Desarrollos en serie y la aproximación de ángulo pequeño

La fórmula del péndulo, $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ , es falsa. A 30° de amplitud se queda un 1,74 % corta, y a 90°, un 18,0 %. No es una aproximación en el sentido flojo de la palabra: es un desarrollo en serie del que alguien tiró todos los términos menos el primero, y el error que eso cuesta es calculable. Esta ficha va de esa operación —quedarse con los primeros términos— que es probablemente el truco más usado y menos declarado de toda la física.

Quién pide esta ficha

Mecanario II.2, artículo 03 — «cerca de cualquier mínimo, Taylor aproxima…»: de ahí sale que todo mínimo es un muelle.
Mecanario II.3 — la linealización que convierte cualquier oscilación real en un oscilador armónico.
Mecanario I.5, artículo 03 — y su ruptura, que es por donde entra el caos.
Termario II.1 — el desarrollo del virial, que es una serie en la densidad.
Cuantario II.3 y Gravitario III.3 (previstos) — el oscilador cuántico y el campo débil, los dos por desarrollo.

Necesitas: derivadas de funciones de una variable y la notación de factorial. Los radianes, en serio: media ficha deja de valer si se meten grados en un desarrollo.

Dónde deja de valer una serie truncada

Casi toda la física resuelta es una serie a la que alguien le cortó la cola. Elige la función, elige cuántos términos te quedas y mira el error en el punto que te importa. La curva rosa es la serie truncada; la gris, la función de verdad. Los dos números de abajo se calculan aquí, no están escritos.

Términos de la serie: 1 Punto x: 0.5236 = 30.0°

Serie truncada 0,523600

Valor exacto 0,500001

Error relativo 4,72 × 10⁻²

Con 1 término el error en x = 0.5236 es de 4.720 %. Para bajar del 1 % hacen falta 2; para bajar de 0,01 %, 3. El péndulo. Quedarse en el primer término es la aproximación de ángulo pequeño.

Qué es un desarrollo, en una línea

Una función suficientemente lisa se puede escribir cerca de un punto como una suma de potencias. Es la serie de Taylor:

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots

Las cinco que hay que saber de memoria, todas alrededor de $x = 0$ y todas comprobadas con sympy en scripts/verificar-cal1.py:

\begin{aligned} \operatorname{sen} x &= x - \tfrac{x^3}{6} + \tfrac{x^5}{120} - \cdots \\[2pt] \cos x &= 1 - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^4}{24} - \cdots \\[2pt] e^{x} &= 1 + x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{6} + \cdots \\[2pt] (1+x)^{\alpha} &= 1 + \alpha x + \tfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \cdots \\[2pt] \ln(1+x) &= x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3} - \cdots \end{aligned}

La cuarta es la más rentable de las cinco, porque el coeficiente binomial generalizado cubre todas las raíces y todos los inversos que aparecen en física. Con $\alpha = -1/2$ y $x \to -\beta^2$ da el factor de Lorentz; con $\alpha = 1/2$ , la corrección de marea; con $\alpha = -1$ , la serie geométrica.

Un desarrollo sólo vale dentro de su radio de convergencia, y ese radio suele estar avisando de algo físico. El de $1/\sqrt{1-\beta^2}$ es exactamente 1: la serie converge para toda velocidad menor que la de la luz y para ninguna mayor. La aritmética sabe dónde está el límite antes de que se lo cuentes.

El error de sen θ ≈ θ, con números

La aproximación de ángulo pequeño es el caso más frecuente y el que más se usa sin decir cuánto cuesta. Como $\operatorname{sen}\theta = \theta - \theta^3/6 + \cdots$ , el error relativo de sustituir el seno por el ángulo es

\frac{\theta - \operatorname{sen}\theta}{\operatorname{sen}\theta} \approx \frac{\theta^2}{6},

y eso da una tabla que conviene tener en la cabeza:

Ángulo	Error de sen θ ≈ θ	Error del periodo del péndulo
5°	0,127 %	0,0476 %
10°	0,509 %	0,191 %
13,99°	1,00 %	0,374 %
20°	2,06 %	0,767 %
30°	4,72 %	1,74 %
45°	11,1 %	4,00 %
90°	57,1 %	18,0 %

Las dos columnas de la derecha no coinciden, y la diferencia es la mitad interesante del asunto. El error del periodo es siempre menor que el de la ecuación de la que sale, porque integrar promedia: el péndulo pasa parte del recorrido cerca del centro, donde la aproximación es excelente. Ésa es la razón de que los relojes de péndulo funcionaran tres siglos con una fórmula que es falsa desde el primer grado.

Ejemplo resuelto 1 · El periodo exacto del péndulo

Problema. ¿Cuál es el periodo exacto de un péndulo de amplitud $\theta_0$ , y con cuántos términos de la serie basta para dar tres cifras a 30°?

Solución. El periodo exacto es una integral elíptica completa de primera especie: $T = 4\sqrt{L/g}\;K(\operatorname{sen}^2(\theta_0/2))$ . Desarrollando esa integral con sympy sale

\frac{T}{T_0} = 1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \frac{11\,\theta_0^4}{3072} + \frac{173\,\theta_0^6}{737\,280} + \cdots

A 30° = 0,5236 rad, el valor exacto del cociente es 1,017409. Con dos términos sale 1,017135 (error 2,7 × 10⁻⁴) y con tres, 1,017404 (error 4,9 × 10⁻⁶). Con tres términos sobra para tres cifras, y con dos ya basta.

Resultado. A 30°, el periodo real es un 1,74 % mayor que el de la fórmula de libro. Para un péndulo de un metro eso son 35 milisegundos por oscilación — es decir, un reloj que atrasa 25 minutos al día. La lección no es que la fórmula esté mal, sino que el término que se tira tiene un tamaño y ese tamaño se puede calcular antes de decidir si estorba. A 90° la serie de tres términos ya sólo da 1,176 frente a 1,180: la aproximación se degrada, y también se degrada la manera de estimar cuánto se degrada.

Todo mínimo es un muelle

El uso más importante de todos no es aproximar una función conocida, sino descubrir que un sistema desconocido es un oscilador. Desarrolla cualquier energía potencial alrededor de un mínimo $x_0$ : el término lineal se anula, porque es un mínimo, y queda

U(x) \approx U(x_0) + \tfrac{1}{2}U''(x_0)\,(x-x_0)^2.

Eso es un muelle de constante $k = U''(x_0)$ . La aproximación armónica no es una hipótesis sobre el sistema: es una consecuencia de que tenga un mínimo. Por eso el oscilador armónico reaparece en los nueve sitios del programa con nueve nombres distintos.

Ejemplo resuelto 2 · El muelle del argón sólido

Problema. Dos átomos de argón interaccionan con un potencial de Lennard-Jones $U = 4\varepsilon[(\sigma/r)^{12} - (\sigma/r)^{6}]$ , con $\varepsilon/k_B = 120$ K y $\sigma = 3{,}40$ Å. ¿Qué constante de fuerza «ve» un átomo que se separa poco de su sitio, y a qué frecuencia vibra?

Solución. Derivando e igualando a cero, $r_0 = 2^{1/6}\sigma = 3{,}816$ Å, con $U(r_0) = -\varepsilon$ . La segunda derivada ahí vale exactamente $36\cdot 2^{2/3}\,\varepsilon/\sigma^2 = 57{,}15\,\varepsilon/\sigma^2$ — comprobado con sympy — lo que con los números da 0,819 N/m. Con la masa del argón, 39,948 u, $\omega = \sqrt{k/m} = 3{,}51 \times 10^{12}$ rad/s, o 5,59 × 10¹¹ Hz.

Resultado. Un muelle de 0,819 N/m: unas dos mil veces más blando que el enlace covalente del monóxido de carbono, y del orden del muelle de un bolígrafo. Eso ya explica por qué el argón es un gas a temperatura ambiente y el CO no se rompe: el mismo desarrollo, hecho sobre dos potenciales distintos, ordena los dos materiales sin tener que simular nada. Y la frecuencia que sale, 5,6 × 10¹¹ Hz, cae justo en el rango de los fonones de un sólido molecular, que es la comprobación de orden de magnitud que había que hacer antes de creerse el número.

Dos casos que se usan sin nombrarlos

La energía cinética. El desarrollo del factor de Lorentz es $\gamma = 1 + \beta^2/2 + 3\beta^4/8 + \cdots$ , así que

E_k = (\gamma-1)mc^2 = \tfrac{1}{2}mv^2\left(1 + \tfrac{3}{4}\beta^2 + \cdots\right).

$\tfrac{1}{2}mv^2$ es el primer término de la serie relativista, no una teoría distinta. Su error relativo es $3\beta^2/4$ : para la Estación Espacial Internacional a 7,66 km/s son 4,90 × 10⁻¹⁰, y no llega al 1 % hasta $\beta = 0{,}1154$ , es decir 3,46 × 10⁷ m/s.

El calor específico de un sólido. El modelo de Einstein da $C/3Nk = u^2e^{u}/(e^{u}-1)^2$ con $u = \theta_E/T$ , que no se parece a nada. Desarrollado para $T \gg \theta_E$ :

\frac{C}{3Nk} = 1 - \frac{u^2}{12} + \frac{u^4}{240} - \cdots

El primer término es Dulong y Petit, la ley empírica de 1819; el segundo dice cuándo se empieza a notar la cuántica. A $T = \theta_E$ la desviación es del 7,9 % y la estimación $1 - u^2/12$ ya falla un 0,44 % — la serie avisa de que se está saliendo de su terreno.

La trampa de los grados. Todos los desarrollos de esta ficha exigen radianes, y no por gusto: la derivada de $\operatorname{sen}$ sólo es $\cos$ si el argumento está en radianes. Meter grados en $\theta_0^2/16$ multiplica la corrección por $(180/\pi)^2 = 3283$ , y produce un resultado tan absurdo que se ve. El caso peligroso es el contrario: una corrección que sale 3283 veces pequeña y se descarta por despreciable.

Y una honestidad de fondo: una serie de Taylor no promete nada lejos del centro. Que los primeros términos se aproximen bien no garantiza que la serie converja a la función —las series asintóticas de la física estadística y de la teoría cuántica de campos divergen todas— ni que sumar más términos mejore el resultado. Aproximar es una decisión con un coste medible, no un derecho.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un péndulo de reloj se ajusta con amplitud de 5° y luego alguien lo pone en marcha con 12°. ¿Cuánto atrasa o adelanta al día?

Solución

La corrección del periodo es $\theta_0^2/16$ con $\theta_0$ en radianes: 4,76 × 10⁻⁴ a 5° y 2,74 × 10⁻³ a 12°. La diferencia es 2,27 × 10⁻³, que en 86 400 s son 196 s, más de tres minutos de atraso al día — el periodo aumenta, así que el reloj va lento.

La segunda lección está en el signo y en el tamaño: la corrección es cuadrática, así que un factor 2,4 en la amplitud es un factor 5,8 en el error. Por eso un reloj de péndulo se regula por la longitud pero se mantiene por la amplitud, y por eso el escape de un reloj bueno se diseña para dar siempre el mismo impulso.

Ejercicio 2

Demuestra que la fuerza de marea sobre un cuerpo de radio $R$ a distancia $d$ de una masa $M$ va como $1/d^3$ y no como $1/d^2$ , usando el desarrollo binomial.

Solución

La diferencia de campo entre el punto más cercano y el centro es $GM/(d-R)^2 - GM/d^2$ . Sacando factor $GM/d^2$ queda $(1-R/d)^{-2} - 1$ , y con $(1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x$ para $x = -R/d$ y $\alpha = -2$ sale $2R/d$ . Por tanto $\Delta g \approx 2GMR/d^3$ .

La segunda lección es sobre qué hace el desarrollo aquí: el término de orden cero se cancela —es la atracción común, que no deforma nada— y toda la física de las mareas vive en el primer término, el que un cálculo descuidado tiraría. Cuando una cantidad es una diferencia, el orden que importa es siempre uno más de lo que parece.

Ejercicio 3

En el interactivo, elige $e^{x}$ y llévate el punto a $x = -3$ . Con pocos términos el error es enorme; con doce, minúsculo. Ahora prueba $\ln(1+x)$ en $x = 2{,}5$ : el error no baja aunque añadas términos. ¿Qué distingue los dos casos?

Solución

El radio de convergencia. La serie de $e^x$ converge para todo $x$ ; la de $\ln(1+x)$ sólo para $|x| < 1$ , porque la función tiene una singularidad en $x = -1$ y eso limita el radio en todas las direcciones. En $x = 2{,}5$ los términos crecen y la suma no se acerca a nada.

La segunda lección es la que más veces salva un cálculo: la singularidad que fija el radio puede estar en el lado opuesto del que estás mirando — e incluso fuera de la recta real, en el plano complejo. Por eso el radio de convergencia es un asunto de variable compleja aunque la función que te preocupa sea real.

Resumen en frío · Ficha CAL.1

Lo que esta ficha deja utilizable, para volver dentro de seis meses sin releerla.

Qué	Fórmula o valor	Dónde
Serie de Taylor	f(a) + f'(a)(x−a) + f''(a)(x−a)²/2! + …	§1
Seno	sen x = x − x³/6 + x⁵/120 − …	§1
Coseno	cos x = 1 − x²/2 + x⁴/24 − …	§1
Binomio	(1+x)^α = 1 + αx + α(α−1)x²/2 + …	§1
Logaritmo	ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − …; radio 1	§1, ej. 3
Factor de Lorentz	γ = 1 + β²/2 + 3β⁴/8 + …; radio 1	§5
Error de sen θ ≈ θ	θ²/6: 0,509 % a 10°, 1,00 % a 13,99°, 4,72 % a 30°	§2
Periodo del péndulo	T/T₀ = 1 + θ₀²/16 + 11θ₀⁴/3072 + 173θ₀⁶/737 280	ej. res. 1
Su error real	0,191 % a 10°, 1,74 % a 30°, 4,00 % a 45°, 18,0 % a 90°	§2
Periodo exacto	T = 4√(L/g)·K(sen²(θ₀/2))	ej. res. 1
Aproximación armónica	U ≈ U(x₀) + ½U''(x₀)(x−x₀)²; k = U''(x₀)	§3
Lennard-Jones	r₀ = 2^(1/6)σ; U(r₀) = −ε; k = 36·2^(2/3)ε/σ² = 57,15 ε/σ²	ej. res. 2
Argón sólido	k = 0,819 N/m; ω = 3,51 × 10¹² rad/s; ν = 5,59 × 10¹¹ Hz	ej. res. 2
Energía cinética	E_k = ½mv²(1 + 3β²/4 + …); 1 % de error en β = 0,1154	§4
Sólido de Einstein	C/3Nk = 1 − u²/12 + u⁴/240, u = θ_E/T	§4
Marea	Δg ≈ 2GMR/d³: el orden cero se cancela	ej. 2
Trampa	siempre radianes; con grados, θ₀²/16 se multiplica por 3283	callout

Adónde lleva esta ficha. Con esto ya puedes decidir, con un número delante, si una aproximación te sirve o no — que es una decisión distinta de saber hacerla. Lo que falta son los dos casos en que la serie de potencias no basta: cuando la variable no es pequeña sino grande, y hacen falta series asintóticas y el método del punto de silla; y cuando la función no se desarrolla en potencias sino en modos, que es la serie de Fourier de la ficha ST.1.

Para usarlo ya: Mecanario II.2 convierte el «todo mínimo es un muelle» de esta ficha en el mapa de la energía de cualquier sistema, y Mecanario I.5 enseña qué pasa cuando la linealización deja de valer: no una fórmula peor, sino caos.