Un filamento de bombilla a 2 800 K radia 3,49 megavatios por metro cuadrado, y sólo el 9,7 % de esa potencia sale como luz visible. El resto es calor. Ese reparto —cuánta energía sale a cada color cuando algo se calienta— es lo que la física de 1900 no sabía calcular sin obtener infinito, y de intentarlo salió la constante que define hoy el kilogramo.
La curva morada es la fórmula de Planck; la de rayas, la predicción clásica de Rayleigh-Jeans, que se sale del panel por arriba en cuanto la longitud de onda baja. Las cifras de abajo no están escritas a mano: el panel evalúa la curva en 720 puntos, la integra por trapecios y busca el máximo con una parábola. Luego compara con las dos leyes de libro para que veas si se ha equivocado.
A 5772 K el máximo está en 502 nm y el 46.5 % de la potencia cae en el visible — el reparto que tiene el Sol y con el que evolucionó el ojo. Fíjate en la curva de rayas: a la mitad de esa longitud de onda, la predicción clásica es 2068 veces la real, y sigue creciendo sin límite hacia la izquierda. Eso es la catástrofe ultravioleta, y no era un detalle fino.
Todo lo que tiene temperatura radia
No hace falta poner nada al rojo. Cualquier objeto por encima del cero absoluto emite radiación térmica, y la potencia por unidad de superficie sólo depende de su temperatura absoluta, elevada a la cuarta. Es la ley de Stefan-Boltzmann:
La cuarta potencia es brutal. Tu piel, a 33 °C (306 K), emite 497 W/m² si la tratamos como cuerpo negro perfecto. Una barra de hierro a 1 000 K emite 56,7 kW/m², 114 veces más, aunque la temperatura sólo se haya multiplicado por 3,3. Y la superficie del Sol, a 5 772 K, emite 62,9 MW/m². Entre tu piel y el Sol hay un factor 19 en temperatura y un factor 127 000 en potencia radiada.
Un cuerpo negro es el emisor ideal: absorbe todo lo que le llega y emite el máximo posible a cada temperatura. Lo notable —y esto es lo que hizo del problema el problema central de la física de finales del XIX— es que su espectro no depende del material. Un agujero pequeño practicado en una cavidad cerrada se comporta como uno con muy buena aproximación, y así se midió: hornos con un orificio, en el Physikalisch-Technische Reichsanstalt de Berlín, financiados para estandarizar el alumbrado.
Problema. Una persona desnuda, con 1,8 m² de piel a 33 °C, en una habitación cuyas paredes están a 20 °C. ¿Cuánta potencia neta pierde por radiación?
Solución. La piel emite σT⁴ hacia fuera y absorbe σT⁴ de las paredes; lo que cuenta es la diferencia. Con emisividad 0,98 (la piel humana es casi un cuerpo negro perfecto en el infrarrojo, sea cual sea su color):
Como no toda la superficie corporal radia al exterior —los brazos ven al tronco, las piernas se ven entre sí—, el área efectiva es un 80 % de la total, y la cifra realista baja a 112 W.
Resultado. Del orden de 100 W: la potencia de una bombilla antigua, y aproximadamente todo lo que produce tu metabolismo en reposo. Por eso una habitación a 20 °C se siente fría aunque el aire esté templado: lo que enfría no es el aire, son las paredes, que no te devuelven lo que les mandas. Y por eso una manta térmica de supervivencia —que es sólo una lámina reflectante— funciona.
El color dice la temperatura
El máximo de la curva se corre hacia el azul al calentarse, y lo hace de la forma más simple posible. Es la ley de desplazamiento de Wien:
Tu piel a 306 K tiene el máximo en 9,47 µm, infrarrojo lejano: por eso las cámaras térmicas trabajan en esa banda y por eso no brillas en la oscuridad. El filamento de una bombilla a 2 800 K lo tiene en 1 035 nm, ya en el infrarrojo cercano, con sólo la cola izquierda de la curva asomando al visible. Y el Sol, a 5 772 K, lo tiene en 502 nm, en pleno verde.
Conviene desactivar aquí un malentendido frecuente: que el Sol tenga el máximo en verde no lo hace verde. Emite con fuerza en todo el visible —el 46,5 % de su potencia cae entre 380 y 780 nm—, y una mezcla de todo el visible se ve blanca. El máximo de una curva ancha no es su color.
La curva que la física clásica no podía dar
Hasta aquí, dos leyes empíricas que se conocían desde 1879 y 1893. El problema era la forma completa de la curva. El razonamiento clásico era impecable: se cuentan los modos de vibración del campo electromagnético que caben en la cavidad, y a cada uno se le da la energía media que le corresponde en equilibrio térmico, kT, por el teorema de equipartición. El resultado es la ley de Rayleigh-Jeans:
Y funciona. A longitudes de onda largas es correcta: para el Sol, a 20 µm, se desvía sólo un 6,5 % de la medida. El desastre está al otro lado. Como los modos cortos son cada vez más numerosos y todos cobran lo mismo, la emitancia espectral crece sin límite al disminuir λ. Para el Sol, la predicción clásica es 29 veces la real en 502 nm, 2 100 veces en 251 nm y 930 000 veces en 151 nm. Integrada sobre todas las longitudes de onda, da energía infinita: cualquier horno vaciaría el universo instantáneamente.
Wien había propuesto en 1896 una ley que fallaba justo al revés: excelente en el ultravioleta —a 0,3 λmáx coincide con la realidad en cuatro cifras— y demasiado baja en el infrarrojo, donde a 10 λmáx se queda en el 39 % de lo que se mide. Dos fórmulas, cada una correcta en un extremo, y ninguna en medio. Enciende las dos casillas del panel de arriba y míralas cruzarse.
Problema. ¿Cuánto se equivoca la fórmula clásica en el ultravioleta cercano, a 200 nm, para un cuerpo negro a la temperatura del Sol?
Solución. El cociente entre la predicción clásica y la real depende sólo del parámetro adimensional x = hc/λkBT. A 200 nm y 5 772 K vale x = 12,46, y el cociente es
Resultado. Veinte mil veces. No es un error de calibración ni un factor 2 perdido: es un fallo de la teoría, y además crece exponencialmente al ir hacia el ultravioleta. Fíjate en la forma del cociente, porque contiene la respuesta: si en vez de (ex−1)/x hubiera simplemente 1, las dos leyes coincidirían. Todo el problema —y toda la mecánica cuántica— está en ese ex−1.
El acto de desesperación de Planck
El 7 de octubre de 1900, Heinrich Rubens visitó a Planck en su casa y le contó que sus medidas en el infrarrojo lejano no cuadraban con la ley de Wien. Esa misma noche Planck construyó, interpolando entre los dos límites, una fórmula que los reproducía ambos. El 19 de octubre la presentó sin deducción: era una conjetura afortunada. Dos meses después, el 14 de diciembre, presentó la deducción — y el precio que había tenido que pagar.
El precio era suponer que la energía de los osciladores de las paredes no puede tomar cualquier valor, sino sólo múltiplos enteros de un cuanto proporcional a la frecuencia:
Con eso, los modos de frecuencia alta dejan de cobrar kT: para excitar uno hace falta al menos hν, y si hν ≫ kT la probabilidad de que eso ocurra cae exponencialmente. Los modos ultravioletas quedan congelados, la curva baja, la integral converge y aparece el ex−1 del ejemplo anterior. La constante de Planck nace aquí, como el factor de proporcionalidad entre energía y frecuencia que hacía falta para que la fórmula ajustara.
Planck ajustó su fórmula a los datos de Berlín y publicó en 1901 h = 6,55 × 10⁻³⁴ J·s, un 1,15 % por debajo del valor actual. De paso, y como su deducción usaba también la constante de Boltzmann, obtuvo k = 1,346 × 10⁻²³ J/K (−2,5 %), y de ahí el número de Avogadro (+2,5 %) y la carga del electrón, 1,56 × 10⁻¹⁹ C, con un −2,6 % de error. Aquello fue lo más asombroso del trabajo: su carga del electrón, deducida del brillo de un horno, era mejor que la mejor medida directa de la época, y nadie le hizo caso durante años. Millikan la mediría bien en 1909.
La «catástrofe ultravioleta» no fue lo que empujó a Planck. Casi todos los libros cuentan que la divergencia de Rayleigh-Jeans obligó a inventar el cuanto. La cronología no encaja: el artículo de Rayleigh es de junio de 1900, sin la constante correcta, y Jeans no lo completó hasta 1905; el nombre catástrofe ultravioleta lo acuñó Ehrenfest en 1911, once años después de Planck. Planck venía de otro sitio: llevaba desde 1894 trabajando en la entropía de la radiación, buscando un fundamento absoluto para el segundo principio, y su cuanto salió de manipular una expresión entrópica, no de huir de un infinito. Él mismo llamó a la hipótesis «un acto de desesperación» y pasó los diez años siguientes intentando quitársela de encima. Contar la historia bien no le resta mérito a la física: se lo suma, porque enseña que los resultados grandes rara vez llegan por el camino que luego se dibuja en la pizarra.
Ejercicios
Un horno de cerámica trabaja a 1 250 °C. ¿A qué longitud de onda emite más, y cuánta potencia radia por metro cuadrado de abertura? ¿Se ve de algún color?
Solución
Primero, a kelvin: T = 1 250 + 273 = 1 523 K (meter grados Celsius en estas fórmulas es el error más común y más silencioso). Wien da λmáx = 2,898 × 10⁻³ / 1 523 = 1,90 µm, infrarrojo cercano. Stefan-Boltzmann da σT⁴ = 5,670 × 10⁻⁸ × 1 523⁴ = 305 kW/m².
¿Color? Sólo el 0,19 % de esa potencia cae en el visible, pero 0,19 % de 305 kW/m² siguen siendo 593 W/m², suficiente para verlo rojo intenso. La lección secundaria: una fracción minúscula de una potencia enorme sigue siendo mucho. En física, «despreciable» siempre es despreciable frente a algo, nunca en abstracto.
Un fabricante afirma que su bombilla incandescente «convierte el 95 % de la electricidad en luz». Con lo de este artículo, ¿por qué es imposible?
Solución
El filamento es prácticamente un cuerpo negro a 2 800 K, y ahí el reparto lo fija la curva de Planck, no el fabricante: el 9,7 % de la potencia radiada cae entre 380 y 780 nm y el 90,3 % restante sale en infrarrojo. Para llegar al 95 % habría que subir el filamento por encima de los 6 000 K, y el tungsteno funde a 3 695 K.
La segunda lección está en el «convierte»: el infrarrojo no es energía perdida, es energía radiada que no ves. Una incandescente es una estufa con un 10 % de efecto secundario luminoso, y eso —no una conspiración industrial— es lo que la retiró del mercado. Un LED blanco no es más eficiente por ser mejor cuerpo negro: no es un cuerpo negro, y por eso puede emitir sólo donde el ojo mira.
Mueve el panel a 306 K (botón «Piel»). La emitancia total sale del orden de 5 × 10² W/m² y la fracción visible aparece como 0,00 %. ¿Cuánto vale de verdad esa fracción, y qué te dice sobre la forma de la curva?
Solución
Del orden de 10⁻²⁰ % — un número que no cabe en dos decimales, y por eso el panel muestra 0,00. La curva de Planck no cae despacio hacia el ultravioleta: cae exponencialmente, como e−hc/λkT. A 306 K y 550 nm el exponente vale hc/λkBT = 85,4, y e−85,4 ≈ 10⁻³⁷.
Ésa es exactamente la razón de que tú no brilles y una estrella sí: no es que emitas «poca» luz visible, es que no emites ninguna en ningún sentido práctico. Y esa caída exponencial es, otra vez, la firma del cuanto: la física clásica predecía aquí una cola en 1/λ⁴, que a 550 nm habría dado una piel humana visiblemente luminosa.