Logaritmos, escalas y órdenes de magnitud

Del cobre al cuarzo hay veinticinco órdenes de magnitud de resistividad. Del agua al vidrio de una ventana, cuarenta y cuatro de viscosidad. Entre el Intel 4004 y un chip de hoy, 58 millones de transistores de diferencia. Ninguno de esos tres hechos se puede dibujar en un eje corriente: en escala lineal, todo lo que no sea el punto mayor está pegado al cero. Esta ficha va del papel que sí los dibuja, de cómo se lee una pendiente en él, y —sobre todo— de las tres maneras de leerla mal.

Quién pide esta ficha

Cristalario I.1, artículo 04 — «que una industria entera haya seguido durante medio siglo una recta en papel logarítmico es un hecho histórico raro». No dice qué es papel logarítmico: es la laguna más visible del programa.
Cristalario I.1, artículo 03 — veinticinco órdenes de magnitud de resistividad salidas de una sola exponencial, con un interactivo de treinta décadas de eje.
Particulario, «Cómo leer este sitio» — declara el idioma de su Nivel I entero: «potencias de diez, unidades como el MeV, cocientes y órdenes de magnitud».
Particulario II.7, artículo 03 — «en menos de dos décadas de energía», «diez décadas»: usa la década en sentido logarítmico quince veces sin definirla.
Nucleario I.1, artículo 03 — $\log_2 100 = 6{,}64$ semividas, y una regla de dosis con nueve décadas de eje.
Termario I.3, artículo 02 — $S = k\log W$ : «el logaritmo la hace aditiva, W se multiplica y S se suma».
Cuantario I.3, artículo 02 — «con 6 decibelios de compresión el ruido baja un factor 2 en desviación típica; con 3 dB, un factor 1,41».
Electrario I.1, artículo 03 — «dos velocidades separadas por doce órdenes de magnitud, y confundirlas es el error…»: la tesis del artículo es un cociente.

Necesitas: saber qué es un logaritmo y manejar potencias de diez. Nada más. Las derivadas aparecen sólo en la última sección y se pueden saltar sin perder lo demás.

Qué papel endereza cada ley

Cinco conjuntos de datos y tres pares de ejes. El panel ajusta por mínimos cuadrados una recta en las coordenadas que estés viendo y calcula su R² ahí mismo; de la pendiente saca la magnitud física del conjunto y la compara con el valor de referencia. Prueba los tres ejes con cada conjunto y fíjate en cuál endereza — y en que tres de los cinco no dan lo que deberían, con R² excelente.

Del ajuste	Valor	Referencia
pendiente m	5,377136	unidades de y por unidad de x
ordenada c	-8,78589	y en x = 0
R² en estos ejes	0.97635065	la ley de este conjunto endereza en log-log

Kepler en log-log da 1,49922, no 1,5, con R² = 0,9999999. Esa desviación de 0,05 % no la explica la masa de los planetas: corregir cada periodo por √(1+m/M) sólo da cuenta del 3 % de ella. Lo que queda es la precisión de los elementos orbitales tabulados. Un R² de siete nueves no convierte los datos en exactos. Y compara con el eje lineal: R² = 0,976, que a simple vista parece un ajuste razonable para un modelo que es completamente falso.

Lo único que hace un logaritmo

Convierte productos en sumas. Todo lo demás son consecuencias:

\log(ab) = \log a + \log b, \qquad \log(a^n) = n\log a.

La primera consecuencia es que en un eje logarítmico lo que es constante es el factor, no la diferencia. De 1 a 10 hay lo mismo que de 10 a 100 y que de $10^{22}$ a $10^{23}$ : una década. Por eso los ejes logarítmicos son la única manera de dibujar juntas cosas que se diferencian en veinticinco potencias de diez, y por eso «órdenes de magnitud» es la unidad natural en la que se habla de ellas.

Las tres bases que aparecen en física, y sus conversiones exactas:

Base	Se usa para	Conversión
10	órdenes de magnitud, décadas, decibelios	—
e	todo lo que sale de una ecuación diferencial	ln x = 2,302 585·log₁₀ x
2	duplicaciones, semividas, bits, octavas	log₂ x = 3,321 928·log₁₀ x

De la última fila sale la aproximación que sostiene media informática: $2^{10} = 1024 \approx 10^3$ , con un 2,4 % de error. Y su recíproca, que es la que usa Nucleario: un factor 100 son $\log_2 100 = 6{,}644$ duplicaciones y un factor 1000 son $9{,}966$ , «prácticamente diez».

Las dos rectas que hay que saber distinguir

Ésta es la sección operativa de la ficha, y cabe en cuatro líneas. Hay dos papeles y cada uno endereza una familia de leyes:

Papel	Ejes	Sale recta si	La pendiente vale
Semilogarítmico	log y frente a x	y = A·e^(kx) (exponencial)	k/ln10, en décadas por unidad de x
Doblemente logarítmico	log y frente a log x	y = A·xⁿ (ley de potencias)	n, el exponente, sin unidades

La demostración de la primera fila es una línea: $\log_{10}(Ae^{kx}) = \log_{10}A + (k/\ln 10)\,x$ , que es una recta en $x$ . La de la segunda, otra: $\log_{10}(Ax^n) = \log_{10}A + n\log_{10}x$ , recta en $\log_{10}x$ . Las dos comprobadas con sympy.

Y de ahí sale el procedimiento de diagnóstico, que es lo que de verdad hay que llevarse: ante unos datos cuya ley no conoces, dibújalos en los tres pares de ejes. Si endereza el semilog, hay una exponencial detrás; si endereza el log-log, una ley de potencias; si no endereza ninguno, no es ni una cosa ni la otra y hay que pensar otra vez. El interactivo de arriba hace exactamente eso con cinco conjuntos.

Ejemplo resuelto 1 · Kepler sin saber que existe Kepler

Problema. Tienes los semiejes mayores y los periodos de los ocho planetas, y ninguna teoría. Deduce la ley y sus constantes.

Solución. En ejes lineales los cuatro planetas interiores se amontonan en la esquina y el ajuste recto da $R^2 = 0{,}976$ , que parece aceptable. En log-log los ocho puntos caen sobre una recta con $R^2 = 0{,}9999999$ y pendiente 1,49922, ordenada $10^c = 0{,}99984$ . Se lee directamente:

T \approx 1{,}00\;a^{1{,}499} \quad\Longrightarrow\quad T^2 \propto a^3.

Resultado. El exponente 3/2 y la constante 1 en años y unidades astronómicas: la tercera ley entera, leída de una recta sin escribir una sola ecuación de la gravitación. Ése es el poder del papel log-log — no comprueba una ley, la mide.

Ahora la parte incómoda, que es la que hay que aprender. La pendiente no es 1,5: es 1,49922, un 0,05 % por debajo. La explicación obvia es que la ley exacta lleva la masa del planeta, $T^2 = 4\pi^2a^3/[G(M+m)]$ , y Júpiter va un 0,048 % deprisa por eso. Suena bien y esta ficha lo tenía escrito así. Pero al corregir cada periodo por $\sqrt{1+m/M}$ y reajustar, la pendiente pasa de 1,499218 a 1,499244: la masa da cuenta del 3 % de la desviación, no del resto. Lo que queda es la precisión de los elementos orbitales tabulados. La lección tiene dos mitades: un R² de siete nueves no convierte los datos en exactos, y una explicación plausible del residuo no vale nada hasta que se cuantifica.

Décadas y decibelios

El decibelio es un logaritmo con dos convenios que hay que separar desde el primer día:

\text{dB} = 10\log_{10}\frac{P}{P_0} \quad\text{(potencias)}, \qquad \text{dB} = 20\log_{10}\frac{A}{A_0} \quad\text{(amplitudes)}.

El 20 no es otra unidad: es que la potencia va con el cuadrado de la amplitud, y el cuadrado sale del logaritmo como un factor 2. De ahí las dos cifras que hay que tener en la cabeza: 3,0103 dB es un factor 2 en potencia y 6,0206 dB es un factor 2 en amplitud. Cuando Cuantario dice que «con 6 dB de compresión el ruido baja un factor 2 en desviación típica, y con 3 dB un factor 1,41», está usando el convenio de amplitudes, y los dos números son $10^{6/20} = 1{,}995$ y $10^{3/20} = 1{,}413$ .

Un decibelio no mide nada por sí solo. Es siempre un cociente contra una referencia, y si la referencia no está escrita, el número no significa nada. Por eso existen dBm (referencia 1 mW), dBV (1 voltio), dB SPL (20 µPa)… y por eso «esta antena tiene 12 dB» es una frase incompleta. La misma prudencia vale para «órdenes de magnitud»: son órdenes de magnitud respecto de algo, y el algo hay que decirlo.

La recta que mide una energía: Arrhenius

El caso más rentable del papel semilogarítmico en física es cuando la variable del eje horizontal no es $x$ sino $1/T$ . Cualquier proceso gobernado por un factor de Boltzmann tiene la forma $y \propto e^{-E/kT}$ , y entonces

\ln y = \text{cte} - \frac{E}{k}\cdot\frac{1}{T} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d(\ln y)}{d(1/T)} = -\frac{E}{k}.

Es decir: representa el logaritmo frente al inverso de la temperatura y la pendiente te da una energía. Con eso se miden energías de activación de reacciones, de difusión, de formación de vacantes, y bandas prohibidas de semiconductores, todo con un termómetro y una regla. Es la misma recta que la ficha ED.1 encontró en Clausius-Clapeyron, donde la pendiente es el calor latente dividido por R.

Ejemplo resuelto 2 · La banda prohibida que sale un 8 % de más

Problema. Los portadores intrínsecos del silicio siguen $n_i \propto T^{3/2}e^{-E_g/2kT}$ con $E_g = 1{,}12$ eV. Genera el modelo entre 250 y 500 K, ajusta $\log n_i$ frente a $1000/T$ y mira qué $E_g$ sale.

Solución. El ajuste da pendiente −3,0505 décadas por unidad de $1000/T$ , con $R^2 = 0{,}99995$ . Traduciendo con $E_g = -2k\cdot1000\cdot\ln 10 \cdot m$ sale 1,2106 eV.

Resultado. Un 8,1 % de más, sin ruido, sin error numérico y con una recta impecable. La causa está en el prefactor. Derivando el modelo entero respecto de $1/T$ , con $u = 1/T$ :

\frac{d(\ln n_i)}{du} = \frac{3}{2}\frac{d(\ln T)}{du} - \frac{E_g}{2k} = -\frac{3}{2}T - \frac{E_g}{2k},

así que la pendiente mide $E_g + 3kT$ , no $E_g$ . Los 0,090 eV que sobran son $3k\bar T$ con $\bar T = 350$ K, justo en medio del rango ajustado — comprobado despejándolo del ajuste.

La lección es la del título: una recta perfecta puede estar midiendo otra cosa. El papel logarítmico endereza tan bien que se traga los prefactores algebraicos sin protestar, y el $R^2$ no avisa. Antes de leer una pendiente hay que preguntarse qué más depende de la variable, y si la respuesta es «un polinomio», la pendiente lleva su sesgo dentro. Es exactamente la razón de que los valores de $E_g$ medidos por conductividad y por absorción óptica no coincidan.

Tres maneras de leerlo mal

Una. En escala logarítmica un factor 2 son 0,301 décadas. Sobre un eje de veinticinco décadas como el de Cristalario, eso es el 1,2 % del alto del gráfico: invisible. Los ejes logarítmicos esconden los factores pequeños con la misma eficacia con que enseñan los grandes, y por eso no sirven para comparar dos cosas parecidas. Si lo que quieres es ver un 10 % de diferencia, el papel logarítmico es la peor elección posible.

Dos. Ajustar en el espacio logarítmico no es ajustar en el lineal con otra presentación: es otro ajuste. Los mínimos cuadrados sobre $\log y$ minimizan el error relativo y dan el mismo peso a un punto de valor 10 que a uno de valor 10 000; los mínimos cuadrados sobre $y$ minimizan el error absoluto, y el punto grande decide el resultado él solo. Ninguno de los dos es «el correcto»: el correcto es el que corresponda a cómo se distribuye el error de tus medidas. Con la ley de Moore, el ajuste lineal tiene $R^2 = 0{,}34$ porque los ocho primeros chips son indistinguibles de cero.

Tres. Una recta en papel logarítmico invita a extrapolar, y extrapolar en logaritmos multiplica el error. Cristalario lo dice con datos: «ninguna extrapolación aguanta cuatro órdenes de magnitud sin que aparezca otro mecanismo», y «una tendencia exponencial siempre se para, y normalmente la para una magnitud distinta de la que se estaba extrapolando». Que la recta de Moore haya durado medio siglo no es una ley de la naturaleza: es una observación con fecha de caducidad, y de hecho ya se está doblando.

Y un aviso de aritmética elemental que se olvida. $\log(a+b)$ no es $\log a + \log b$ . El logaritmo convierte productos en sumas, no sumas en sumas. Suena obvio escrito, y sin embargo es el fallo que aparece en cuanto hay que sumar dos contribuciones ya expresadas en dB o en órdenes de magnitud: hay que salir de los logaritmos, sumar, y volver a entrar. Dos fuentes de 60 dB no dan 120 dB, dan 63,01.

Ejercicios

Ejercicio 1

En el interactivo, elige «Radios nucleares» y ponte en log-log. La ley de libro es $R = r_0A^{1/3}$ , con pendiente 0,3333. ¿Cuánto sale, y qué hay que hacer con los datos para que se acerque?

Solución

Sale 0,2757, un 17 % por debajo, con $R^2 = 0{,}9989$ y $r_0 = 1{,}247$ fm. Quitando los tres núcleos más ligeros la pendiente sube a 0,281, y quedándose de A ≥ 56 para arriba, a 0,295: sigue sin llegar a 1/3. La razón la documenta el propio Nucleario en su tabla — lo que se mide es el radio cuadrático medio de carga, y en un núcleo ligero la superficie difusa es casi todo el núcleo, así que su radio de carga está inflado respecto de la esfera uniforme equivalente. En el carbono-12 esa discrepancia vale −14 %.

La segunda lección es sobre qué significa un buen R². El ajuste log-log tiene $R^2 = 0{,}9989$ , que en cualquier laboratorio se declararía «excelente», y sin embargo el exponente que devuelve está a diecisiete puntos porcentuales del teórico. R² mide si los puntos caen sobre una recta, no sobre la recta que predice la teoría. Son dos preguntas distintas, y sólo la segunda es física.

Ejercicio 2

Un titular dice que el ruido de un aparato ha bajado 20 dB. Otro dice que su resolución ha mejorado en un orden de magnitud. ¿Están diciendo lo mismo?

Solución

Depende del convenio, y ahí está la trampa. Veinte decibelios son un factor $10^{20/10} = 100$ si se habla de potencia y $10^{20/20} = 10$ si se habla de amplitud. Sólo en el segundo caso coincide con «un orden de magnitud». Como el ruido de un instrumento se suele expresar en amplitud —o en su desviación típica—, lo más probable es que sí; pero es una probabilidad, no una lectura.

La segunda lección es que la ambigüedad se resuelve siempre igual: preguntando de qué magnitud es el decibelio. Un decibelio no es una unidad de nada; es un cociente adimensional al que le falta la mitad de la información hasta que se dice qué se divide y por qué referencia. Cuando escribas tú uno, escribe las dos cosas.

Ejercicio 3

Cristalario dice que entre el cobre y el cuarzo hay veinticinco órdenes de magnitud de resistividad, y que la causa es el factor $e^{-E_g/2kT}$ . ¿Qué banda prohibida hace falta, a temperatura ambiente, para producir esas veinticinco décadas?

Solución

Veinticinco décadas son $25\ln 10 = 57{,}6$ en logaritmo natural, así que hace falta $E_g/2kT = 57{,}6$ . Con $kT = 0{,}0257$ eV a 298 K eso da $E_g = 2{,}96$ eV — el orden de magnitud de un aislante de banda ancha, y desde luego no el 1,12 eV del silicio, que sólo aporta $1{,}12/(2\times0{,}0257\times\ln 10) = 9{,}5$ décadas.

La segunda lección es el método, que es el que hace útil esta ficha: una diferencia en órdenes de magnitud es una resta de exponentes, y por tanto una medida de la energía que la produce. Contar décadas es el atajo más barato que existe para estimar una energía de activación, y funciona antes de tener ningún dato preciso: la escala logarítmica no es una manera de dibujar, es una manera de calcular.

Resumen en frío · Ficha CAL.4

Lo que esta ficha deja utilizable, para volver dentro de seis meses sin releerla.

Qué	Fórmula o valor	Dónde
Lo único que hace	log(ab) = log a + log b; en un eje log lo constante es el factor	§1
Conversiones	ln x = 2,302 585 log₁₀x; log₂x = 3,321 928 log₁₀x	§1
La aproximación de la informática	2¹⁰ = 1024 ≈ 10³, con 2,4 % de error	§1
Semilog recto ⟺	y = Ae^(kx); pendiente k/ln10 en décadas por unidad	§2
Log-log recto ⟺	y = Axⁿ; pendiente n, el exponente	§2
Diagnóstico	prueba los tres ejes: el que endereza dice qué ley hay	§2
Kepler medido	pendiente 1,49922 con R² = 0,9999999; 0,05 % por debajo de 3/2	ej. res. 1
Y lo que NO lo explica	la masa de los planetas da cuenta del 3 % de esa desviación	ej. res. 1
Decibelios	10 log₁₀ en potencia, 20 log₁₀ en amplitud	§3
Los dos números	3,0103 dB = ×2 en potencia; 6,0206 dB = ×2 en amplitud	§3
Arrhenius	d(ln y)/d(1/T) = −E/k: la pendiente ES una energía	§4
Su sesgo	con un prefactor T^(3/2) la pendiente mide E_g + 3kT̄, no E_g	ej. res. 2
Silicio	E_g real 1,120 eV, ajustado 1,2106 eV: +8,1 % con R² = 0,99995	ej. res. 2
Trampa 1	un factor 2 son 0,301 décadas: el 1,2 % de un eje de 25	§5
Trampa 2	ajustar en log minimiza el error RELATIVO; no es el mismo ajuste	§5
Trampa 3	ninguna extrapolación aguanta cuatro órdenes de magnitud	§5
Trampa 4	log(a+b) ≠ log a + log b; dos fuentes de 60 dB dan 63,01 dB	callout
Moore, medido	una duplicación cada 2,08 años; 5,83 × 10⁷ en 52 años (25,8 duplicaciones)	interactivo

Adónde lleva esta ficha. Con esto ya puedes mirar cualquier gráfico de un artículo y decir qué ley está afirmando, y sacarle la constante con una regla. Lo que falta a continuación es la disciplina del ajuste en serio —cuándo una recta es buena y cuándo sólo lo parece, qué es $\chi^2$ y qué barras de error hacen falta—, que tiene ficha propia pendiente en el área de probabilidad y estadística.

La ficha hermana es ED.1: la razón de que un decaimiento salga recto en semilogarítmico es que $\ln y$ baja a ritmo constante, y ahí está la ecuación que lo hace. Para usarlo ya, Cristalario I.1 tiene medio siglo de datos sobre una recta logarítmica, y su artículo 03 saca veinticinco órdenes de magnitud de una sola exponencial.