Ajustar el brillo de un horno da 6,55 × 10⁻³⁴. Medir el voltaje que frena electrones arrancados de una placa de sodio da 6,57 × 10⁻³⁴. Buscar el corte de longitud de onda de un tubo de rayos X da lo mismo. Pesar un kilogramo con una balanza electromagnética da 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ con ocho cifras. Cuatro experimentos sin nada en común convergiendo en un número: eso, y no la elegancia de ninguna ecuación, es lo que convierte una hipótesis en física.
Cuatro caminos al mismo número
Uno: el ajuste del cuerpo negro. Planck ajustó su fórmula a las medidas de la cavidad de Berlín y publicó en 1901 h = 6,55 × 10⁻³⁴ J·s, un 1,15 % por debajo del valor de hoy. Es un ajuste de dos parámetros a una curva entera, y no involucra electrones por ninguna parte.
Dos: la pendiente del efecto fotoeléctrico. Millikan, 1916: h = 6,57 × 10⁻³⁴ J·s, un 0,85 % bajo. Aquí no hay curva que ajustar, sólo una recta de cinco puntos, y el número sale de un voltímetro.
Tres: el corte de los rayos X. Si se aceleran electrones con una tensión V y se estrellan contra un blanco, el fotón más energético que pueden producir es el que se lleva toda la energía del electrón. Eso fija una longitud de onda mínima abrupta en el espectro, el límite de Duane-Hunt (1915):
Es el efecto fotoeléctrico al revés, y da h con la misma facilidad. Ni horno, ni sodio, ni luz visible: electrones de decenas de kiloelectronvoltios y un cristal para medir longitudes de onda de picómetros.
Cuatro: la balanza de Kibble. Aquí no hay luz en absoluto. Se equilibra el peso de una masa contra la fuerza sobre una bobina, y se mide la corriente y la tensión con dos efectos cuánticos macroscópicos —el efecto Josephson y el efecto Hall cuántico— cuyas constantes contienen h. La balanza de Kibble compara así un kilogramo con la constante de Planck, y llegó a una incertidumbre relativa de 1,2 × 10⁻⁸ antes de 2019.
Problema. Un LED rojo emite a 630 nm y empieza a lucir a unos 1,9 V. Suponiendo que cada electrón que atraviesa la unión produce un fotón, estima h.
Solución. Si la energía eléctrica de un electrón se convierte íntegramente en un fotón, eV = hc/λ, y por tanto
Al revés, con la h buena, la tensión de umbral predicha es hc/eλ = 1 239,84/630 = 1,968 V.
Resultado. 6,40 × 10⁻³⁴ J·s, un 3,5 % bajo, con dos componentes que cuestan menos de un euro. Ahora la parte honesta, que casi nunca se cuenta cuando se propone esta práctica: el resultado sale bien por poco. Un diodo real empieza a emitir algo por debajo del umbral teórico, porque la energía térmica de los portadores ayuda —a 300 K, kBT = 25,9 meV— y porque «empieza a lucir» depende de lo oscura que esté la habitación. Con LED de varios colores y extrapolando bien, el método da h con un 5-10 % de error. Es un experimento excelente para entender la idea y un método mediocre para medir la constante: las dos cosas a la vez, y conviene decirlo.
Problema. Un equipo de radiodiagnóstico dental trabaja a 35 kV. ¿Cuál es la longitud de onda más corta que emite, y qué tamaño tiene comparada con un átomo?
Solución. El electrón llega al blanco con 35 keV, y en el mejor de los casos los entrega todos a un solo fotón:
Resultado. 35,4 pm: unas 15 000 veces más corto que la luz visible y del mismo orden que un átomo, cuyo radio de Bohr es 52,9 pm. Esas dos comparaciones explican los dos usos de los rayos X. Una longitud de onda del tamaño de la separación entre planos atómicos —unos cientos de picómetros— es justo la que hace falta para difractar en un cristal, y de ahí sale la cristalografía. Y un fotón de 35 keV lleva 2 570 veces la energía de ionización del hidrógeno, de modo que casi nada en la materia está en resonancia con él: la atraviesa porque su probabilidad de ser absorbido es pequeña — pequeña, no nula, y mayor en el hueso que en el músculo, que es exactamente lo que forma la radiografía. El límite de Duane-Hunt es, de paso, la forma más directa que existe de comprobar que el fotón se lleva toda la energía o nada.
Desde 2019, h no se mide: define el kilogramo
Durante 130 años, el kilogramo fue un cilindro de platino e iridio guardado en Sèvres. Un patrón material tiene un problema evidente: cambia. Las copias oficiales repartidas por el mundo se separaron del original en unas decenas de microgramos a lo largo del siglo XX, y como el original era la definición, formalmente lo que ocurría es que el universo entero engordaba.
El 20 de mayo de 2019 se invirtió la lógica. La constante de Planck pasó a valer, por definición y sin incertidumbre,
y el kilogramo se define ahora a partir de ella, junto con la velocidad de la luz y la frecuencia del cesio. Es el mismo movimiento que se hizo con el metro en 1983, cuando c pasó a ser exacta. Lo que antes era «medir h» es ahora «calibrar una balanza», y quien quiera un kilogramo se lo fabrica con una balanza de Kibble en su propio laboratorio.
Merece la pena detenerse en lo que eso significa. La constante que Planck introdujo en 1900 como un apaño para que una fórmula ajustara —y de la que él mismo intentó librarse durante una década— es hoy uno de los siete números sobre los que se levanta el sistema internacional de unidades. Se puede pesar con luz.
Por qué no ves la cuántica en la cocina
La razón por la que todo esto tardó tanto en descubrirse no es sutil: h es minúscula. Conviene medir cuánto.
Toma un péndulo de 1,00 m con una masa de 100 g oscilando 0,10 rad. Su energía es 4,91 × 10⁻³ J y su frecuencia angular 3,13 rad/s, de modo que el cuanto de energía correspondiente, ħω con la constante de Planck reducida, vale 3,30 × 10⁻³⁴ J. El número de cuantos es
Quince millones de cuatrillones. Pasar de n a n+1 cambia la energía del péndulo en una parte en 10³¹: diez billones de veces menos que la resolución del mejor reloj atómico, que anda por una parte en 10¹⁸. La escalera existe, pero sus escalones son tan bajos frente a la altura total que la rampa y la escalera son indistinguibles. Eso es el límite clásico, y no hace falta ninguna filosofía para enunciarlo.
El mismo cálculo explica dónde sí se nota. Un fotón de radio FM a 100 MHz lleva 4,1 × 10⁻⁷ eV, unas 63 000 veces menos que la energía térmica ambiente kBT = 25,9 meV: el grano es invisible, y una antena se describe perfectamente con ondas clásicas. Un fotón visible de 550 nm lleva 2,25 eV, 87 veces más que kBT. Ahí el grano es todo, y sin cuantos no hay fotosíntesis, ni visión, ni fotografía, ni paneles solares.
Lo que «cuántico» no significa. Un salto cuántico es, literalmente, el cambio más pequeño que un sistema puede dar: lo contrario de lo que sugiere el uso publicitario. No existe la «energía cuántica» como sustancia; existen cuantos de energía, que son porciones y se cuentan. Y no hay nada en el formalismo —ni una ecuación, ni un término— donde aparezca la conciencia de un observador: lo que la teoría llama «medir» es interactuar con un sistema de muchísimos grados de libertad, y ese sistema puede ser una placa fotográfica de 1900, un detector en un sótano o una roca. Cuando en el módulo I.5 se trate el problema de la medida se verá con detalle; el resumen adelantado es que es un problema técnico y abierto, no una puerta.
Y lo que esta teoría todavía no sabía hacer. Todo lo de este módulo es la vieja teoría cuántica: cuantización impuesta a mano. Predice el hidrógeno con cinco cifras y fracasa con el helio (54,4 eV frente a los 24,59 medidos), no da la intensidad de ninguna raya, no explica por qué unas transiciones ocurren y otras no, y no sirve para ninguna molécula. Entre 1913 y 1925 hubo doce años de reglas ad hoc que funcionaban a medias. La salida no fue afinar el modelo de Bohr: fue tirarlo entero y empezar por otro sitio.
Ejercicios
Un LED azul de 465 nm y otro rojo de 630 nm. ¿Qué tensiones de umbral predice la teoría? Si mides 2,9 V y 1,9 V, ¿qué h obtienes de cada uno y qué te dice la discrepancia?
Solución
Las predicciones son 1 239,84/465 = 2,666 V y 1 239,84/630 = 1,968 V. Invirtiendo con las tensiones medidas: del azul sale h = eVλ/c = 7,20 × 10⁻³⁴ (+8,7 %) y del rojo 6,39 × 10⁻³⁴ (−3,5 %).
La discrepancia entre ambos es la información útil: si el método fuera limpio, los dos darían el mismo número. Que uno se pase y el otro se quede corto indica un error sistemático que depende del color, y de hecho lo hay: la caída de tensión en la unión y en los contactos, y la definición arbitraria de «empieza a lucir». La forma correcta de usar varios LED no es promediar sus h, sino representar V frente a 1/λ y quedarse con la pendiente — igual que en el fotoeléctrico, donde lo que mide h es la pendiente y no ningún punto suelto.
Alguien afirma que un teléfono móvil «altera las moléculas del cuerpo» con sus microondas de 2,4 GHz. Con lo de este módulo, ¿qué se puede decir con números?
Solución
Un cuanto de 2,4 GHz lleva E = hν = 1,59 × 10⁻²⁴ J = 9,9 × 10⁻⁶ eV. Romper un enlace covalente típico cuesta del orden de 4 eV: cuatrocientas mil veces más. Y por el artículo 02 sabemos que los cuantos no se suman en un mismo electrón a intensidades normales, igual que mil fotones rojos no arrancan un electrón del sodio. La radiación de un móvil no puede romper enlaces, y no es una cuestión de potencia sino de tamaño del cuanto: por eso se llama radiación no ionizante. El umbral de ionización empieza en el ultravioleta, hacia 3-10 eV.
La segunda lección, y la que hace honesto el argumento: esto descarta un mecanismo concreto —la rotura de enlaces—, no «cualquier efecto». Las microondas sí calientan, que es exactamente para lo que sirve un microondas de cocina, y el calentamiento local de tejidos es un efecto real, medido y regulado con límites de absorción específica. Desmontar una afirmación con física es decir qué queda descartado y por qué, no cerrar el tema con un gesto.
Repite el cálculo del péndulo con un objeto de laboratorio: una mota de polvo de 10⁻¹⁵ kg vibrando a 1 kHz con una amplitud de 1 nm. ¿Cuántos cuantos hay? ¿Y con un átomo de una molécula, a 10¹⁴ Hz y amplitud de 10 pm?
Solución
Para el oscilador, E = ½mω²A². La mota: ω = 2π × 10³ = 6,28 × 10³ rad/s, E = ½ × 10⁻¹⁵ × (6,28 × 10³)² × (10⁻⁹)² = 1,97 × 10⁻²⁶ J, y ħω = 6,63 × 10⁻³¹ J, de donde n ≈ 3 × 10⁴.
El átomo en la molécula: ω = 6,28 × 10¹⁴ rad/s, m ≈ 2 × 10⁻²⁶ kg, E = ½ × 2 × 10⁻²⁶ × (6,28 × 10¹⁴)² × (10⁻¹¹)² = 3,9 × 10⁻¹⁹ J y ħω = 6,6 × 10⁻²⁰ J, de donde n ≈ 6.
Ahí está la frontera, y no es una cuestión de tamaño sino de acción: cuando la energía dividida por la frecuencia se acerca a h, el escalón se nota. La mota de polvo, con 30 000 cuantos, ya es casi clásica; el enlace molecular, con seis, es irreductiblemente cuántico — y por eso su capacidad calorífica no obedece la equipartición y hay que cuantizarla, que es justo lo que Einstein hizo en 1907 con el calor específico de los sólidos.
Todo lo que este módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada. Si te falta aquí un dato que el módulo usó, la tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Cuanto de radiación | E = hν = hc/λ; a 550 nm, 2,25 eV | art. 01 |
| Constante de Planck | h = 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s (exacta desde 2019) | art. 01, 04 |
| Constante reducida | ħ = h/2π = 1,054 572 × 10⁻³⁴ J·s | art. 04 |
| La combinación que se usa siempre | hc = 1 239,84 eV·nm | art. 02 |
| Ley de Stefan-Boltzmann | M = σT⁴; σ = 5,670 × 10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴ | art. 01 |
| Ley de Wien | λmáx = b/T; b = 2,898 × 10⁻³ m·K; Sol → 502 nm | art. 01 |
| Fallo clásico (Rayleigh-Jeans) | Mλ = 2πckBT/λ⁴; ×2,1 × 10⁴ a 200 nm y 5 772 K | art. 01, ej. 2 |
| Fracción visible de un cuerpo negro | 9,7 % a 2 800 K; 46,5 % a 5 772 K | art. 01, interactivo |
| Ecuación fotoeléctrica | Kmáx = hν − W; pendiente h/e = 4,136 × 10⁻¹⁵ V·s | art. 02 |
| Funciones de trabajo | Cs 2,14 · Na 2,28 · Zn 4,33 · Cu 4,70 eV | art. 02 |
| Longitud de onda umbral | λ₀ = 1 239,84/W (nm, eV); Na → 544 nm | art. 02 |
| Efecto Compton | Δλ = 2,426 pm × (1 − cos θ) | art. 02, callout |
| Fórmula de Rydberg | 1/λ = RH(1/m² − 1/n²); RH = 1,096 776 × 10⁷ m⁻¹ | art. 03 |
| Serie de Balmer (aire) | 656,28 · 486,13 · 434,05 · 410,17 nm | art. 03 |
| Niveles de Bohr | En = −13,606 eV/n²; ionización real 13,598 eV | art. 03 |
| Radio de Bohr | a₀ = 52,9 pm; tamaño ~ n²a₀ (n = 50 → 132 nm) | art. 03 |
| Velocidad del electrón n = 1 | v₁ = αc = 2 188 km/s = 0,730 % de c | art. 03, ej. 2 |
| Colapso clásico del átomo | t = a₀³/4re²c = 1,56 × 10⁻¹¹ s | art. 03 |
| Franck-Hertz | Caídas cada 4,9 V en Hg; raya en 253,7 nm = 4,887 eV | art. 03 |
| Límite de Duane-Hunt | λmín = hc/eV; 35 kV → 35,4 pm | art. 04 |
| Aire frente a vacío | λaire = λvacío/1,000 277 | art. 03, ej. 1 |
| Corrección de masa reducida | ×1/(1 + me/mp) = 0,999 455 | art. 03, ej. 2 |
| Escala térmica de referencia | kBT = 25,9 meV a 300 K | art. 04 |
| Límite clásico | n = E/ħω; péndulo de 1 m → 1,5 × 10³¹ cuantos | art. 04 |
| Dónde falla la vieja teoría | He: predice 54,4 eV, se miden 24,59 eV | art. 03, 04 |
Fin del módulo I.1 · Qué llevas y qué falta. Con esto ya sabes que la energía de la radiación viene en cuantos de tamaño hν, que los átomos tienen niveles discretos, y que h vale 6,626 × 10⁻³⁴ J·s porque cuatro experimentos incompatibles entre sí lo dicen. También sabes lo que todavía no se sostiene: por qué demonios existen esos niveles. Bohr los postuló, y postular no es explicar.
Lo que falta es la idea que le da la vuelta al problema. En 1924 un estudiante de doctorado llamado Louis de Broglie propuso que si una onda puede comportarse como partícula, una partícula debería comportarse como onda — y que la condición de Bohr sobre el momento angular no es más que la exigencia de que quepa un número entero de longitudes de onda alrededor de la órbita. El módulo I.2 toma esa idea, le pone números (la longitud de onda de un electrón es de 0,33 nm, la de una pelota de béisbol de 10⁻³⁴ m) y la lleva al experimento que la confirma y que sigue siendo el más incómodo de la física: la doble rendija, hecha de electrón en electrón. Con ella, los niveles del átomo dejan de ser un postulado y pasan a ser lo que le pasa a cualquier onda encerrada en una caja.