Integrales impropias: convergencia, singularidades y colas

La energía del campo de un electrón puntual es infinita: el integrando va como $r^{-2}$ y la integral no converge en el origen. El potencial en el centro de un disco cargado, donde cada elemento de carga aporta el mismo $1/s$ que se hace infinito, vale 3595 voltios, un número perfectamente respetable. La diferencia entre las dos integrales es un exponente, y ese exponente es toda esta ficha. Con él se decide además si el calor específico puede o no anularse en el cero absoluto, si $\Delta p$ existe para una rendija de bordes duros, y si el universo tiene un horizonte observable de tamaño finito.

Quién pide esta ficha

Electrario II.1, artículo 04 — «la integral radial es $\int_0^{\infty} r^{-4}\,r^{2}dr$ , que diverge en el origen. Una carga puntual tiene energía infinita». La sección entera se titula «La autoenergía, que es infinita y sigue sin resolverse», y el criterio que decide esa divergencia no se enuncia en ninguna parte del módulo.
Electrario II.1, artículo 01 — el callout que cierra el artículo: «el campo va como $1/r^2$ y su energía como $\int E^2 d\tau \sim \int dr/r^2$ , que diverge en el origen». Es la primera vez que el lector se encuentra con una integral que no vale nada, y se le remite al artículo 04 sin darle la herramienta.
Electrario II.1, artículo 03 — el ejemplo resuelto 2 enuncia el criterio de pasada y sin demostrarlo: « $dq \sim s\,ds$ se anula tan deprisa como $1/s$ diverge, y el producto es integrable. Ése es el criterio general». Y el ejercicio 4(d) lo remata con la otra mitad: «cuando una magnitud diverge, hay que mirar si lo que se mide es ella o una diferencia de ella».
Termario II.7, artículo 04 — el ejemplo resuelto 2 es un argumento de convergencia: «si C tendiera a una constante c₀ ≠ 0, el integrando iría como c₀/T y la integral divergiría logarítmicamente». De ahí sale que el calor específico tiene que anularse en el cero absoluto, y el caso frontera $p = 1$ que lo decide no se justifica.
Cuantario I.3, artículo 01 — el callout más duro del módulo: «para una rendija rectangular de verdad, Δp no existe. […] las colas caen como 1/p², y con eso el promedio de p² no converge: la integral diverge». Es una divergencia de cola, no de origen, y el artículo la usa para desmontar una frase de libro de texto.
Gravitario I.5, artículo 03 — su caja de prerrequisitos promete que «no hace falta ninguna derivada ni ninguna integral: el interactivo hace las cuentas», y las dos cifras del artículo salen de sendas integrales impropias. El propio CalculadoraCosmologica.svelte lo dice en sus comentarios: «el integrando es finito en a = 0 gracias a Ω_r, que por eso NO se desprecia aquí», y «las integrales […] se hacen con el cambio a = u², que reparte los puntos donde hacen falta».

Necesitas: saber que una integral definida es un área y manejar potencias y logaritmos. La sección del cambio de variable usa la regla de la cadena; el resto se lee sin ella. No hace falta ninguna teoría de límites: aquí un límite es «hacia dónde va el número cuando aprieto el corte».

Dos maneras de ser impropia, y una definición

Una integral impropia es una en la que algo del enunciado es infinito. Sólo hay dos casos, y conviene no mezclarlos porque el criterio se invierte de uno a otro:

Singularidad: el integrando se va a infinito en algún punto del intervalo, casi siempre en un extremo. Es el caso de $\int_0^{R} E^2\,d\tau$ para una carga puntual, y el de $\int_0^{T} C/T'\,dT'$ si $C$ no se anula.
Cola: el intervalo es infinito. Es el caso de $\langle p^2\rangle = \int p^2 f(p)\,dp$ de la rendija, y el de la energía del campo fuera de una esfera.

En los dos, la integral no está definida directamente: se define poniendo un corte, integrando lo que queda —que ya es una integral corriente— y mirando adónde va el resultado al mover el corte:

\int_0^{a} f = \lim_{\epsilon\to 0^+}\int_{\epsilon}^{a} f, \qquad \int_a^{\infty} f = \lim_{P\to\infty}\int_a^{P} f.

Si ese límite existe y es finito, la integral converge y vale ese número. Si no, diverge y no vale ninguno. Y ahí está la primera cosa que hay que fijar, porque es la que más se confunde: impropia no significa divergente. Casi todas las integrales impropias de la física convergen; lo interesante es exactamente las pocas que no.

El criterio del exponente, que es toda la ficha

Cerca de un punto singular o lejos en la cola, lo único que decide es a qué potencia va el integrando. Lo demás —constantes, factores acotados, senos y cosenos— no cambia la respuesta. Las dos líneas son éstas, y las dos están comprobadas con sympy:

Dónde	Integral	Converge si	Diverge si	Ejemplo
En el origen (singularidad)	∫₀ᵃ x⁻ᵖ dx	p < 1	p ≥ 1	∫₀¹ x⁻¹ᐟ² dx = 2
En la cola (intervalo infinito)	∫ₐ^∞ x⁻ᵖ dx	p > 1	p ≤ 1	∫₁^∞ x⁻² dx = 1

La regla mnemotécnica: en el origen sobrevive el exponente pequeño; en la cola, el grande; y $p = 1$ pierde en los dos sitios. La razón es la misma en las dos filas y se ve haciendo la primitiva: para $p \neq 1$ es $x^{1-p}/(1-p)$ , y lo que decide es el signo del exponente $1-p$ ; para $p = 1$ la primitiva es $\ln x$ , que se va a infinito por los dos extremos, aunque con una lentitud que hay que ver para creer.

Y con eso viene el criterio de comparación, que es la forma en que esto se usa de verdad: no hace falta resolver la integral. Si cerca del punto problemático el integrando se comporta como $C\,x^{-p}$ , la integral converge o diverge exactamente igual que $\int x^{-p}dx$ . Todo el trabajo consiste en escribir el integrando entero —incluido el elemento de volumen— y leer el exponente. El $4\pi r^2 dr$ de las esféricas no es decoración: es lo que convierte un $r^{-4}$ en un $r^{-2}$ , y lo que decide el resultado.

La divergencia logarítmica es la más lenta que existe, y por eso no se detecta numéricamente. Tomando el caso frontera con el número de Termario, $C = 3R = 24{,}94$ J/(mol·K): bajar de 1 K a 1 mK acumula $3R\ln 1000 = 172{,}3$ J/(mol·K), y seguir hasta $10^{-10}$ K —siete décadas más— sólo lo sube a 574,3. Siete órdenes de magnitud más de esfuerzo para multiplicar el resultado por 3,3. Ningún cálculo numérico va a delatar nunca una divergencia así: que $p = 1$ diverge se demuestra, no se mide. Y sin embargo diverge, y eso basta para prohibir una ley física entera.

Ejemplo resuelto 1 · La autoenergía del electrón, y por qué el disco se salva

Problema. La energía del campo electrostático es $W = (\varepsilon_0/2)\int E^2 d\tau$ . Para una carga puntual, $E = kq/r^2$ y $d\tau = 4\pi r^2 dr$ . (a) Di en cuál de los dos extremos falla y por qué. (b) Corta en un radio $R$ y averigua qué $R$ haría que toda la masa del electrón fuese energía de su propio campo. (c) Compara con el potencial en el centro del disco cargado del artículo 03 de Electrario, cuyo integrando también se hace infinito.

Solución. (a) El integrando entero es

\frac{\varepsilon_0}{2}\left(\frac{kq}{r^{2}}\right)^{2}4\pi r^{2} = \frac{kq^{2}}{2}\,r^{-2},

así que $p = 2$ en los dos extremos, y la tabla dice cosas opuestas en cada uno. En la cola, $p = 2 > 1$ y converge: la energía del campo fuera de cualquier esfera de radio $R$ es finita y vale $kq^{2}/2R$ . En el origen, $p = 2 \ge 1$ y diverge, y no logarítmicamente: crece como $1/R$ , que es la peor manera de divergir de esta ficha.

(b) Igualando $kq^{2}/2R = m_ec^{2} = 511$ keV sale $R = 1{,}409$ fm. Con el convenio habitual, que ignora el factor ½, se define el radio clásico del electrón $r_e = ke^{2}/m_ec^{2} =$ 2,818 fm, que es el número que da Electrario; con el modelo de esfera uniforme y su 3/5 saldrían 1,691 fm. Las tres cifras están dentro de un factor 2 y todas son del orden del fermi.

Resultado. Ese radio no es el del electrón, y ahí está el problema: los experimentos lo acotan por debajo de $10^{-18}$ m, 2818 veces más pequeño que $r_e$ . Cortando ahí, la energía del campo por sí sola valdría 720 MeV —1409 veces la masa del electrón, y tres cuartas partes de la masa de un protón—, y sigue creciendo sin nada que la pare. La divergencia no es un tecnicismo de notación: es un número que se hace absurdo antes de llegar a la escala donde se mide.

(c) Y ahora el contraste, que es la lección de método. El potencial en el centro del disco es $V(0) = (1/4\pi\varepsilon_0)\int_0^{R} \sigma\,2\pi s\,ds/s$ : el $1/s$ se hace infinito en el centro igual que el campo de la carga puntual, pero el elemento de área $2\pi s\,ds$ se anula justo ahí. El integrando entero va como $s^{0}$ , o sea $p = 0 < 1$ , y la integral converge: $V(0) = \sigma R/2\varepsilon_0 =$ 3595 V para el disco de 10 cm y 20 nC. Dos integrandos con la misma singularidad aparente y dos resultados opuestos, y lo único que los separa es el exponente del elemento de volumen. De ahí sale la frase de Electrario —«una distribución continua nunca produce potencial infinito, aunque una carga puntual sí»— convertida en algo que se puede comprobar en diez segundos en vez de creer.

El caso frontera: por qué el calor específico se anula en el cero

$p = 1$ es la frontera, y en física aparece más de lo que su medida cero sugiere, porque las leyes tienden a producir exponentes enteros. El caso limpio está en el tercer principio de la termodinámica. La entropía absoluta a temperatura $T$ es

S(T) = \int_0^{T}\frac{C(T')}{T'}\,dT',

una integral con el cero dentro. Si el calor específico tendiera a una constante $c_0 \neq 0$ al enfriar —que es lo que dice Dulong-Petit, y lo que uno esperaría—, el integrando iría como $c_0/T'$ : exactamente $p = 1$ , y la integral divergiría. La entropía de cualquier sólido a cualquier temperatura sería infinita. Como no lo es, $C$ tiene que anularse en el cero, y además lo bastante deprisa como para dejar $C/T$ integrable. Es un argumento puramente matemático que prohíbe una ley física.

Ejemplo resuelto 2 · El cobre desde el cero absoluto

Problema. (a) Con $C = 3R$ constante, ¿por debajo de qué temperatura la integral de $C/T$ ya habría acumulado los 33,15 J/(mol·K) que vale la entropía medida del cobre a 25 °C? (b) Con el calor específico de verdad —Debye más electrones, con $\theta_D = 343$ K y $\gamma = 0{,}695$ mJ/(mol·K²)—, calcula la entropía acumulada entre 0 y 1 K y compárala con ese total.

Solución. (a) Con $C$ constante la integral es elemental: $3R\ln(1/T_1)$ , y con $3R = 24{,}94$ J/(mol·K) igualarla a 33,15 da $T_1 =$ 0,265 K. Es decir: si Dulong-Petit siguiera valiendo, el trozo de temperatura que va de 0,265 K a 1 K —un trozo en el que no pasa absolutamente nada— aportaría él solo toda la entropía que el cobre tiene a temperatura ambiente. Y por debajo seguiría sumando para siempre.

(b) Lo que hay de verdad son dos términos, y los dos matan el problema:

\frac{C}{T} = \underbrace{\frac{1943{,}8}{\theta_D^{3}}\,T^{2}}_{\text{red, } p=-2} + \underbrace{\gamma}_{\text{electrones, } p=0},

los dos con $p < 1$ y por tanto integrables sin esfuerzo. La integral sale en forma cerrada: $S(0\to 1\,\text{K}) = 1943{,}8/(3\theta_D^{3}) + \gamma = 1{,}61\times10^{-5} + 6{,}95\times10^{-4} =$ 7,11 × 10⁻⁴ J/(mol·K), que son los 7,1 × 10⁻⁴ que publica Termario. Nótese de paso que el término electrónico, el que parece despreciable, aporta el 97,7 % de esa entropía: el $T^3$ de Debye se apaga mucho más deprisa.

Resultado. Lo que no se puede medir vale 2,1 × 10⁻⁵ del total —dos cienmilésimas—, y por eso las entropías absolutas se pueden tabular con tres cifras honestas pese a empezar en un punto al que nadie ha llegado. Entre la catástrofe del apartado (a) y la irrelevancia del (b) sólo hay un cambio de exponente: de $p = 1$ a $p \le 0$ . La segunda lección es que $p = 1$ no es «casi converge»: es divergente, la entropía saldría infinita a toda temperatura, y el enunciado del tercer principio —con todo lo que cuelga de él— descansa entero sobre en qué lado de esa frontera cae un exponente.

La cola: cuando lo que falla está en el infinito

En la cola el criterio se da la vuelta: hace falta que el integrando caiga deprisa, más deprisa que $1/x$ . Y hay una trampa que Cuantario documenta mejor que la mayoría de los libros: que una densidad de probabilidad esté normalizada no garantiza que tenga momentos, porque lo que se integra para el momento de orden $n$ no es $f$ sino $x^n f$ , y eso baja el exponente en $n$ unidades de golpe.

Una rendija de bordes duros de anchura $d$ produce una distribución de momento $|\phi(p)|^2$ proporcional al cuadrado de una función sinc, cuyas colas caen como $1/p^2$ . Para la normalización eso es $p = 2 > 1$ y converge; para $\langle p^2\rangle$ el factor $p^2$ cancela la caída y queda $p = 0$ : la integral crece linealmente con el corte y no se para. Con $d = \hbar = 1$ sale en forma cerrada,

\langle p^2\rangle_P = \int_{-P}^{P} p^2|\phi(p)|^2 dp = \frac{2}{\pi}\bigl(P - \sin P\bigr) \;\approx\; \frac{2P}{\pi},

de donde $\Delta p \propto \sqrt{P}$ , que es justo lo que dice el artículo. Con $\Delta x = d/\sqrt{12}$ para una rendija uniforme, esa fórmula reconstruye los números que Cuantario publica: corte en $10\pi/d$ , producto 2,58 veces $\hbar/2$ ; cien veces más lejos, 25,8; mil veces más lejos, 81,6 —el valor exacto es 81,65, y Cuantario lo imprime como 81,7—. Y cien mil veces más lejos, 816. No hay número al que converja porque no hay número.

Un corte no es una respuesta. La prueba de que una magnitud diverge es operativa y cabe en una frase: si el resultado depende de dónde pongas el corte, no has calculado nada. Multiplicar el corte por cien y ver que el resultado se multiplica por diez es la firma de una divergencia como $\sqrt{P}$ , igual que verlo crecer en saltos iguales por cada década es la firma de una logarítmica. Cuando el corte es una escala física de verdad —el tamaño real de una distribución de carga, una energía por encima de la cual la teoría deja de valer— el número sí significa algo, pero entonces hay que decir cuál es esa escala y por qué. Esta distribución sin varianza es hermana de la lorentziana de la ficha PE.1, que también está normalizada y tampoco tiene desviación típica.

El cambio de variable que regulariza

Que una integral converja no significa que se pueda calcular. Un integrando que se va a infinito rompe cualquier método numérico —el primer punto de la malla vale $\infty$ — y arruina la precisión de los demás. La salida es un cambio de variable que aplana la singularidad, y para una potencia hay uno exacto: si el integrando va como $x^{-p}$ con $p < 1$ , el cambio

x = u^{1/(1-p)} \quad\Longrightarrow\quad x^{-p}\,dx = \frac{du}{1-p}

convierte el integrando en una constante. Comprobado con sympy: para $p = 1/2$ el cambio es $x = u^2$ y el integrando pasa a valer 2; para $p = 2/3$ , $x = u^3$ y pasa a valer 3. Es exactamente el cambio $a = u^2$ que la calculadora cosmológica de Gravitario declara en sus comentarios, y por la misma razón: ignorando la radiación, el integrando de la distancia comóvil va como $a^{-1/2}$ .

Y conviene ver cuánto cuesta no hacerlo, porque la penalización no es la que uno espera. Integrando $\int_0^1 a^{-1/2}da = 2$ por Simpson —el método que usa esa calculadora— con la malla cruda, y poniendo $f(0) = 0$ porque es lo menos malo que se puede hacer con un primer punto que vale infinito, el error relativo va así:

Intervalos	Resultado	Error
200	1,911	4,45 %
2000	1,9719	1,41 %
20 000	1,9911	0,445 %
200 000	1,99719	0,141 %
cualquiera, tras el cambio a = u²	2,000000	exacto

El error de Simpson debería ir como $n^{-4}$ ; con la singularidad dentro va como $n^{-1/2}$ , o sea que multiplicar por diez el trabajo mejora el resultado en un factor 3,2. Para llegar a seis cifras harían falta unos $4\times 10^{11}$ intervalos. Tras el cambio de variable el integrando es la constante 2 y Simpson lo clava con dos intervalos. Convergente y calculable son dos cosas distintas, y el cambio de variable es lo que convierte la primera en la segunda.

Ejercicios

Ejercicio 1

Diagnóstico rápido: di cuáles de estas cinco convergen, dónde está el problema en cada una y con qué exponente. Las cinco están tomadas de artículos publicados.

(a) $\int_0 E^2\,4\pi r^2dr$ con $E = kq/r^2$ — la autoenergía de Electrario.
(b) $\int_0^{R} (1/s)\,2\pi s\,ds$ — el potencial en el centro del disco.
(c) $\int_0^{T} (\gamma T'/T')\,dT'$ — el término electrónico de la entropía del cobre.
(d) $\int_0^{1} da/\sqrt{a}$ — la distancia comóvil en un universo sólo de materia.
(e) $\int^{\infty} p^2\,(1/p^2)\,dp$ — el $\langle p^2\rangle$ de la rendija dura.

Solución

(a) El integrando entero va como $r^{-2}$ : en el origen $p = 2 \ge 1$ , diverge. (b) $s^{0}$ , o sea $p = 0 < 1$ : converge. (c) el integrando es la constante $\gamma$ , $p = 0$ : converge, y vale $\gamma T$ . (d) $p = 1/2 < 1$ : converge y vale 2. (e) el $p^2$ cancela la cola, queda $p = 0$ en el infinito, que necesita $p > 1$ : diverge.

La segunda lección es que en los cinco casos el trabajo real no es el criterio, sino escribir el integrando completo antes de mirarlo. En (a) el $4\pi r^2 dr$ convierte un $r^{-4}$ en un $r^{-2}$ y aun así no salva la integral; en (b) el $2\pi s\,ds$ convierte un $s^{-1}$ en un $s^{0}$ y sí la salva. El elemento de volumen no es un adorno de notación: en la mitad de estos problemas es el que decide, y es justo el factor que se pierde al copiar una fórmula sin sus coordenadas.

Ejercicio 2

En un universo plano la distancia comóvil que ha recorrido la luz desde el principio es $\chi = (c/H_0)\int_0^{1} da/D(a)$ , con $D(a) = a^2H(a)/H_0$ . Con sólo materia, $D = \sqrt{a}$ ; con sólo constante cosmológica, $D = a^2$ . Calcula el tamaño del universo observable en el primer caso con $H_0 = 67{,}4$ km/s/Mpc, compáralo con la edad, y di qué pasa en el segundo.

Solución

Sólo materia: $p = 1/2 < 1$ , la integral converge y vale 2, así que $\chi = 2c/H_0$ . Con $c/H_0 = 14{,}51$ mil millones de años luz eso da 29,0 mil millones de años luz. La edad del mismo universo es $t_0 = 2/3H_0 =$ 9,67 mil millones de años, de modo que el horizonte mide exactamente 3,00 veces lo que la luz habría recorrido en línea recta. Ése es el factor 3,34 que publica Gravitario para el universo de verdad, aquí en su versión de libro.

Sólo constante cosmológica: el integrando es $a^{-2}$ , o sea $p = 2 \ge 1$ , y la integral diverge. La consecuencia física es enorme y se lee directamente del exponente: ese universo no tiene horizonte de partículas. Todo punto ha estado siempre en contacto causal con todo punto, porque la luz ha tenido tiempo infinito de dar la vuelta al problema mientras el factor de escala se acercaba a cero.

La segunda lección es que la diferencia entre «se ve un trozo finito del universo» y «se ve todo» es un exponente en el denominador, y que por eso Gravitario no puede quitar la radiación de su calculadora: $\Omega_r$ es lo que mantiene el integrando finito en $a = 0$ y lo que hace que las cifras sean estables. El interactivo lo dice en sus comentarios, y es la clase de detalle que distingue un panel que calcula de un panel que enseña un número.

Ejercicio 3

El potencial de un hilo cargado de semilongitud $L$ a distancia $s$ es $V = (\lambda/4\pi\varepsilon_0)\int_{-L}^{L} dx/\sqrt{x^2+s^2}$ . ¿Qué le pasa cuando $L\to\infty$ , y por qué eso no rompe nada? Con $\lambda = 1$ μC/m, pon cifras a las dos respuestas.

Solución

En la cola el integrando va como $1/|x|$ : $p = 1$ otra vez, el caso frontera, y otra vez divergencia logarítmica. En efecto, $V \approx (\lambda/2\pi\varepsilon_0)\ln(2L/s)$ , y con $\lambda/2\pi\varepsilon_0 = 17{,}98$ kV cada década de longitud añade otros $17{,}98\ln 10 =$ 41,4 kV, para siempre. Un hilo de 1 m da 82,8 kV a 1 cm; uno de 10 m, 124 kV.

Y no rompe nada porque lo medible es una diferencia: entre 1 cm y 2 cm, $\Delta V = (\lambda/2\pi\varepsilon_0)\ln 2 =$ 12,46 kV para el hilo infinito, frente a 12,45 kV para el de 1 m — un 0,043 % de diferencia. La $L$ divergente entra como una constante aditiva y se cancela en la resta; el campo, que es una derivada, ni la ve.

La segunda lección es el mapa completo, porque esta ficha ha enseñado las tres únicas salidas que tiene una divergencia, y las tres están en artículos publicados. Una: la magnitud divergente no era observable y la observable es una diferencia — el hilo, y el mismo mecanismo por el que la electrodinámica cuántica sobrevive a integrales infinitas. Dos: la física prohíbe el comportamiento que divergiría — el calor específico obligado a anularse en el cero. Tres: la divergencia es real y es un agujero de la teoría — la autoenergía del electrón, abierta desde 1900. El criterio del exponente no elige entre las tres: sólo te dice que tienes que elegir.

Resumen en frío · Ficha CAL.6

Lo que esta ficha deja utilizable, para volver dentro de seis meses sin releerla.

Qué	Fórmula o valor	Dónde
Qué es impropia	integrando infinito (singularidad) o intervalo infinito (cola). Se define con un corte y un límite	§1
Criterio en el origen	∫₀ x⁻ᵖdx converge ⟺ p < 1	§2
Criterio en la cola	∫^∞ x⁻ᵖdx converge ⟺ p > 1	§2
La frontera	p = 1 diverge en los dos, y siempre logarítmicamente	§2
Cómo se usa	escribe el integrando ENTERO con su elemento de volumen y lee el exponente	§2
Lo lento que es un logaritmo	3R desde 1 K: 172 J/(mol·K) a 1 mK y 574 a 10⁻¹⁰ K	callout §2
Autoenergía	E²·4πr² ∝ r⁻²: converge en la cola (kq²/2R), diverge en el origen como 1/R	ej. res. 1
Radio clásico del electrón	r_e = ke²/m_ec² = 2,818 fm; con ½, 1,409 fm; con 3/5, 1,691 fm	ej. res. 1
Y por qué no vale	el electrón mide < 10⁻¹⁸ m: cortando ahí el campo solo valdría 720 MeV, 1409 masas	ej. res. 1
El disco se salva	2πs·ds mata el 1/s: p = 0 y V(0) = σR/2ε₀ = 3595 V	ej. res. 1
Tercer principio	S = ∫C/T: si C → c₀ ≠ 0 el integrando es c₀/T, p = 1, y S sería infinita	§3
Dulong-Petit, si valiera	3R acumula los 33,15 J/(mol·K) del cobre él solo entre 0,265 K y 1 K	ej. res. 2
El cobre de verdad	S(0→1 K) = 1943,8/3θ_D³ + γ = 7,11 × 10⁻⁴ J/(mol·K): 2,1 × 10⁻⁵ del total	ej. res. 2
Normalizada ≠ con momentos	xⁿf baja el exponente en n de golpe: \|φ\|² ∝ 1/p² normaliza y ⟨p²⟩ no existe	§4
La rendija dura	⟨p²⟩_P = (2/π)(P − sen P): Δp ∝ √P. Producto 2,58 · 25,8 · 81,6 · 816 ħ/2	§4
La prueba operativa	si el resultado depende del corte, no hay número	callout §4
El cambio que regulariza	x = u^(1/(1−p)) vuelve constante x⁻ᵖdx. p = ½ → x = u², integrando 2	§5
Y lo que cuesta no hacerlo	Simpson sobre a^(−1/2) va como n^(−1/2): 1,41 % con 2000 intervalos	§5
Horizonte de partículas	sólo materia: p = ½, converge, χ = 2c/H₀ = 29,0 Gly = 3,00 c·t₀	ej. 2
Sólo Λ	p = 2, diverge: ese universo NO tiene horizonte de partículas	ej. 2
El hilo infinito	p = 1 en la cola: +41,4 kV por década de L, y ΔV(1→2 cm) = 12,46 kV estable al 0,043 %	ej. 3
Las tres salidas	no era observable · la física lo prohíbe · es un agujero de la teoría	ej. 3

Para qué sirve esto en cuanto sales de aquí. Delante de cualquier integral con un infinito dentro, el procedimiento entero son tres pasos: escribir el integrando completo con su elemento de volumen, leer el exponente cerca del punto problemático, y comparar con $p = 1$ . Si converge, mira si además hace falta un cambio de variable para poder calcularla; si diverge, la pregunta ya no es matemática sino física, y consiste en averiguar cuál de las tres salidas del ejercicio 3 te ha tocado.

Para verlo funcionando sobre problemas de verdad: Electrario II.1 artículo 04 tiene la divergencia que nadie ha cerrado, Termario II.7 artículo 04 la que la física prohíbe, Cuantario I.3 artículo 01 una cola que se lleva por delante una frase de libro de texto, y Gravitario I.5 artículo 03 dos integrales impropias convergentes de las que sale el tamaño del universo observable.