La transformada de Fourier

Un átomo de sodio excitado tarda 16,25 ns en desexcitarse, y por eso la raya amarilla que emite tiene 9,79 MHz de anchura. Los dos números son el mismo número: uno es el otro pasado por una transformada de Fourier. Esta ficha va de esa operación, que es la que convierte una duración en una anchura, una rendija en un patrón de difracción y una función de onda en un espectro de momentos.

Quién pide esta ficha

Mecanario II.7, artículo 02 — el artículo se llama «Fourier» y monta el timbre de un instrumento sobre él.
Mecanario II.7, artículo 04 — el sonido en serio: espectros, armónicos y por qué dos instrumentos con la misma nota suenan distinto.
Termario I.1, artículo 04 — la ley de Fourier del calor, que es de donde viene el nombre; la ecuación se resuelve transformando.
Cuantario I.1, artículo 03 — los espectros de rayas: por qué una raya nunca es infinitamente fina.
Electrario I.1 y su Nivel II previsto — impedancias, fasores y el espectro de un pulso.
Fotonario — la difracción de Fraunhofer es la transformada de la abertura, y ahí es donde más se nota.

Necesitas: integrales, exponenciales complejas y la fórmula de Euler. Ayuda haber visto una serie de Fourier antes, pero no hace falta: aquí se empieza por la transformada.

La transformada, calculada y comprobada

Elige una señal, cambia su anchura y mira el espectro. No hay ninguna fórmula dibujada: el panel suma la integral de Fourier sobre 512 muestras y 300 frecuencias cada vez que mueves el mando. Después mide la semianchura de lo que ha calculado y la compara con la fórmula analítica del par — que es la forma de saber que el cálculo está bien, y la misma disciplina que este sitio se exige con cada número que publica.

Señal x(t)

Espectro |X(ν)|

anchura σ: 0.0200 s

Semianchura medida 9,3695 Hz

Fórmula analítica 9,3695 Hz

Discrepancia 1,3 × 10⁻⁷

par: gaussiana ↔ gaussiana Parseval: el 100.0 % de la energía cae en la banda dibujada

Señal de 0.0200 s de anchura, espectro de 9,370 Hz de semianchura: el producto vale 0.1874. Estrecha la señal y el espectro se ensancha en la misma proporción, así que ese producto no cambia: es una propiedad de la forma, no del tamaño. Ojo con compararlo entre formas — con esta medida la lorentziana sale «mejor» que la gaussiana, y eso es un artefacto de medir a media altura una curva con colas gruesas. La desigualdad de incertidumbre usa anchuras cuadráticas medias, y la de una lorentziana es infinita. La discrepancia de 1,3 × 10⁻⁷ entre lo medido y la fórmula es el error de la rejilla y del truncamiento de la ventana, no un fallo: ninguna transformada numérica está libre de los dos. El único perfil que es su propia transformada, y el que minimiza el producto tiempo-ancho de banda.

Qué hace, y el convenio que hay que declarar

La transformada de Fourier de una función del tiempo es una función de la frecuencia:

X(\nu) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-2\pi i \nu t}\,dt, \qquad x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(\nu)\,e^{+2\pi i \nu t}\,d\nu.

Lo que hace es preguntarle a la señal cuánto se parece a cada exponencial compleja. Donde $|X(\nu)|$ es grande, esa frecuencia está presente; el espectro es esa curva.

Y ahora el convenio, que es la trampa número uno de todo el tema. Ésa es la versión con $\nu$ en hercios y el $2\pi$ dentro del exponente. Con $\omega = 2\pi\nu$ aparecen factores $1/2\pi$ o $1/\sqrt{2\pi}$ delante, según quién lo escriba, y el signo del exponente cambia entre la convención de la física y la de la ingeniería. Ninguna es más correcta; lo que sí es un error es mezclar dos. Este sitio usa la de arriba y lo dice en cada ficha que la toque.

Los tres pares que hay que saber de memoria

Casi todo lo que se hace con transformadas se reduce a reconocer uno de estos tres pares. Los tres están comprobados con sympy en scripts/verificar-st1.py.

Señal	Transformada	Semianchura a media altura
Gaussiana e^(−t²/2σ²)	σ√(2π)·e^(−2π²σ²ν²)	0,18739 / σ
Rectángulo de anchura a	sen(πaν)/(πν) — un sinc	0,60335 / a (primer cero en 1/a)
Exponencial e^(−\|t\|/τ)	2τ/(1+(2πντ)²) — una lorentziana	0,15915 / τ = 1/(2πτ)

Tres cosas se leen directamente de la tabla. La primera: la gaussiana es la única que se transforma en sí misma, con $\sigma_\nu = 1/(2\pi\sigma_t)$ . La segunda: cortar una señal en seco —el rectángulo— cuesta un espectro con colas que caen como $1/\nu$ , y esas colas son los lóbulos secundarios de la difracción por una rendija. La tercera: una exponencial da una lorentziana, y eso tiene una consecuencia física que ocupa la sección siguiente.

Y una regla que las gobierna todas: en las tres, la anchura del espectro es inversamente proporcional a la de la señal. Estrechar en el tiempo es ensanchar en frecuencia, siempre, con el factor exacto que dice la tercera columna.

Ejemplo resuelto 1 · Por qué una raya espectral tiene anchura

Problema. Un átomo de sodio en el estado excitado 3p permanece ahí un tiempo medio $\tau = 16{,}25$ ns antes de emitir. Si la emisión fuera un coseno puro su espectro sería una raya infinitamente fina. ¿Cuánto mide en realidad?

Solución. La amplitud emitida no es un coseno: es un coseno multiplicado por una exponencial que decae, porque la población del estado excitado cae como $e^{-t/\tau}$ . Su transformada es una lorentziana centrada en la frecuencia de la transición, y su anchura total a media altura sale

\Delta\nu = \frac{1}{2\pi\tau} = \frac{1}{2\pi \cdot 16{,}25\times10^{-9}\,\text{s}} = 9{,}79\ \text{MHz}.

En longitud de onda, con $\Delta\lambda = \lambda^2\Delta\nu/c$ y $\lambda = 589{,}2$ nm, eso son 11,3 fm.

Resultado. 9,79 MHz, es decir, once femtómetros de longitud de onda: una parte en cincuenta millones. Lo importante no es lo pequeño que es, sino que no es cero y no se puede hacer cero. Es la anchura natural de la raya, y no depende de la calidad del espectrómetro ni de la temperatura: sólo de que el estado excitado dure lo que dura. Un átomo que emitiera durante un tiempo infinito daría una raya infinitamente fina, y un átomo que no emitiera nunca no daría ninguna raya. La conexión funciona en los dos sentidos, y es como se miden vidas medias que ningún cronómetro alcanza: midiendo anchuras.

El compromiso, y de dónde sale Heisenberg

La proporcionalidad inversa entre las dos anchuras es un teorema, no una observación. Midiendo las anchuras como desviaciones típicas,

\sigma_t\,\sigma_\omega \geq \tfrac{1}{2},

con igualdad sólo para la gaussiana. Esto es análisis puro: vale para una señal de radio, para un pulso de láser y para una ola. Ahora sustituye la variable temporal por una espacial y usa que en mecánica cuántica el momento es $p = \hbar k$ , y la misma desigualdad se lee

\sigma_x\,\sigma_p \geq \frac{\hbar}{2} = 5{,}27\times10^{-35}\ \text{J s}.

El principio de incertidumbre no es un teorema de la mecánica cuántica: es este teorema de Fourier, más la hipótesis física de que a una partícula le corresponde una onda. Con un número para verlo: un electrón confinado en 1,00 Å —el tamaño de un átomo— tiene un momento indeterminado de al menos 5,27 × 10⁻²⁵ kg·m/s, lo que corresponde a una energía cinética de 0,952 eV. Ése es el orden de magnitud de un enlace químico, y no es coincidencia: es la razón de que los átomos tengan el tamaño que tienen.

Cuidado al comparar anchuras entre formas distintas. El interactivo mide semianchuras a media altura del módulo, porque es lo que se puede medir sobre una curva calculada. Con esa medida la lorentziana sale «más estrecha» que la gaussiana, y sería un disparate concluir que bate la desigualdad de arriba. No la bate: esa desigualdad usa anchuras cuadráticas medias, y la de una lorentziana es infinita — sus colas caen como $1/\nu^2$ y la integral de $\nu^2|X|^2$ diverge.

La moraleja va más allá de este caso: un número de anchura no significa nada sin decir cómo se ha medido. Anchura a media altura, desviación típica, anchura equivalente y anchura a $1/e$ dan cuatro números distintos para la misma curva, y el famoso 0,441 del párrafo siguiente usa la primera sobre intensidades, no sobre amplitudes.

El mismo teorema, en tres laboratorios

Un pulso de láser. Para pulsos gaussianos, midiendo las anchuras a media altura de las intensidades, el producto tiempo-ancho de banda mínimo vale $2\ln 2/\pi = 0{,}441$ . Un pulso de 10,0 fs no puede tener menos de 44,1 THz de ancho de banda, que a 800 nm son 94,2 nm de espectro. Un láser de femtosegundos tiene que ser de banda ancha; no es un defecto de diseño, es el teorema.

Una rendija. El campo lejano de una abertura es la transformada de su función de transmisión, con la frecuencia espacial haciendo de $\nu$ . Para una rendija de 0,100 mm iluminada con un láser de helio-neón (633 nm), el primer cero del sinc cae en $\operatorname{sen}\theta = \lambda/a = 6{,}33$ mrad, o 0,363°. En una pantalla a 2,00 m, el máximo central mide 25,3 mm de ancho.

Un instrumento cualquiera. Observar durante un tiempo $T$ es multiplicar la señal por un rectángulo de anchura $T$ , y eso ensancha cada raya en al menos $1/T$ . Ninguna transformada rápida da nunca una raya más fina que eso, por muchos puntos que se le echen. Es el límite que separa «resolución» de «número de muestras», y confundirlos es el error más común al interpretar una FFT.

Ejemplo resuelto 2 · Comprobar una transformada numérica

Problema. Has calculado numéricamente la transformada de una señal y quieres saber si está bien, sin tener la respuesta analítica delante. ¿Qué compruebas?

Solución. Tres cosas, en este orden. Primera, el teorema de Parseval: $\int|x|^2dt = \int|X|^2d\nu$ , las dos energías tienen que coincidir; si no lo hacen, el factor $\Delta t$ de la suma está mal puesto, que es el fallo más común. Segunda, el valor en el origen: $X(0) = \int x\,dt$ , que casi siempre se sabe de cabeza. Y tercera, una anchura contra la fórmula analítica del par correspondiente, que es lo que hace el panel de arriba en tiempo real.

Resultado. Las tres son gratis y ninguna exige saber la respuesta. En el panel de esta ficha la tercera comprobación da acuerdos entre 10⁻⁸ y 10⁻³, y los casos peores no son casualidad: la exponencial falla más porque la ventana la corta antes de que muera, y el rectángulo falla más si su anchura no cae en un número entero de muestras. Ésa es la segunda lección, y vale para cualquier cálculo numérico: el error que importa casi nunca es el del algoritmo, sino el de la discretización que había antes de llamarlo.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un estado atómico tiene una raya de 100 kHz de anchura natural. ¿Cuánto vive? ¿Y si la raya midiera 1,00 GHz?

Solución

De $\tau = 1/(2\pi\Delta\nu)$ : 1,59 µs para 100 kHz y 0,159 ns para 1,00 GHz.

La segunda lección está en el rango. Los estados con vidas de microsegundos son los metaestables, los que se usan en relojes atómicos y en láseres, precisamente porque su raya estrecha permite anclar una frecuencia con precisión. Los de nanosegundos son las transiciones permitidas ordinarias. La anchura de una raya no es una molestia experimental: es una medida directa de cuánto se acopla el átomo al campo electromagnético.

Ejercicio 2

En el interactivo, elige el pulso modulado y mueve la portadora sin tocar la envolvente. La semianchura no cambia. ¿Qué propiedad de la transformada es ésa, y qué significa en el laboratorio?

Solución

El teorema del desplazamiento: multiplicar por $e^{2\pi i\nu_0 t}$ traslada el espectro entero a $\nu_0$ sin deformarlo. La anchura la fija sólo la envolvente.

La segunda lección es de ingeniería: por eso se puede modular. Toda la radio, toda la fibra óptica y todo el láser pulsado se apoyan en que la información va en la envolvente y la portadora sólo la lleva de sitio. Y también explica una frustración de laboratorio: cambiar el color de un láser pulsado no lo hace más corto — para eso hay que tocar la envolvente, y ahí manda el teorema.

Ejercicio 3

Quieres distinguir dos rayas separadas 1,0 MHz. ¿Durante cuánto tiempo, como mínimo, tienes que observar? Y si tu detector sólo puede medir durante 100 ns, ¿qué separación mínima podrías resolver?

Solución

Observar durante $T$ ensancha cada raya en $\sim 1/T$ , así que hace falta $T \gtrsim 1/\Delta\nu = 1{,}0$ µs. Con 100 ns, la separación mínima es $\sim 10$ MHz.

La segunda lección: esto no depende de la relación señal-ruido ni del instrumento, y por eso es un límite y no una dificultad. Y tiene una lectura incómoda para el análisis de datos — muestrear más rápido no mejora la resolución en frecuencia; sólo sube la frecuencia máxima observable. La resolución la fija la duración total del registro, y ninguna cantidad de puntos la compra.

Resumen en frío · Ficha ST.1

Lo que esta ficha deja utilizable, para volver dentro de seis meses sin releerla.

Qué	Fórmula o valor	Dónde
Definición (convenio del sitio)	X(ν) = ∫x(t)e^(−2πiνt)dt	§1
Inversa	x(t) = ∫X(ν)e^(+2πiνt)dν	§1
Par gaussiano	e^(−t²/2σ²) ↔ σ√(2π)e^(−2π²σ²ν²); σ_ν = 1/(2πσ_t)	§2
Par rectángulo	rect(a) ↔ sen(πaν)/(πν); primer cero en 1/a	§2
Par exponencial	e^(−\|t\|/τ) ↔ 2τ/(1+(2πντ)²); FWHM 1/(πτ)	§2
Semianchuras a media altura	0,18739/σ · 0,60335/a · 0,15915/τ	§2
Anchura natural de raya	Δν = 1/(2πτ); Na D2: τ = 16,25 ns → 9,79 MHz → 11,3 fm	ej. res. 1
Incertidumbre	σ_t σ_ω ≥ 1/2; con p = ℏk, σ_x σ_p ≥ ℏ/2 = 5,27 × 10⁻³⁵ J·s	§3
Electrón en 1,00 Å	σ_p ≥ 5,27 × 10⁻²⁵ kg·m/s → E ≈ 0,952 eV	§3
Pulso limitado por transformada	Δt·Δν = 2ln2/π = 0,441 (FWHM de intensidad)	§4
Pulso de 10,0 fs a 800 nm	Δν = 44,1 THz; Δλ = 94,2 nm	§4
Difracción por rendija	sen θ = λ/a; 633 nm y 0,100 mm → 6,33 mrad = 0,363°	§4
Resolución de una medida	observar T ⟹ anchura mínima ~1/T; muestrear más no ayuda	§4, ej. 3
Parseval	∫\|x\|²dt = ∫\|X\|²dν — la comprobación de todo cálculo numérico	ej. res. 2
Desplazamiento	multiplicar por e^(2πiν₀t) traslada el espectro sin deformarlo	ej. 2
Trampa 1	el convenio del 2π y del signo: se declara o se mezcla	§1
Trampa 2	la anchura cuadrática media de una lorentziana es infinita	callout

Adónde lleva esta ficha. Con esto ya puedes mirar cualquier espectro y saber qué parte de su anchura es del sistema y qué parte es de tu forma de medirlo, que es la pregunta que separa un dato de un artefacto. Lo que falta son tres piezas con ficha propia pendiente en esta misma área: la serie de Fourier, que es este mismo teorema para señales periódicas; la convolución, que explica por qué todo instrumento ensancha lo que mide; y la delta de Dirac, que es lo que hay que inventarse para que una raya infinitamente fina tenga sentido matemático.

Para usarlo ya: Mecanario II.7 lo aplica a una cuerda y llega hasta el timbre de un instrumento, y Cuantario I.1 usa los espectros de rayas para entrar en la cuántica — con esta ficha ya se sabe por qué esas rayas tienen anchura antes de que la cuántica diga nada.