Análisis dimensional: la única escala que sale de las constantes

Con $\varepsilon_0$ y $\mu_0$ sólo se puede construir una velocidad, y vale 299 792 458 m/s. Con $\hbar$, $m_e$ y $e^2/4\pi\varepsilon_0$ sólo se puede construir una longitud, y vale 52,918 pm. Con $\hbar$, $G$ y $c$ sólo se puede construir una longitud, y vale 1,616 × 10⁻³⁵ m. Los tres son el mismo cálculo: un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas, resuelto en cuatro líneas y sin abrir ninguna ecuación de la física. Esta ficha va de ese cálculo, de qué se aprende cuando la solución es única, y del precio: el método nunca entrega el número de delante, que en un caso vale exactamente 1 y en otro vale 6,28.

El método: los exponentes son un sistema lineal

Toda magnitud física es un producto de potencias de unas pocas magnitudes base. En mecánica bastan tres —masa $\mathsf{M}$, longitud $\mathsf{L}$ y tiempo $\mathsf{T}$—; con electromagnetismo hace falta la corriente $\mathsf{I}$ y con termodinámica la temperatura $\Theta$. Escribir la dimensión de una magnitud es escribir un vector de exponentes:

El procedimiento entero cabe en tres pasos. Uno: escribe lo que buscas como un producto de potencias con exponentes desconocidos, $X = A^{\alpha}B^{\beta}C^{\gamma}$. Dos: iguala el exponente de cada dimensión base a los dos lados; sale una ecuación lineal por dimensión. Tres: resuelve el sistema. Para la longitud de Planck, con $\hbar$, $G$ y $c$:

Es decir $\ell_P = \sqrt{\hbar G/c^3}$. Y aquí está lo que hace que la ficha exista, porque es lo que los cuatro sitios dan por sabido: la solución es única, y se sabe antes de resolver. La matriz de exponentes es cuadrada —tres constantes, tres dimensiones— y su determinante vale $-2 \neq 0$, así que el sistema tiene exactamente una solución para cualquier magnitud que se pida. No hay ninguna otra longitud construible con $\hbar$, $G$ y $c$; no hay ninguna otra masa, ni ningún otro tiempo. La unicidad no es una casualidad afortunada del problema: es un determinante distinto de cero, y se comprueba en diez segundos.

Las tres cosas que pueden pasar, y las tres tienen contenido físico:

La fila del medio es la que más se pasa por alto y la más útil. Con $\hbar$ y $c$ solos no se puede formar ninguna longitud: el sistema es incompatible, y por eso la longitud de onda de Compton necesita una masa ($\hbar/mc$) y no existe una «longitud cuántica» universal. Lo mismo, en el otro extremo del programa: con $\varepsilon_0$ y $\mu_0$ se pueden formar una velocidad y una impedancia, y todo lo demás es un producto de potencias de esas dos —ninguna de las cuales es una longitud—, así que el electromagnetismo clásico no tiene ninguna escala de tamaño propia. Ésa es la razón profunda de que la física clásica no pueda decir cuánto mide un átomo, y de que haga falta meter $\hbar$ para que aparezca un tamaño.

Caso 1 · La única velocidad de dos constantes de laboratorio

Éste es el caso de Electrario, y el más limpio de los tres porque el sistema no es cuadrado y aun así funciona. Las dimensiones de las dos constantes, leídas de sus unidades (F/m y N/A²):

Caso 2 · La única longitud del átomo

Éste es el caso de Cuantario, y el que conviene saber hacer de memoria porque es el que más veces reaparece. El truco de partida es agrupar las constantes en las combinaciones que aparecen juntas en la física: la carga nunca sale sola de una ley de Coulomb, sino como $\kappa \equiv e^2/4\pi\varepsilon_0$, con dimensiones de energía por longitud. Con eso, tres constantes y tres dimensiones:

Caso 3 · Cuando ya no queda nada más que combinar: Planck

$\hbar$ es la constante de lo cuántico, $G$ la de la gravitación y $c$ la de la relatividad. Las tres juntas forman un sistema cuadrado con determinante $-2$, así que fijan una longitud, una masa y un tiempo, y son las únicas escalas que una teoría que use las tres puede construir sin traerse nada de fuera:

La masa de Planck es la anomalía visible de la tabla: es la única escala de Planck que no es absurda. Son 21,8 microgramos, la masa de un grano de arena de cuarzo de un cuarto de milímetro —21,7 µg, calculado— y una cantidad que cabe en una balanza de laboratorio. Que la escala cuántica de la gravitación caiga en un valor cotidiano de masa y en valores demenciales de longitud y de tiempo es una de las maneras de enunciar el problema de la jerarquía, y no está resuelto.

Conviene comprobar el resultado por un segundo camino, porque es la única manera de saber qué parte del número es sólida. La escala de Planck también se puede definir físicamente, sin contar dimensiones: es la masa a la que la longitud de onda de Compton de una partícula, $\hbar/mc$, iguala su propio radio de Schwarzschild, $2Gm/c^2$ —el punto en que un objeto es a la vez tan pequeño que la cuántica manda y tan compacto que colapsa—. Despejando:

Los dos caminos coinciden en las potencias —$\hbar^{1/2}$, $c^{1/2}$, $G^{-1/2}$— y discrepan en el factor, $1/\sqrt2$. Otra vez lo mismo, y ya es un patrón: el análisis dimensional entrega los exponentes con certeza absoluta y el prefactor con un margen de un factor pequeño. Por eso la longitud de Planck se cita como orden de magnitud —«cuando el radio de curvatura se acerca a ella», dice Gravitario, y ése «se acerca» es exacto— y nunca como una frontera con una cifra.

Lo que el método nunca da: el número de delante

El análisis dimensional determina $X = k\,A^{\alpha}B^{\beta}C^{\gamma}$ con los exponentes exactos y $k$ desconocido. La pregunta honesta es cuánto puede valer ese $k$ en la práctica, y la respuesta —medida, no supuesta— es que casi siempre está entre 0,1 y 10, y que no hay forma de saber dónde sin resolver el problema:

Los dos extremos de la tabla dan la medida del método. La constante de Stefan-Boltzmann que sale de contar dimensiones, $k_B^4/\hbar^3c^2 = 3{,}45\times10^{-7}$ W/(m²K⁴), se pasa seis veces del valor verdadero $5{,}67\times10^{-8}$; el péndulo de un metro sale con un periodo de 0,319 s cuando el de verdad es 2,006 s, seis veces más. Con un factor 6 arriba y otro abajo, el método acierta el orden de magnitud y falla el número. Eso es exactamente lo que promete, ni más ni menos.

El caso que Cristalario usa dos veces

Una difusividad —térmica $a$ o de materia $D$— tiene dimensiones $\mathsf{L}^2\mathsf{T}^{-1}$. Con ella y una distancia $x$ sólo hay un tiempo posible y sólo hay una distancia posible, y ahí están las dos fórmulas que Cristalario entrega sin deducir:

Son la misma ecuación despejada de dos maneras, y de ellas sale toda la intuición de la difusión sin resolver ninguna ecuación en derivadas parciales: el tiempo va con el cuadrado de la distancia, así que duplicar el espesor de una capa cementada cuesta cuatro veces más horno, y la sartén de acero inoxidable ($a = 4{,}0$ mm²/s) tarda 6,3 s en transmitir el calor a través de 5 mm cuando la de cobre ($a = 116$ mm²/s) tarda 0,22 s.

¿Y el factor de delante? Aquí se puede medir, y la respuesta es instructiva. La solución exacta de la ecuación del calor para un sólido semiinfinito con un salto de temperatura en la superficie es una función error, y de ella se puede despejar cuándo la temperatura a profundidad $x$ ha recorrido una fracción dada del salto:

El factor recorre un factor 170, más de dos órdenes de magnitud, según qué se entienda por «ha llegado», y en cambio la dependencia $x^2/a$ es la misma en las tres filas. Ésa es la anatomía del método en una tabla: lo que el análisis dimensional entrega es la parte del resultado que no depende del convenio, y el factor que no entrega es precisamente la parte que sí depende de él. Que $x^2/a$ caiga tan cerca del criterio del 50 % —un 9 % por debajo— es una suerte que conviene no confundir con una demostración.

Ejercicios