Un reactor que se queda sin bombas tarda 3,39 horas en quedarse seco si se supone que su calor residual no cambia, y 4,35 si se tiene en cuenta que cae mientras el agua hierve: 58 minutos de diferencia en una decisión de emergencia. El universo tendría 14 510 millones de años si siempre se hubiera expandido al ritmo de hoy, y tiene 13 790. Una partícula alfa cede 92 keV por micrómetro al entrar en el tejido y 155 de media a lo largo de su recorrido, y las dos cifras aparecen en la misma fila de la misma tabla. Las tres parejas son el mismo malentendido: confundir una tasa en un punto con una tasa promediada por un trozo. Esta ficha es sólo eso — qué dice , cuándo se puede multiplicar y cuándo hay que integrar.
- Nucleario I.4, artículo 01 — su caja de prerrequisitos promete «se usan exponenciales, raíces cúbicas y potencias; ninguna derivada», y veinte líneas después escribe en la notación de Leibniz que su propia caja acaba de declarar innecesaria, sin explicar en ningún sitio qué significa el símbolo.
- Nucleario I.3, artículo 02 — «Integrar no es rigor decorativo: es la diferencia entre 3,4 y 4,4 horas en una decisión de emergencia». El artículo dice que hay que integrar, da los dos resultados y no enseña en ninguna parte qué es integrar ni por qué sale un número y no el otro.
- Nucleario I.2, artículo 01 — el LET es «energía cedida por unidad de camino, y se da en keV por micrómetro»: es sin escribirlo. Su tabla da «92 keV/µm al empezar, 155 de media» en la misma casilla, y la caja de prerrequisitos vuelve a prometer «ninguna derivada».
- Gravitario I.5, artículo 03 — la caja de prerrequisitos dice «No hace falta ninguna derivada ni ninguna integral: el interactivo hace las cuentas y aquí se leen los resultados», y su ejemplo resuelto 1, unas pantallas más abajo: «el caso (c) hay que integrarlo». El lector se queda sin saber qué separa de la edad de verdad.
- Gravitario I.2, artículo 04 — «El laboratorio se estira a lo largo y se estrecha a lo ancho, y a eso se le llama fuerza de marea», con entregada con un «Las cuentas son las que calcula el panel». Es , y sin eso el paso de a parece magia.
- Electrario I.5, artículo 01 — escribe la ley de Ampère-Maxwell con donde todos los libros escriben , y su caja de prerrequisitos dice «Álgebra de instituto y notación científica, nada más». El sustituto está bien elegido y nadie explica por qué aquí es exacto.
- Cristalario I.3, artículo 02 — «Multiplicando por el número de Avogadro y derivando respecto a la temperatura», y de ahí sale J/(mol·K). La derivada que hace ese paso es la más fácil que existe y el artículo no la enseña.
- Electrario I.5, artículo 04 — «lo que se regula no es el disparo, es la acumulación»: 50 radiografías al día por 0,005 mSv por 240 días son 60 mSv al año. Es el caso contrario, el de la tasa constante, en el que multiplicar sí es integrar — y saber por qué es la mitad de esta ficha.
La «d» es una Δ a la que se le ha quitado el «casi»
Empieza por lo que sí sabes hacer. Si el Sol pierde masa y quieres el ritmo, mides cuánta pierde entre dos instantes y divides:
Eso es todo. El problema del cociente es que su valor depende del trozo que hayas elegido: si el ritmo cambia dentro del intervalo, la respuesta cambia al cambiar los extremos. La derivada es ese mismo cociente calculado sobre un trozo tan pequeño que el resultado ya no depende de cuál se haya cogido, y se escribe cambiando las dos deltas por dos des:
No hay nada más en la notación, y esa es la buena noticia: una derivada se lee siempre igual, «cuánto de lo de arriba por cada unidad de lo de abajo», y sus unidades son literalmente las de arriba partidas por las de abajo. Con esa sola regla se leen los cinco símbolos que los sitios de este programa escriben sin explicar:
| Símbolo | Dónde aparece | Se lee | Cuánto vale |
|---|---|---|---|
| dm/dt = L/c² | Nucleario I.4 | kilogramos de Sol que desaparecen cada segundo | 4,26 × 10⁹ kg/s |
| dE/dx (el LET) | Nucleario I.2 | keV que la partícula deja por cada micrómetro de camino | 92 keV/µm al entrar |
| dU/dT (el calor específico) | Cristalario I.3 | julios que hay que meter en un mol por cada kelvin que sube | 24,94 J/(mol·K) |
| dg/dr | Gravitario I.2 | cuánto se debilita la gravedad por cada metro que subes | 3,08 × 10⁻⁶ s⁻² |
| dE/dt (entre las placas) | Electrario I.5 | voltios por metro que gana el campo cada segundo | 1,44 × 10¹³ V/(m·s) |
La «d» no es un número que multiplique. no se simplifica cancelando las des, igual que «kilómetros por hora» no se simplifica quitando las kas. Es un símbolo de dos piezas que se lee entero. Dicho esto, la notación de Leibniz tiene una virtud que ninguna otra tiene y por la que ha sobrevivido tres siglos: las unidades se leen solas. En cuanto veas sabes que el resultado está en energía partido por longitud aunque no tengas ni idea de qué es E ni de qué es x, y eso basta para detectar la mitad de los errores de una cuenta antes de hacerla.
Cuando hay varias variables en juego la «d» recta se parte en dos símbolos —la derivada parcial con su ∂ curva y la derivada total—, y ahí sí hay una distinción que cuesta cara. Eso es la ficha CAL.3, y no hace falta para nada de lo que viene aquí: en toda esta ficha se mueve una sola variable.
Cuándo el cociente ya es la derivada
Hay un caso en que y son exactamente lo mismo, y no es una aproximación buena: es una igualdad. Ocurre cuando la tasa no cambia dentro del intervalo.
Es lo que hace Electrario al escribir la corriente de desplazamiento como . La corriente que carga el condensador es constante —un amperio, ni más ni menos—, así que el campo entre las placas crece a ritmo constante y su cociente de incrementos no depende del intervalo que se mida. Con placas de 5 cm de radio, es decir 78,5 cm², sale
y al multiplicar de vuelta por vuelve a salir 1,000 A. El artículo lo dice con todas las letras: «No aproximadamente: exactamente». Tiene razón, y la razón es que la tasa es constante.
Cuando la tasa sí cambia, el cociente sigue existiendo y sigue significando algo — pero significa otra cosa:
| Objeto | Qué es | Depende de |
|---|---|---|
| ΔE/Δx | la tasa media a lo largo del trozo | los dos extremos que hayas elegido |
| dE/dx | la tasa en un punto | sólo del punto |
Los dos números son correctos y responden a preguntas distintas. Mezclarlos es el error que esta ficha existe para evitar, y hay un caso en el que los dos están impresos en la misma casilla de la misma tabla.
Problema. Nucleario tabula la alfa del polonio-210 así: 5,30 MeV de energía, «92 keV/µm al empezar, 155 de media», 34 µm de recorrido. ¿De dónde sale cada uno de los dos números, y por qué no coinciden?
Solución. El segundo es un cociente de incrementos, y se calcula sin saber nada de física: toda la energía dividida por todo el camino.
que son los 155 que tabula el artículo.
El primero es la derivada en un punto —el punto de entrada— y para calcularlo hace falta la fórmula de Bethe, que dice que va como . Al entrar, la alfa es lo más rápida que va a ser en toda su vida, así que ese es su valor mínimo: 92 keV/µm. A partir de ahí la partícula se frena, el crece, y la deposición se dispara justo antes de pararse.
Resultado. El cociente es 1,69 veces el valor inicial, y esa diferencia es el pico de Bragg — el hecho de que una partícula cargada deje casi toda su energía al final del recorrido y no al principio. De ahí sale la terapia con protones: se elige la energía para que el pico caiga dentro del tumor y el tejido de delante reciba el valor pequeño. Un tratamiento entero cuelga de la distancia entre 92 y 156.
La segunda lección es de lectura. El propio artículo cifra en 790 el factor entre la alfa y un electrón de 1 MeV (0,20 keV/µm). Ese 790 sale de dividir el LET medio: 156/0,20 ≈ 780. Con el LET inicial el factor sería 460, casi la mitad. Ninguno de los dos está mal; lo que estaría mal es citar uno y pensar en el otro. Antes de dividir dos tasas, comprueba que las dos son la misma clase de tasa.
Derivar baja el exponente en uno: de dónde sale el 1/r³ de la marea
Sólo hace falta una derivada en toda esta ficha, y es la de una potencia:
Léela como una regla de contabilidad de exponentes: derivar baja el exponente en uno (e integrar, como se verá, lo sube). Con ella se explica en una línea el resultado que Gravitario entrega sin puente. La gravedad va como , así que
y la diferencia de gravedad entre tus pies y tu cabeza, separados por , es esa tasa por esa distancia: . Exactamente la fórmula del panel de Gravitario, con su exponente 3 explicado: la marea va con un orden más de que la gravedad porque es su derivada. Y el signo menos, que allí se pierde, dice lo único que hay que recordar: la gravedad se debilita al subir.
¿Cuánto se pierde al sustituir la resta de verdad por la derivada por la longitud? Para el ascensor de 2,00 m del artículo, con km, la resta exacta y la derivada dan el mismo 6,166 × 10⁻⁶ m/s² hasta la séptima cifra: el error relativo es 4,7 × 10⁻⁷, y no es casualidad, porque vale . La aproximación se estropea cuando el objeto deja de ser pequeño frente a la distancia al centro — que es precisamente cuando un astronauta deja de estar cómodo cerca de un agujero negro.
Integrar es sumar tajadas; multiplicar es el caso en que todas son iguales
La operación inversa responde a la pregunta contraria: sé el ritmo, quiero el total acumulado. Si el ritmo es constante, no hay nada que discutir — se multiplica:
Es lo que hace Electrario con la dosis del técnico dental: 50 disparos al día a 0,005 mSv cada uno son 0,25 mSv diarios, y por 240 días de trabajo, 60 mSv al año, tres veces el límite profesional. Y es lo que hace Nucleario con el Sol: perder 4,26 × 10⁹ kg cada segundo suena catastrófico, pero como la tasa lleva miles de millones de años sin cambiar, basta multiplicar para ver que el Sol tarda 1,5 × 10¹¹ años en perder el 1 % de su masa. Multiplicar está bien porque la tasa es constante, no porque sea más fácil.
Cuando el ritmo cambia, el producto deja de valer y hay que trocear: partir el intervalo en pedazos tan cortos que dentro de cada uno el ritmo se pueda tomar por constante, multiplicar en cada uno, y sumar. A esa suma se le llama integral y se escribe con una ese alargada, que es justo de donde viene: la ese de «suma»:
Dibujada, la integral es el área bajo la curva del ritmo, y el producto «ritmo × tiempo» es el área del rectángulo que se obtiene al aplanar esa curva a su valor inicial. Toda la diferencia entre las dos cuentas es la diferencia entre esas dos áreas — y con eso ya se puede saber de qué lado se equivoca uno antes de calcular nada: si el ritmo baja, el rectángulo sobra; si sube, se queda corto.
Problema. Un reactor de 3000 MW térmicos lleva 18 meses funcionando, se para y pierde todas las bombas una hora después. Quedan 250 toneladas de agua a 70 bar, con calor de vaporización 1505 kJ/kg. Nucleario da dos respuestas, 3,4 h y 4,35 h. Obtén las dos y di de dónde sale la diferencia.
Solución. La potencia residual la da la correlación de Way y Wigner, con los tiempos en segundos:
Con s y s (18 meses) sale 1,028 %, es decir 30,8 MW. Y hay que evaporar 250 000 kg × 1,505 × 10⁶ J/kg = 376 GJ.
La cuenta perezosa congela la potencia en ese valor y divide: 376 × 10⁹ / 30,8 × 10⁶ = 1,22 × 10⁴ s = 3,39 h.
La cuenta buena acumula la potencia que realmente hay en cada instante. Aquí se puede hacer a mano, porque el integrando es una potencia y la regla de arriba se lee al revés — para integrar hay que subir el exponente a 0,8 y dividir por 0,8:
La energía que ha entrado en el agua desde que se pararon las bombas es : la primitiva restada entre los dos extremos, que es todo lo que hay que hacer con ella. Buscando el instante en que esa resta llega a 376 GJ salen s = 4,35 h de vaciado. Coincide con la cuadratura numérica de la misma integral hasta la sexta cifra, que es como se comprueba que la primitiva está bien escrita.
Resultado. La diferencia son 0,96 h —58 minutos—, un 22 % del tiempo real, y no es un refinamiento: es el margen que tiene una central para recuperar la refrigeración. De dónde sale se ve mejor así: la potencia media durante el vaciado es de 24,0 MW, sólo el 78 % de los 30,8 MW del primer instante, y la cuenta perezosa está usando el valor de un solo punto para todo el intervalo.
La segunda lección es que el error tiene signo y se conoce de antemano. Como la potencia baja, el rectángulo sobra y el tiempo sale corto: la cuenta perezosa da menos margen del que hay, que aquí cae del lado prudente. Si la tasa creciera en vez de decrecer —una reacción que se acelera, una fuga que se ensancha— el mismo descuido caería del lado contrario, y entonces el error no es conservador: es un accidente.
Las dos operaciones son la misma leída al revés
En el ejemplo anterior se ha usado sin decirlo la única propiedad estructural que hay que llevarse de aquí: derivar y acumular se deshacen mutuamente. Si es el total acumulado hasta el instante , entonces el ritmo es su derivada; y al revés, para acumular un ritmo basta encontrar una función cuya derivada sea el ritmo y restarla entre los dos extremos:
Eso es el teorema fundamental del cálculo, y en la práctica sirve para algo muy concreto: integrar es adivinar quién derivaba. La regla de la potencia, leída del revés, resuelve todos los casos de esta ficha:
El caso es el que se sale, y por eso el logaritmo aparece en todas partes: es la primitiva que falta en la lista de las potencias. Ahí enlaza esta ficha con CAL.4, y con ED.1 en cuanto el ritmo depende de lo acumulado en vez de depender del tiempo — que ya no es integrar, sino resolver una ecuación diferencial ordinaria.
Un aviso sobre los interactivos que «hacen las cuentas por ti». Dos de los cuatro sitios que piden esta ficha —Nucleario con su calor residual, Gravitario con su calculadora cosmológica— resuelven la integral dentro de un panel y le enseñan al lector el resultado. Está bien, pero deja un hueco peligroso: quien no sabe qué operación hace el panel no puede saber cuándo el panel no aplica. La correlación de Way y Wigner vale entre diez segundos y cien días y sólo cuenta productos de fisión; la integral de la edad del universo supone un modelo de contenido cósmico concreto. Un número que sale de una integral hereda todas las hipótesis del integrando, y esa herencia sólo se ve desde dentro de la cuenta.
Ejercicios
Gravitario dice que el tiempo de Hubble vale 14 510 millones de años y que la edad del universo son 13 790. El primero es y el segundo es una integral. ¿Qué cuenta perezosa es exactamente , y por qué el modelo de sólo materia da —9670 millones— mientras el modelo con energía oscura sube hasta el 0,951 de ?
Solución
es «distancia dividida por velocidad» con la velocidad congelada en su valor de hoy: exactamente el mismo pecado que dividir 376 GJ por 30,8 MW. Es la edad que tendría el universo si la expansión hubiera ido siempre al ritmo actual — y de hecho ese es uno de los tres modelos que compara el artículo, el vacío del todo, que da 14 510 millones bordados.
En un universo de sólo materia la gravedad frena la expansión, así que en el pasado el ritmo era mayor que hoy: recorrer la misma distancia costó menos tiempo, y la edad baja a , un tercio menos. Con y hay frenado al principio y aceleración después, y las dos casi se compensan: la integral vale 0,9506 en vez de 1, así que se pasa sólo un 5,2 %.
La segunda lección es sobre las aproximaciones que funcionan por casualidad. se usa como estimación de la edad del universo en todos los libros de divulgación, y da bien con los parámetros que hoy se miden. Con los de 1990 —sólo materia— habría sobrado un 50 %; y con el preajuste «casi todo Λ» del propio panel de Gravitario, que da 21 600 millones de años, se quedaría un 33 % corto, esta vez en el otro sentido. Una cuenta perezosa que acierta no es una cuenta buena: es una cuenta con suerte, y conviene saber de qué depende su suerte.
La Estación Espacial orbita a km del centro de la Tierra y Gravitario cifra allí el gradiente de marea en 2,55 × 10⁻⁶ s⁻². Comprueba que ese número es y no otra cosa, y estima el error que se comete al usar la derivada en lugar de la resta verdadera para una estación de 100 m de largo.
Solución
Con m³/s², s⁻². Coincide, y las unidades lo confirman solas: está en m/s² y en m, así que tiene que salir en s⁻², que es lo que Gravitario escribe. El error de la aproximación es el del apartado de la marea: , un 0,0022 %: noventa veces menos que el 0,2 % que ya implican las tres cifras significativas con que está dado el gradiente (±0,005 sobre 2,55).
La segunda lección es que ese error tiene una escala legible: va como . Sustituir una resta por una derivada sale gratis mientras el objeto sea pequeño frente a la distancia al centro, y dejaría de serlo para un cuerpo que cae hacia un agujero negro estelar, que es donde el propio Gravitario abandona esta fórmula. Toda derivada usada como diferencia lleva ese cociente dentro, y merece la pena calcularlo una vez en lugar de confiar en que sea pequeño.
Electrario escribe y afirma que es exacto. ¿En qué situación deja de serlo? Sustituye la fuente de corriente constante por un condensador que se descarga a través de una resistencia, con , y calcula la carga que sale entre 0 y de las dos maneras.
Solución
Deja de ser exacto en cuanto la corriente cambia dentro del intervalo, porque entonces ya no es el valor instantáneo sino su media, y lo que hay que escribir es . La cuenta perezosa da . La buena acumula:
El producto se pasa en un 58 %. Y el signo era previsible sin calcular nada: la corriente baja, así que el rectángulo levantado sobre su valor inicial sobra.
La segunda lección es que ese 0,632 no es un número de este problema: es , y sale idéntico en la carga de un condensador, en el enfriamiento de un café, en la descontaminación de un filtro y en cualquier otra cosa gobernada por la misma exponencial. Ahí está la frontera con ED.1: aquí el ritmo dependía del tiempo y bastaba integrar, pero si el ritmo depende de lo que queda —y en una descarga RC depende— la integral se convierte en una ecuación diferencial, y la exponencial deja de ser un dato para pasar a ser el resultado.
Lo que esta ficha deja utilizable, para volver dentro de seis meses sin releerla.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Cómo se lee una derivada | «cuánto de lo de arriba por cada unidad de lo de abajo»; sus unidades son ese cociente | §1 |
| Qué es la d | la Δ cuando el intervalo es tan corto que el resultado ya no depende de él | §1 |
| dm/dt del Sol | L/c² = 4,26 × 10⁹ kg/s; el 1 % de M_sol en 1,5 × 10¹¹ años | §1, §4 |
| dE/dx (LET) | keV por µm; alfa de 5,30 MeV: 92 al entrar, 156 de media | ej. res. 1 |
| dU/dT | 3R = 24,94 J/(mol·K), el calor específico de Dulong y Petit | §1 |
| Δ/Δt = d/dt exactamente | si y sólo si la tasa es constante en el intervalo | §2 |
| Si la tasa varía | ΔE/Δx es la MEDIA del trozo; dE/dx es el valor en un PUNTO | §2 |
| Corriente de desplazamiento | dE/dt = I/(ε₀A) = 1,44 × 10¹³ V/(m·s), exacto porque I es constante | §2 |
| La única derivada que hace falta | d(xⁿ)/dx = n·x^(n−1): derivar baja el exponente en uno | §3 |
| La marea | Δa = |dg/dr|·L = 2GML/r³; el 1/r³ es la derivada del 1/r² | §3 |
| Error de derivada por diferencia | 3L/2r; ascensor de 2 m en la Tierra: 4,7 × 10⁻⁷ | §3, ej. 2 |
| Acumular | ritmo × tiempo si el ritmo es constante; ∫P dt si no | §4 |
| Qué es la integral | el área bajo la curva del ritmo; el producto es el rectángulo | §4 |
| El signo del error | si el ritmo baja, el rectángulo sobra; si sube, se queda corto | §4 |
| Reactor parado | 376 GJ; perezosa 3,39 h, integrando 4,35 h: 58 min y un 22 % | ej. res. 2 |
| Way-Wigner y su primitiva | P/P₀ = 0,0622[t^−0,2 − (t+t_op)^−0,2]; ∫ sube el exponente a 0,8 | ej. res. 2 |
| Teorema fundamental | dF/dt = P ⟺ ∫P dt = F(t₂) − F(t₁): integrar es adivinar quién derivaba | §5 |
| Integral de una potencia | ∫xⁿdx = x^(n+1)/(n+1) salvo n = −1, que da ln x | §5 |
| Edad del universo | 1/H₀ = 14 510 Maños es la cuenta perezosa; ΛCDM da 0,951/H₀ = 13 790 | ej. 1 |
| Descarga RC | ∫₀^RC I₀e^(−t/RC)dt = 0,632 I₀RC: el producto se pasa un 58 % | ej. 3 |
Adónde lleva esta ficha. Con esto ya puedes leer cualquier que te aparezca en mitad de un artículo, decidir si una tasa se multiplica o se integra, y saber de qué lado te vas a equivocar si eliges mal. Lo que falta a continuación son dos cosas: qué pasa cuando la magnitud depende de varias variables a la vez y la d se parte en ∂ —eso es CAL.3—, y qué pasa cuando el ritmo depende de lo acumulado en vez de depender del tiempo, que ya no es integrar sino resolver una ecuación diferencial y es ED.1.
Para usarlo ya, el artículo 02 de Nucleario I.3 tiene el vaciado del reactor con las dos cuentas hechas y un panel que integra la correlación en directo, y Gravitario I.5 calcula la edad del universo en tres modelos con la misma integral y tres contenidos distintos.