La cuerda de I.4 solo aceptaba armónicos f, 2f, 3f… y prometimos que el timbre era «la receta de proporciones del resto». El teorema de Fourier convierte la promesa en máquina: toda función periódica se escribe como suma de senos armónicos con las amplitudes adecuadas. La onda cuadrada — el timbre «de videojuego» — tiene receta exacta y famosa:
solo armónicos impares, decayendo como 1/n. El interactivo la cocina término a término — mira una cuadrada emerger de puros senos.
La receta exacta: sen(x) + sen(3x)/3 + sen(5x)/5 + … Solo impares, decayendo como 1/n. Añade términos y mira la escalera aparecer.
Un solo seno: la nota «pura» del diapasón. Todo lo que falta para ser cuadrada es timbre pendiente.
El timbre es un espectro
Con Fourier, «cómo suena» se vuelve una lista de números: el espectro — cuánto hay de cada armónico. La flauta es casi fundamental puro (por eso «dulce»); el violín reparte en decenas de armónicos (por eso «rico»); el clarinete, por la física de su tubo cerrado, favorece los impares — pariente tímbrico de la onda cuadrada, y por eso su voz «hueca» inconfundible. Tu oído hace el análisis de Fourier en hardware: la cóclea es una hilera de resonadores (II.3) afinados de grave a agudo que descompone cada sonido en su espectro antes de llegar al cerebro. Oír timbres es leer recetas — el aparato lo trae de fábrica.
Problema. La misma cuerda pulsada en el centro suena «redonda» y pulsada junto al puente suena «metálica». Explícalo con Fourier.
Solución. El punto de pulsación fija la forma inicial (un triángulo con vértice donde pellizcas), y Fourier la reparte entre los modos: un armónico recibe amplitud según cuánto «se parezca» la forma inicial a él — y ningún modo con nodo en el punto de pulsación puede sonar. Pellizco en el centro: mueren los armónicos pares (todos tienen nodo ahí) — quedan fundamental e impares graves: sonido redondo. Junto al puente: la forma triangular afilada se parece a muchos armónicos altos — espectro rico y brillante.
Resultado. El «dónde tocas» es un ecualizador geométrico. Los guitarristas lo llaman sul tasto y sul ponticello y lo usan sin ecuaciones; los diseñadores de pianos colocan el macillo a 1/7–1/8 de la cuerda precisamente para asesinar el séptimo armónico (el primero que desafina con la escala). Hay un análisis de Fourier escondido en la posición de cada macillo de cada piano del mundo.
Fourier fuera del pentagrama. El teorema no sabe de música: comprime tu voz en el móvil (transmitir el espectro sale más barato que la onda), filtra el ruido de una señal (recorta armónicos indeseados y recompón), detecta la nota del afinador cromático y procesa toda imagen JPEG (Fourier en dos dimensiones: una foto también tiene «armónicos»). Del sismógrafo al resonador magnético, la mitad del procesamiento de señales del planeta es esta suma de senos ejecutada deprisa. La FFT — su algoritmo rápido — está corriendo en tu bolsillo ahora mismo.
Ejercicios
¿Por qué dos voces cantando la misma nota a la misma sonoridad se distinguen sin esfuerzo — y por qué el «la» del diapasón no se parece a ningún «la» cantado?
Solución
Misma nota = mismo fundamental; distinta identidad = distinto espectro. El tracto vocal de cada persona (garganta, boca, nariz) es un filtro de resonancias — los «formantes» — que esculpe los armónicos de la glotis con un perfil propio: tu timbre es la respuesta en frecuencia de tu anatomía, tan personal como la cara. El diapasón, en cambio, es un resonador de Q altísimo con un solo modo útil: seno casi puro, receta de un ingrediente — útil para afinar precisamente porque no se parece a nadie.
La receta de la cuadrada decae como 1/n; la del triángulo, como 1/n². ¿Qué regla general insinúan? (Pista: ¿qué tiene la cuadrada que el triángulo no?)
Solución
La suavidad manda: la cuadrada tiene saltos (discontinuidades) y paga con armónicos lentos en morir (1/n); el triángulo es continuo pero con esquinas (derivada discontinua): 1/n². Regla general: cuanto más suave la onda, más rápido cae su espectro — reproducir un salto exige agudos hasta el infinito. Consecuencia audible: recortar una onda (saturar un amplificador) fabrica esquinas y por tanto armónicos nuevos — la distorsión de la guitarra eléctrica es geometría de Fourier convertida en género musical.
Un pianista afina su piano «a oído» haciendo sonar dos notas y escuchando batidos entre armónicos. ¿Qué armónicos compara para afinar una quinta (La 110 y Mi 165)?
Solución
El tercer armónico del La (330 Hz) contra el segundo del Mi (330 Hz): si la quinta es perfecta coinciden exactos — batido cero; si no, laten a la diferencia. El afinador profesional recorre el piano entero comparando parejas de armónicos con la técnica de I.4, y de paso gestiona un secreto incómodo: la escala temperada exige quintas ligeramente impuras (batido lento a propósito, ~1 Hz), así que afinar es clavar batidos de velocidad prescrita. Fourier e interferencia, ejercidos a oreja desnuda desde hace tres siglos.