La cadena de masas m unidas por muelles K a distancia a es el sistema más fecundo de la física de la materia. Sus modos son ondas muestreadas (II.3 lo insinuó) y sus frecuencias forman la relación de dispersión:
Dos regímenes en una curva. Ondas largas (ka ≪ 1): ω ≈ (a√(K/m))·k — lineal: todas viajan a la misma velocidad v = a√(K/m), el medio se comporta como la cuerda continua de II.7, y esa v es el sonido del material. Ondas cortas: la curva se dobla y satura en el borde de Brillouin (k = π/a, vecinos en contrafase — la onda más corta que la red puede representar): ahí las ondas frenan, se paran, y más allá no hay nada — la red no puede ondular más fino que sus propios átomos.
Doce masas con extremos fijos. Elige el modo: arriba, la onda estacionaria muestreada; abajo, su punto en ω(k) = 2√(K/m)·|sen(ka/2)|.
Ondas largas: la curva es recta (ω = vk) y su pendiente ES la velocidad del sonido del material — átomos y muelles fabricando los 5000 m/s del acero.
Problema. Con a = 2,5 Å, masa atómica 56 y una rigidez interatómica K ≈ 30 N/m (medible por elasticidad), predice la velocidad del sonido en el hierro.
Solución. La pendiente de la dispersión en el origen:
Resultado. El valor real ronda 5100 m/s: un modelo de bolas y muelles de una línea acierta el sonido de un metal en un 10 %. Es el cierre del arco más largo del curso: los 5900 m/s del raíl del western (I.4) eran, desde el principio, química interatómica — muelles de enlace y masas de átomo. Y el borde de la curva predice más: la frecuencia máxima de la red (~6 THz aquí) fija qué luz infrarroja absorbe un cristal y dónde «termina» su sonido. Una curva, un material entero.
El bautizo: fonones
Cada modo de la cadena es un oscilador armónico independiente (artículo 01) — y III.3 enseñó que un oscilador se cuantiza en escalones ħω. Aplicado en masa: las vibraciones de un sólido llegan en paquetes de energía ħω(k), uno por modo — los fonones («partículas de sonido», bautizadas como gemelas del fotón). No es metáfora: los fonones chocan, transportan el calor de los aislantes, frenan electrones (la resistencia eléctrica que crece con la temperatura es fricción con fonones) y hasta emparejan electrones en los superconductores. El Cristalario vivirá de ellos; aquí basta la genealogía: fonón = modo normal de esta cadena + el cuanto de acción de III.3. Cuando el Particulario dice que las partículas son «excitaciones de campos», está aplicando este párrafo a cadenas más abstractas — la física de partículas es la física de la materia condensada del vacío, y ambas nacen en este artículo.
Por qué «dispersión». En la cuerda ideal de II.7, ω = vk: todas las frecuencias viajan igual y un pulso mantiene su forma. En la cadena, la curva se dobla: cada longitud de onda viaja a su velocidad y los pulsos se dispersan — literalmente, se desparraman. Toda la física de medios reales (el prisma del Fotonario separando colores, las olas del mar adelantándose por tamaños, los solitones que se niegan) es gestión de la curvatura de ω(k). La recta era el caso escolar; la curva es el mundo.
Ejercicios
En el borde de Brillouin (vecinos en contrafase), la onda no viaja: es estacionaria. Demuéstralo con la velocidad de grupo v_g = dω/dk, y explica qué «rebota» ahí.
Solución
v_g = a√(K/m)·cos(ka/2): se anula limpiamente en k = π/a. La interpretación es una vieja amiga: una onda con λ = 2a «muestrea» la red en resonancia perfecta — cada átomo la refleja en fase (la condición de Bragg, en una dimensión) y la onda incidente más su reflejo forman la estacionaria. El borde de Brillouin es la cuerda de guitarra de I.4 fabricada por la propia red: donde el medio discreto se declara espejo de sí mismo. En el Cristalario, esta reflexión abrirá las bandas prohibidas de los electrones — el fundamento de toda la electrónica.
Haz la cadena diatómica mentalmente: masas alternas m y M. La dispersión se parte en dos ramas con un hueco entre ellas. ¿Qué movimiento describe cada rama, y por qué la superior se llama «óptica»?
Solución
Rama acústica: las dos masas de cada celda a la par — el sonido de siempre, ω → 0 a onda larga. Rama óptica: m contra M en contrafase dentro de cada celda — frecuencia alta incluso a k = 0, separada por un hueco donde ninguna onda propaga. Se llama óptica porque ese batir de vecinos con cargas opuestas (piensa Na⁺ contra Cl⁻) acopla directamente con la luz infrarroja: la sal absorbe a ~5 THz por su rama óptica. El CO₂ del artículo 02 era una «celda» suelta; el cristal es la celda en formación de desfile — y el hueco entre ramas, el primer «gap» de tu carrera. Habrá más.
¿Cuántos modos tiene la cadena de N masas con extremos fijos, y por qué esa cuenta — trivial aquí — es la que hace funcionar la estadística de los sólidos?
Solución
Exactamente N: ni uno más (no caben ondas más finas que la red — el borde de Brillouin como censo). En tres dimensiones, 3N modos para N átomos: un número finito y conocido de osciladores donde repartir el calor. De ahí saldrá en el artículo 04 la ley de Dulong-Petit (cada modo cobra su parte) y sus desviaciones cuánticas (los modos caros se congelan). El censo completo de la cadena es la diferencia entre la termodinámica de un sólido y un misterio: contar bien es media física estadística — y aquí se cuenta sin esfuerzo.