Leyes de potencias y análisis de escalado

Doblar la frecuencia de una onda gravitacional divide por 6,35 el tiempo que le queda a la binaria antes de fusionarse. Ese 6,35 no sale de ninguna medida: es $2^{8/3}$ . Un hueso absorbe rayos X doce veces más que la carne que lo rodea, y ese doce es $(13{,}8/7{,}4)^3\times 1{,}92$ . M87*, con seis mil quinientos millones de masas solares, tiene dentro de su horizonte una densidad media de 0,436 kg/m³ —el 36 % de la del aire que respiras— porque esa densidad va como $1/M^2$ . Los tres hechos son la misma operación repetida: leer un exponente y propagarlo con un cociente, sin escribir ni una constante. Esta ficha va de esa operación, de cómo se mide un exponente cuando nadie te lo da, y del caso incómodo en que el exponente existe pero no es constante.

Quién pide esta ficha

Gravitario I.4, artículo 02 — su caja de prerrequisitos lo declara por escrito: «Se manejan potencias de exponente fraccionario (3/5, 5/3, 8/3); ni una derivada». Es la única caja de prerrequisitos de esta lista que enumera los exponentes que el lector va a tener que manejar, y hoy no tiene adónde enlazar.
Nucleario I.4, artículo 01 — «el ritmo se comporta localmente como una potencia de la temperatura con exponente $\nu = (\tau-2)/3$ … el “va como T⁴” de los manuales, que no es una regla empírica sino esto». Usa un exponente logarítmico local sin decir que lo es ni de dónde sale.
Atomario I.4, artículo 02 — « $L \propto v^2$ , así que capturar el doble de velocidad cuadruplica el tubo». El artículo propaga el exponente tres veces seguidas y no explica la regla que está usando.
Atomario I.4, artículo 04 — « $T_c \propto n^{2/3}/m$ , así que subir la densidad ayuda poco: hay que multiplicarla por 32 para ganar un factor 10 en temperatura», y luego $D \propto N^{-\gamma}$ con $\gamma = \eta - 4$ . Dos leyes de potencias de las que cuelga el módulo entero.
Cuantario I.3, artículo 03 — «De la primera expresión se lee todo lo demás: a ∝ ħ², a ∝ 1/m y a ∝ 1/Z», y para las enanas blancas « $R \propto M^{-1/3}$ : cuanto más masiva es una enana blanca, más pequeña es».
Cuantario I.4, artículo 04 — «la presión electrónica crece como $n^{5/3}$ », y sobre todo «el exponente 7/5 es un teorema; la constante que lo multiplica no está fijada»: la distinción exacta entre lo que un exponente demuestra y lo que no.
Electrario I.5, artículo 04 — «el contraste aparece por la misma ley de potencias», y el aviso que la acompaña: «La Z³ sólo manda mientras mande el fotoeléctrico». Es el ejemplo de esta ficha sobre dominios de validez.
Electrario I.5, artículo 03 — «La densidad de potencia cae, por tanto, como 1/r²… Doblar la distancia son 6,02 dB siempre, sea cual sea la frecuencia». Un exponente traducido a decibelios y usado sin nombrarlo.
Gravitario I.2, artículo 04 — «Fíjate en el exponente: la gravedad va con 1/r² y la marea con 1/r³. Ésa es la diferencia entre las dos y la fuente de casi todos los malentendidos sobre el asunto».
Gravitario I.3, artículo 01 — «el radio de Schwarzschild es proporcional a la masa, no a su raíz cúbica como el radio de una bola de densidad fija. Eso lo cambia todo: doblar la masa dobla el horizonte, y por tanto multiplica por ocho el volumen que encierra».
Gravitario I.5, artículo 03 — «Los tres exponentes son la física entera. La materia se diluye como el volumen, (1+z)³. La radiación se diluye como el volumen y además pierde energía por el corrimiento al rojo: (1+z)⁴». De restar esos exponentes salen las dos fechas del guion del universo.

Necesitas: potencias y raíces, y saber que

\log(a^n) = n\log a

. Ni una derivada hasta la sección 4, donde aparece una sola —la derivada logarítmica— construida desde cero. Si lo que quieres es leer una pendiente en papel, eso está en CAL.4; aquí se trabaja con cocientes.

Lo único que hace un exponente

Una ley de potencias es $y = Ax^n$ , y lo único que hay que saber de ella cabe en una línea: divide dos casos y la constante desaparece.

\frac{y_2}{y_1} = \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{\!n}.

Ésa es la razón entera de que la física escriba $\propto$ y no $=$ . El símbolo no es pereza tipográfica: dice explícitamente voy a tirar el prefactor porque voy a trabajar con cocientes, y en un cociente se cancela. Con eso se contesta a la pregunta que aparece en todos los artículos de esta lista —si el radio se dobla, ¿qué le pasa al área, al volumen, al campo?— sin buscar una sola constante:

Si el exponente es	doblar x multiplica y por	Dónde aparece
n = 1	2	radio de Schwarzschild frente a la masa
n = 2	4	tubo de un desacelerador frente a la velocidad
n = 3	8	volumen del horizonte frente al radio
n = −2	0,25	densidad media de un agujero negro frente a la masa
n = −1/3	0,794	radio de una enana blanca frente a la masa
n = −5/3	0,315 = 1/3,17	plazo de una binaria frente a la masa de chirrido
n = −8/3	0,157 = 1/6,35	plazo de una binaria frente a la frecuencia

Fíjate en la tercera y la cuarta filas juntas, porque de ahí sale el resultado más contraintuitivo de Gravitario. El horizonte de un agujero negro crece con $n=1$ y el volumen que encierra con $n=3$ , de modo que la densidad media, que es masa dividida por volumen, va con $1 - 3 = -2$ : los exponentes se restan al dividir magnitudes, exactamente igual que se suman al multiplicarlas. Un agujero negro de una masa solar mete 1,84 × 10¹⁹ kg/m³ dentro de su horizonte, y M87* —seis mil quinientos millones de veces más masivo— se queda en 0,436. No hace falta la fórmula: basta $(4{,}3\times10^6/6{,}5\times10^9)^2$ aplicado al dato de Sagitario A*, y sale 0,437 frente al 0,436 que publica el sitio.

La misma resta de exponentes es la que fecha el universo. Gravitario dice que la radiación se diluye como $(1+z)^4$ , la materia como $(1+z)^3$ y la constante cosmológica no se diluye. Cada cruce es una igualdad entre dos potencias, y despejar una potencia es dividir: materia y radiación se igualan en $1+z = \Omega_m/\Omega_r$ —con 0,315 y 9,21 × 10⁻⁵ eso da z = 3419—, y materia y energía oscura en $1+z = (\Omega_\Lambda/\Omega_m)^{1/3}$ , que da z = 0,296. Los dos números que el artículo pone en su tabla, sacados sin resolver la ecuación de Friedmann: sólo de restar 4 − 3 = 1 y 3 − 0 = 3.

Propagar cuando se mueve más de una variable

El caso general es $y \propto x^{n}z^{m}$ , y la regla no cambia: cada variable aporta su propio cociente elevado a su propio exponente, y los factores se multiplican.

\frac{y_2}{y_1} = \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{\!n}\left(\frac{z_2}{z_1}\right)^{\!m}.

Aquí es donde el método deja de ser aritmética y empieza a ser un instrumento, porque permite separar la contribución de cada variable a un resultado ya publicado. Y aquí también está la trampa que se lleva por delante a todo el mundo: el cociente sólo vale si todo lo demás está quieto, y a veces algo se mueve escondido dentro de la frase.

Ejemplo resuelto 1 · Los dos exponentes del chirrido

Problema. Gravitario I.4 da el plazo que le queda a una binaria desde que su onda pasa por la frecuencia f:

\tau = \frac{5}{256}\left(\frac{G\mathcal{M}}{c^3}\right)^{-5/3}(\pi f)^{-8/3}.

Y publica dos plazos: 0,165 s para GW150914 desde 35 Hz con masa de chirrido 30,6 masas solares, y 97,1 s para dos estrellas de neutrones desde 24 Hz con masa de chirrido 1,22. Explica el cociente entre los dos sin evaluar la fórmula, y di qué parte del factor la pone la masa y qué parte la frecuencia.

Solución. El cociente es 97,1/0,165 = 588. Con dos variables y dos exponentes:

\frac{\tau_{\text{NS}}}{\tau_{\text{BH}}} = \left(\frac{1{,}22}{30{,}6}\right)^{-5/3}\left(\frac{24}{35}\right)^{-8/3} = 214{,}9 \times 2{,}735 = 588.

Ni una constante fundamental, ni el 5/256, ni $\pi$ . Los dos factores están además separados y son legibles: la masa pone 215 y la frecuencia de arranque, 2,73.

Resultado. Casi todo el minuto y medio que LIGO tuvo para avisar a los telescopios en 2017 lo pagó la ligereza de las estrellas de neutrones, no la banda del detector: la masa aporta un factor 215 y la frecuencia sólo 2,7. Ésa es la clase de frase que el análisis de escalado permite decir con confianza y que una evaluación numérica no dice, porque el resultado sale ya sumado.

La segunda lección es un aviso sobre las masas. El propio artículo dice que la masa de chirrido de GW150914 es 28,1 masas solares y que el cociente contra 1,22, elevado a 5/3, vale 187 — comprobado: $(28{,}1/1{,}22)^{5/3} = 186{,}5$ . Aquí ha salido 215, no 187, y la diferencia no es un error de nadie: 28,1 es la masa en el sistema de la fuente y 30,6 la misma masa vista por el detector, corrida al rojo por la expansión. Son dos números correctos que responden a preguntas distintas. Cuando un cociente de potencias no reproduce el resultado publicado, la primera sospecha no debe ser el exponente: debe ser que las dos cantidades que estás dividiendo no están medidas en el mismo sitio.

La trampa de «todo lo demás igual», con el caso que la enseña. Atomario razona que un desacelerador cumple $L \propto v^2$ y que por eso el tubo de sodio pasa de 1,10 a 2,16 m al subir la velocidad de captura de 1000 a 1400 m/s — comprobado: 1,10 × 1,4² = 2,156. Y luego avisa de que el atajo obvio no funciona: el cesio es más lento a la misma temperatura, así que parece que necesitaría menos tubo. Pero la longitud es $L = v^2/(2\eta a_{\max})$ y ahí hay dos variables. La velocidad típica va con $1/\sqrt m$ , de modo que $(v_{\text{Cs}}/v_{\text{Na}})^2 = m_{\text{Na}}/m_{\text{Cs}} = 0{,}173$ ; pero la aceleración máxima del cesio es quince veces menor, y 0,173 × 15 = 2,59. El tubo del cesio sale más largo, no más corto, pese a que el átomo va menos deprisa. Un exponente propagado sobre una sola variable, cuando hay dos, no da un resultado aproximado: da el resultado con el signo del efecto cambiado.

Medir el exponente: bastan dos puntos

Hasta aquí el exponente venía dado. Cuando no viene, se despeja de la misma ecuación tomando logaritmos:

n = \frac{\ln(y_2/y_1)}{\ln(x_2/x_1)}.

Es el mismo objeto que la pendiente de una recta en papel doblemente logarítmico —de ahí que en ese papel la pendiente sea el exponente— pero calculado con dos puntos y sin dibujar nada. Dos observaciones que ahorran disgustos:

El exponente no tiene unidades. Es un cociente de dos logaritmos de cocientes, y todo se ha cancelado. Cualquier cosa con dimensiones que aparezca en tu resultado se ha colado por otro sitio, y esto es un detector de errores gratuito.
Con tres puntos se mide algo más: si el exponente es constante. Calcula $n$ con la pareja 1-2 y con la pareja 1-3. Si coinciden, hay una ley de potencias; si no, o el exponente cambia con $x$ —la sección siguiente— o hay una variable escondida moviéndose a la vez. Es la comprobación más barata que existe y casi nadie la hace.

Un caso de manual está en la tabla de radiografía de Electrario. Entre el tejido blando (Z efectivo 7,4, absorción fotoeléctrica de referencia 1) y el yodo de contraste (Z = 53, unas 370 veces más por átomo): $\ln 370/\ln(53/7{,}4) = 3{,}004$ . El cubo, medido en dos líneas a partir de una tabla que no menciona ningún exponente. El ejercicio 2 hace lo mismo con la fila del hueso y sale 3,99 — y averiguar por qué es el contenido del ejercicio.

Cuando el exponente no es constante

Muchísimas cosas que en física se llaman «leyes de potencias» no lo son. Lo que hay debajo es otra función, y el exponente que se le atribuye es una pendiente local: el valor que tendría el exponente si en ese punto la función fuera una potencia. Se define como una derivada logarítmica,

\nu(x) = \frac{d\ln y}{d\ln x} = \frac{x}{y}\frac{dy}{dx},

y la definición es exactamente lo que promete: para $y = Ax^n$ devuelve $n$ en todas partes —compruébalo, es una línea— y para cualquier otra cosa devuelve un número que cambia. Operativamente: ν es la pendiente de la curva en papel log-log medida en un punto, y decir «va como T⁴» es decir «aquí ν vale 4».

El sitio que más lo necesita es Nucleario, porque el «va como T⁴» del Sol es justo esto y no una ley de potencias. El ritmo de una reacción termonuclear es el producto de dos exponenciales opuestas, y lo que sale no es una potencia de la temperatura en ningún sentido: es $R \propto T^{-2/3}e^{-\tau}$ con $\tau = 3E_0/k_BT \propto T^{-1/3}$ . Derivando logarítmicamente:

\nu = \frac{d\ln R}{d\ln T} = -\frac{2}{3} - \frac{d\tau}{d\ln T} = -\frac{2}{3} + \frac{\tau}{3} = \frac{\tau-2}{3},

que es exactamente la fórmula que Nucleario entrega sin deducir. Con los números de su tabla, comprobados aquí desde el pico de Gamow:

Reacción	Pico de Gamow	τ	ν = (τ − 2)/3	Lo que dicen los manuales
p + p a 15,7 MK	6,088 keV	13,50	3,83	«va como T⁴»
p + ¹⁴N a 15,7 MK	27,43 keV	60,82	19,6	«va como T²⁰»
⁴He + ¹²C a 15,7 MK	57,85 keV	128,3	42,1	—
⁴He + ¹²C a 100 MK	198,8 keV	69,21	22,4	—

Las dos últimas filas son la misma reacción a dos temperaturas, y el exponente pasa de 42 a 22. Nucleario lo dice con todas las letras —«el exponente no es una propiedad de la reacción: es una propiedad de la reacción a una temperatura»— y eso es la definición de ν leída al revés.

Ejemplo resuelto 2 · Qué cuesta congelar el exponente

Problema. Nucleario afirma que subir un 10 % la temperatura del núcleo solar multiplica la cadena pp por 1,43 y el ciclo CNO por 6,3. Reproduce los dos factores usando sólo los exponentes 3,83 y 19,6, y di cuánto te equivocas.

Solución. Tratando ν como si fuera un exponente fijo, $1{,}10^{3{,}83} = 1{,}4406$ y $1{,}10^{19{,}6} = 6{,}4758$ . Los valores exactos, con la ley entera, son 1,4313 y 6,285: el exponente congelado sobra un 0,65 % en la cadena pp y un 3,0 % en el CNO.

El error tiene la dirección obligada. Como ν baja al subir la temperatura —de 3,833 a 3,693 en la cadena pp, y de 19,61 a 18,97 en el CNO—, usar el valor del punto de partida durante todo el tramo exagera siempre. Y tiene arreglo exacto y barato: el exponente efectivo de un tramo es $\ln(\text{factor})/\ln(1{,}10)$ , que vale 3,762 y 19,29 — que es, con cuatro cifras, ν evaluado en el punto medio logarítmico del tramo. Con él, $1{,}10^{3{,}762} = 1{,}4313$ : cuatro cifras correctas, y por construcción.

Resultado. Un exponente logarítmico local vale para saltos pequeños y se degrada de forma predecible, no aleatoria — el error crece con el tamaño del salto y con lo deprisa que cambie ν, y por eso el CNO, con un ν cinco veces mayor, se equivoca casi cinco veces más en el mismo salto del 10 %. La regla de oficio que queda: para un factor 1,1 úsalo sin pensar, para un factor 2 evalúa ν en el punto medio, y para dos órdenes de magnitud no lo uses en absoluto — vuelve a la ley de la que salió.

La segunda lección es de física y la pone Nucleario: ese exponente enorme es lo que hace estable a una estrella, no lo que la hace explotar. Un termostato responde tanto mejor cuanto más brutal sea su realimentación, y un ν de 19,6 significa que basta con que el núcleo se dilate y se enfríe un pelo para apagar el exceso. Un exponente grande no es sinónimo de fragilidad: es sinónimo de sensibilidad, y el signo lo pone quien esté al otro lado del bucle.

Toda ley de potencias tiene un dominio, y el dato que hay que saberse es dónde acaba. Tres finales distintos, los tres tomados de los sitios que piden esta ficha. Uno: la Z³ de la radiografía manda «mientras mande el fotoeléctrico», y en tejido blando eso se acaba hacia los 30 keV, donde toma el relevo el Compton, que es casi ciego al número atómico — el contraste hueso/carne cae de 12 a 7 a 30 keV y a 3 a 60. La ley no se deforma poco a poco: la sustituye otro mecanismo. Dos: el $R \propto M^{-1/3}$ de las enanas blancas vale hasta que los electrones se hacen relativistas, y ahí no es que el exponente cambie de valor sino que se va a infinito — el radio se anula en 1,46 masas solares, el límite de Chandrasekhar. Tres, y es el más sutil: el $t_{\text{evap}} \propto M^3$ de la evaporación de un agujero negro es correcto como vida total y engañoso sobre el reparto. Gasta la mitad de la vida y todavía te queda el $(1/2)^{1/3} = 79{,}4\ \%$ de la masa: todo el drama está en el último instante, y la última tonelada se va en 8,4 × 10⁻⁸ s soltando 9,0 × 10¹⁹ J, unas 21 500 megatoneladas. Un exponente correcto puede describir mal un proceso si lo que te interesa es cuándo pasan las cosas.

Ejercicios

Ejercicio 1

Cuantario I.3 tabula el radio de una enana blanca según su modelo: 0,5 M_☉ → 9021 km, 0,6 → 8489 km y 1,018 → 7117 km. (a) Mide el exponente con la pareja 1-2 y con la pareja 1-3, y di si es constante. (b) ¿Qué le pasa a la densidad media? (c) Sirio B tiene 1,018 masas solares y un radio medido de 5800 km. Mide el exponente con la fila 1 y ese dato. ¿Por qué sale lo que sale?

Solución

(a) $\ln(8489/9021)/\ln(0{,}6/0{,}5) = -0{,}33339$ y $\ln(7117/9021)/\ln(1{,}018/0{,}5) = -0{,}33344$ . Coinciden en cuatro cifras: dentro del modelo el exponente es constante y vale −1/3, tal como el artículo afirma.

(b) La densidad es masa entre volumen, así que su exponente es $1 - 3\times(-1/3) = 2$ : va como M². Entre la primera y la tercera fila, $(1{,}018/0{,}5)^2 = 4{,}15$ veces más densa. Como en el agujero negro, la intuición se invierte — pero con el signo contrario, y por una razón distinta.

(c) $\ln(5800/9021)/\ln(1{,}018/0{,}5) = -0{,}621$ , que no se parece a −1/3 ni a nada. Y no es porque la naturaleza tenga ese exponente: es que los dos puntos no pertenecen a la misma ley. El primero sale del modelo no relativista y el segundo es una medida; el modelo se equivoca en Sirio B por un 23 % —da 7117 km donde hay 5800— porque a esa masa los electrones ya viajan a 0,73 c. Lo que ese −0,621 mide es el error del modelo, disfrazado de exponente.

La segunda lección es la que hace peligroso este método: dos puntos siempre devuelven un exponente. La fórmula no tiene forma de protestar, no hay residuo que mirar y el número resultante se lee estupendamente en una frase. La única defensa es el tercer punto — si 1-2 y 1-3 no coinciden, el «exponente» que acabas de calcular no existe.

Ejercicio 2

Electrario I.5 tabula la absorción fotoeléctrica relativa: tejido blando (Z efectivo 7,4, densidad 1,00 g/cm³) vale 1 por centímetro; hueso cortical (Z = 13,8, densidad 1,92 g/cm³) vale unas 12 por centímetro; el yodo (Z = 53) vale unas 370 por átomo. Mide el exponente de Z con la pareja tejido-yodo y con la pareja tejido-hueso. No coinciden. Encuentra la variable escondida.

Solución

Con el yodo, $\ln 370/\ln(53/7{,}4) = 3{,}004$ : el cubo. Con el hueso, $\ln 12/\ln(13{,}8/7{,}4) = 3{,}987$ , que redondea a 4 con una limpieza sospechosa. La diferencia está en las palabras de la tabla: el 370 del yodo es por átomo y el 12 del hueso es por centímetro, de manera que el segundo lleva dentro también la densidad. Quitándola, 12/1,92 = 6,25, y entonces $\ln 6{,}25/\ln(13{,}8/7{,}4) = 2{,}941$ — el cubo otra vez. Al revés: $(13{,}8/7{,}4)^3\times1{,}92 = 12{,}45$ , que es el «unas 12» de la tabla.

La segunda lección es por qué éste es el peor de los fallos posibles. El resultado equivocado no fue un número absurdo que cantara: fue 3,99, que redondea a un entero, y que además tiene coartada, porque en la literatura el exponente del fotoeléctrico se cita entre 3 y 4 según la energía. Un error que aterriza sobre un valor plausible no se detecta leyendo; se detecta comprobando que las dos magnitudes que divides estén medidas por la misma cosa. Un exponente es adimensional: cualquier gramo, centímetro o átomo que sobreviva en el enunciado está montado encima de él.

Ejercicio 3

El radio de Schwarzschild $r_s = 2GM/c^2$ es proporcional a la masa. (a) ¿Con qué exponente va la densidad media dentro del horizonte? (b) Gravitario da 9,98 × 10⁵ kg/m³ para Sagitario A*, de 4,3 × 10⁶ masas solares. Saca la de M87*, de 6,5 × 10⁹ masas solares, sin usar G, ni c, ni π. (c) Con 1,84 × 10¹⁹ kg/m³ para una masa solar, ¿a qué masa iguala la densidad del agua?

Solución

(a) $\bar\rho \propto M/r_s^3 \propto M/M^3 = M^{-2}$ . (b) $9{,}98\times10^5\times(4{,}3\times10^6/6{,}5\times10^9)^2 = 0{,}437$ kg/m³; el sitio publica 0,436, y la diferencia es el redondeo de las masas. (c) $M = \sqrt{1{,}84\times10^{19}/1000} = 1{,}36\times10^8$ masas solares, que es el número que el artículo da.

La segunda lección no es sobre el exponente, que ha funcionado impecablemente, sino sobre qué se ha calculado. Esa «densidad» es una masa dividida por un volumen euclídeo, y nada dentro del horizonte está a 0,436 kg/m³: no hay ninguna sustancia repartida ahí. El exponente −2 es correcto y la cifra es correcta, y aun así la frase «M87* es menos denso que el aire» sólo significa algo si se dice qué se ha dividido por qué. Un cociente de potencias hereda todos los supuestos de las dos magnitudes que lo forman, y propagarlo bien no los convierte en verdad.

Resumen en frío · Ficha CAL.5

Lo que esta ficha deja utilizable, para volver dentro de seis meses sin releerla.

Qué	Fórmula o valor	Dónde
Propagar un exponente	y₂/y₁ = (x₂/x₁)ⁿ; el prefactor se cancela y por eso se escribe ∝	§1
Dividir magnitudes	los exponentes se restan: ρ = M/r³ con r ∝ M da ρ ∝ M⁻²	§1
Doblar x, valores útiles	n = 2 → ×4; n = 3 → ×8; n = −2 → ×0,25; n = −5/3 → ÷3,17; n = −8/3 → ÷6,35	§1
Los cruces del universo	igualar dos potencias es restar exponentes: z = 3419 y z = 0,296	§1
Varias variables	y₂/y₁ = (x₂/x₁)ⁿ(z₂/z₁)^m, cada una con su exponente	§2
El chirrido, descompuesto	97,1 s / 0,165 s = 588 = 215 (masa) × 2,73 (frecuencia)	ej. res. 1
Trampa de una sola variable	desacelerador de cesio: v² da 0,173 pero con a_máx sale 2,59 — el signo se invierte	callout §2
Medir el exponente	n = ln(y₂/y₁)/ln(x₂/x₁); es la pendiente en log-log, sin dibujar	§3
El exponente es adimensional	si sobrevive una unidad, hay una variable escondida	§3, ej. 2
Test de constancia	tres puntos: n(1-2) frente a n(1-3). Si difieren, no hay ley de potencias	§3, ej. 1
Exponente logarítmico local	ν = d ln y/d ln x = (x/y)(dy/dx); constante e igual a n sólo si y = Axⁿ	§4
El «va como T⁴» del Sol	ν = (τ − 2)/3 con τ = 3E₀/k_BT: pp 3,83 · CNO 19,6	§4
Y no es constante	⁴He + ¹²C: ν = 42,1 a 15,7 MK y 22,4 a 100 MK — misma reacción	§4
Coste de congelar ν	salto del 10 %: pp +0,65 %, CNO +3,0 %; siempre por exceso si ν baja	ej. res. 2
El arreglo exacto	exponente efectivo = ln(factor)/ln(cociente) ≈ ν en el punto medio logarítmico	ej. res. 2
Dominio 1: otro mecanismo	Z³ sólo mientras mande el fotoeléctrico; el contraste cae de 12 a 7 (30 keV) y a 3 (60 keV)	callout §4
Dominio 2: ν → ∞	R ∝ M^(−1/3) muere en 1,46 M☉ (Chandrasekhar), no se deforma: se rompe	callout §4, ej. 1
Dominio 3: correcto y engañoso	t_evap ∝ M³: media vida gastada y queda el 79,4 % de la masa	callout §4
Dos puntos siempre dan un número	modelo + medida en Sirio B: −0,621, que sólo mide el error del modelo	ej. 1

Adónde lleva esta ficha. Con esto ya puedes coger cualquier $\propto$ de un artículo y contestar «¿y si esto se dobla?» sin buscar una constante, medir un exponente de una tabla que no lo declara, y decir en qué punto deja de valer. Lo que queda fuera y conviene no confundir: de dónde salen los exponentes —eso es análisis dimensional, que tiene ficha propia pendiente— y cómo se ajusta un exponente a datos con ruido, con sus residuos y sus barras de error, que es la ficha de mínimos cuadrados del área de probabilidad. Aquí los datos han sido siempre exactos a propósito: dos puntos y ningún error de medida.

La ficha hermana es CAL.4, que es el mismo objeto visto en un papel: allí la recta log-log se dibuja y se ajusta, con las tres maneras de leerla mal. Para usarlo ya, Gravitario I.4 saca 28,1 masas solares del ritmo al que sube un silbido, y Nucleario I.4 convierte un exponente de 19,6 en el termostato que mantiene encendido al Sol.