores, cuencas, fronteras — acaba de nacer de un término −bθ̇.
¿Por qué el espacio de fases del péndulo es de verdad un cilindro (θ es un ángulo), y qué distingue topológicamente a un óvalo de oscilación de una banda de molinete?
Solución
θ y θ + 2π son el mismo estado: el plano se enrolla en un cilindro. Y en él, los dos regímenes se distinguen sin medir nada: el óvalo de oscilación es contraíble (se puede encoger a un punto), la banda de molinete da la vuelta al cilindro y no se puede contraer — son curvas topológicamente distintas, y ninguna deformación continua convierte una en otra sin cruzar la separatriz. Que los regímenes de un sistema puedan clasificarse topológicamente es una idea con carrera larguísima por delante: reaparecerá en los vórtices de los fluidos (III.7) y, mucho más lejos, en las fases topológicas de la materia que el Cristalario contará algún día.