La hoja de problemas · Sistemas dinámicos y caos

Dos preguntas por sistema y ya tienes el veredicto: ¿cuántas dimensiones tiene su espacio de fases —cuenta variables de estado, no coordenadas—, y es disipativo o hamiltoniano? Con eso y dos teoremas basta: Poincaré-Bendixson pone un suelo de dimensión para el caos en flujos continuos, y el carácter hamiltoniano cambia el tipo de caos que cabe (sin atractores, con toros que se rompen). Cuidado con dos de la lista. En un sistema forzado periódicamente, la fase del forzamiento cuenta como variable de estado: súmala. Y en el último, no confundas el mapa logístico iterado con la ecuación diferencial logística — son sistemas distintos con destinos distintos, y distinguirlos es la mitad de la gracia del problema. Pregúntate qué operación puede hacer un mapa discreto que un flujo continuo sobre una recta tiene terminantemente prohibida.

Lo único que se mide es una serie de instantes de gota (un micrófono y un móvil bastan hoy); todo lo demás sale de ella. Piensa qué representación hace visible una duplicación de período: si dibujas cada intervalo frente al anterior, ¿qué ves en régimen periódico simple y qué ves cuando el ciclo se dobla? El histograma de intervalos es la versión pobre de lo mismo. Para el cociente universal, asegúrate de que buscas el correcto: el que mide cómo se encogen las ventanas de parámetro entre duplicaciones sucesivas, no las amplitudes. Eso te obliga a localizar al menos tres duplicaciones y a conocer el caudal en cada una, que es la parte experimentalmente dura — y explica por qué hay que controlar el caudal con resolución absurda: las ventanas se acortan geométricamente y las últimas son minúsculas. Shaw lo hizo en un laboratorio en 1984; tu fregadero es más barato que su criostato.

Es una exponencial y una desigualdad. Escribe el error final en función del inicial y del tiempo, impón que el error final sea de orden 1 (es decir, que ya no predices nada) y despeja el error inicial. Da el resultado en potencias de diez, no en decimales. Después ponle sentido físico: las variables de Lorenz son adimensionales, así que para que la comparación signifique algo tienes que decidir a qué magnitud real corresponde ese error relativo, y compararlo con la mejor medida que se te ocurra. Repite la cuenta para 100 unidades y observa lo importante: el coste crece exponencialmente y la ganancia solo linealmente, de modo que el problema no se arregla comprando instrumentos. Formula entonces el veredicto sobre el demonio de Laplace en esos términos: ¿qué es exactamente lo que falla — las leyes, el conocimiento de las condiciones iniciales, o la relación entre ambos?

Tres preguntas, tres métodos distintos. Para el nacimiento, mira el mapa iterado tres veces, no el mapa: los puntos de un 3-ciclo son puntos fijos de la tercera iterada, así que dibújala junto a la diagonal y muévela con r. Verás aparecer las intersecciones de golpe y de a pares, en un tipo de bifurcación que tiene nombre propio y que no es la de duplicación — identifícalo. Para «qué pasa al aumentar r», usa el interactivo y haz zoom dentro de la ventana: lo que vas a ver ya lo has visto antes, a otra escala, y esa palabra también tiene nombre. Para el teorema, busca el artículo de Li y Yorke de 1975 y fíjate en qué es exactamente lo que demuestra sobre los otros períodos cuando existe el 3 — y luego en el orden de Sharkovskii, que explica por qué precisamente el 3 y no otro número.

Junta tres piezas que ya tienes. (1) De III.1: qué tipo de equilibrio son L1 y L2 en el potencial efectivo. (2) De III.2: qué sale de un punto de silla en el espacio de fases y hacia dónde se va. (3) De este módulo: qué ocurre cuando dos de esas estructuras se solapan. Con eso, la pregunta «por qué abarata» se responde dándole la vuelta a la propiedad que en I.5 era una maldición: si un error diminuto cambia el destino, ¿qué puede hacer un empujón diminuto? Para el precio, piensa qué es lo que no se puede acelerar en una trayectoria que sigue una variedad casi asintótica — hay una magnitud que se paga siempre, y las agencias la discuten largo antes de aprobar una misión de este tipo. Compárala con lo que costaría la Hohmann equivalente y tendrás el balance completo.

Es un inventario, así que hazlo como inventario: por cada ingrediente, un módulo y una frase que explique por qué hace falta. Cuatro pistas para no dejarte ninguno. La forma importa: ¿qué objeto matemático la codifica, y qué condición tiene que cumplir para que el par de marea dependa de la orientación? La órbita importa: ¿qué le hace la excentricidad a ese par a lo largo de un período? La vecindad importa: ¿qué añade una resonancia con Titán a un forzamiento que ya era periódico? La dimensión importa: ¿cuántos grados de libertad tiene una orientación en el espacio, y cuántos hacen falta para que un sistema hamiltoniano forzado pueda ser caótico? El mecanismo final tiene nombre en este módulo y describe qué les pasa a dos separatrices vecinas cuando el forzamiento crece. Y una comprobación con el dato del enunciado: calcula cuántos «días» de Hiperión caben dentro de un horizonte de predicción útil, y decide si «impredecible» es una exageración o una descripción.