La hoja de problemas · Pequeñas oscilaciones

Monta M y K con cuidado, que es donde se decide el problema: la planta baja está sujeta por dos muelles (el que la une al suelo y el que la une con la de arriba); la planta alta, solo por uno. Si los dos elementos de la diagonal de tu K salen iguales, la has montado mal — vuelve al diagrama antes de seguir. El polinomio característico es una cuadrática en ω²: resuélvela y calcula el cociente de las dos frecuencias, que resulta ser el cuadrado de un número que te va a sonar de la arquitectura griega y de los girasoles (comprueba el cuadrado: es el detalle que casi todo el mundo se salta al contarlo). Para las formas, saca los autovectores y mira los signos relativos: en uno los dos pisos van en el mismo sentido y en el otro no, y esa es toda la información que necesitas. Para decidir cuál excita un sismo, recuerda que el suelo mueve la base entera en bloque y a baja frecuencia: pregúntate a cuál de los dos autovectores «se parece» más ese forzamiento. Y para el amortiguador, colócalo donde la amplitud del modo peligroso sea máxima — mira el autovector y ya está.

Primero la aritmética, y hazla entera antes de opinar: calcula el factor √(μ_OD/μ_OH), aplícalo a las tres bandas del H₂O y saca las tres desviaciones relativas respecto de lo medido. Después ordénalas. Dos avisos: la banda que la intuición señala no es la que sale peor, y todas las desviaciones son de pocas unidades porcentuales — cuida la coma decimal, que aquí un factor diez de despiste cambia la conclusión entera.

El «por qué» es lo que vale nota. La regla √μ es la de una diatómica aislada: dos átomos, un muelle y nada más. En una molécula triatómica cada modo tiene su propia masa reducida efectiva, y quien la fija no es una fórmula sino el autovector: pregúntate en cuál de los tres modos se mueve realmente el oxígeno y cuánto, y qué papel juega el ángulo H–O–H en el reparto. Y un aviso de honestidad experimental que explica parte del residuo y que casi nadie menciona: las frecuencias tabuladas son fundamentales anarmónicos, no armónicos, y la anarmonicidad castiga más a la molécula ligera que a la pesada — así que parte de tu desviación no es un fallo de la mecánica, es un desajuste entre lo que calculas y lo que se mide.

Empieza contando grados de libertad: tres masas en el plano son seis. Después resta los movimientos que no cuestan energía —los que desplazan o giran la figura sin deformarla— y quédate con los que sí. Para clasificar los que quedan no diagonalices: usa la simetría. El triángulo equilátero es invariante bajo rotaciones de 120°, así que cualquier modo tiene que transformarse de una manera compatible con esa operación; hay esencialmente dos posibilidades, y una de ellas obliga a que dos modos distintos compartan frecuencia. Pregúntate por qué la simetría no puede distinguirlos, y dibuja los patrones a mano: los muelles se estiran o no se estiran, y con eso basta para ordenar las frecuencias sin calcular ninguna. Si te atascas, cuenta el mismo argumento en el CO₂, que ya sabes que tiene una flexión doble, y pregúntate de dónde salía esa duplicidad.

El argumento tiene dos pasos y ninguno exige calcular. (1) ¿Por qué debe existir? Piensa qué frecuencia querría tener una masa ligera sujeta por muelles normales, y compárala con la frecuencia máxima que la cadena perfecta es capaz de sostener (el borde de zona del artículo 03). (2) ¿Por qué no viaja? Escribe la relación de dispersión de la cadena y pregúntate qué valor del número de onda haría falta para propagar a esa frecuencia. Si no existe ningún valor real, no tires la solución: mira qué forma toma entonces la dependencia con la distancia. Ese es el argumento entero, y es exactamente el mismo que explica una onda evanescente en cualquier otro contexto. Cuando lo tengas, busca cómo se llaman estos modos en física de semiconductores y por qué una industria entera se dedica a sembrarlos a propósito.

Dos osciladores idénticos acoplados débilmente: ya sabes que sus modos normales son la suma y la diferencia, y que sus frecuencias se separan una cantidad proporcional al acoplo. La clave está en darse cuenta de que excitar un solo tirante no es excitar un modo: es excitar una combinación de los dos. Escribe esa superposición y busca el término lento — ahí está toda la respuesta a la primera pregunta, y también su escala temporal, que conviene que estimes (con dos tirantes casi idénticos el fenómeno se mide en minutos, no en segundos). Para la segunda pregunta, pregúntate cuál de los dos modos deforma el elemento que une los tirantes y cuál no: un amortiguador solo disipa si algo se deforma dentro de él. Y si consigues matar uno de los dos modos, ¿puede seguir habiendo trasvase? Es el mismo truco que el muelle central de los carritos, con toneladas.

Dos estimaciones y una comparación. Guitarra: pasa la frecuencia a ω, escribe la acción del modo a partir de su energía y divide por ħ. Cuidado con no confundir f con ω — el factor 2π no cambia la moraleja, pero conviene que no cambie por accidente. Modo térmico: la energía típica de un modo a temperatura T es del orden de k_BT (la equipartición que el artículo 04 discute con detalle), así que el número de cuantos sale de un cociente entre dos energías; elige tú una frecuencia representativa de un fonón de cristal a partir de lo que sabes del artículo 03. La moraleja está en el contraste de exponentes: escríbelos uno debajo del otro y formula el criterio general de cuándo un sistema es clásico en términos de n = J/ħ — no en términos de tamaño, ni de masa, ni de temperatura.