Vierte mil bolas de rodamiento en un cubo, agítalo y mide: ocuparán en torno al 64 % del volumen. Colócalas a mano, una a una, en la disposición óptima, y llegarás al 74,05 % — ni un décimo más, porque Thomas Hales demostró en 1998 que ése es el máximo para esferas iguales. Diez puntos porcentuales separan el desorden del orden perfecto, y ésa es toda la ganancia que un cristal de un solo elemento puede obtener por colocarse bien. Este artículo calcula ese 74,05 % en vez de citarlo, enseña por qué hay dos maneras distintas de conseguirlo, y después se ocupa de lo que pasa cuando hay dos tamaños de esfera — que es cuando la geometría deja de ser un ejercicio y empieza a decidir qué estructura tiene la sal.
Las dos estructuras compactas apilan exactamente las mismas capas y ocupan exactamente el mismo 74,05 % del espacio. La única diferencia está en la tercera capa: en la hexagonal vuelve a colocarse encima de la primera; en la cúbica se va a los huecos que quedaban sin usar. Mira la planta: en ABAB la tercera capa tapa a la primera y sólo se ven dos juegos de círculos; en ABCABC se ven tres.
Planta. Círculos grandes: capa A. Círculos medianos: capa B, en los valles de A. Puntos llenos: la tercera capa. Están centrados en los círculos grandes — la tercera capa repite la primera.
Alzado, con la tercera capa resaltada. Secuencia: A B A B A B.
Con c/a = 1.6330, el ideal √(8/3), los doce vecinos están todos a la misma distancia a y el empaquetamiento vale 74.05 %: la misma cifra que la cúbica centrada en las caras, hasta la cuarta decimal. Mueve el mando y mira lo que pasa — la coordinación se parte en 6 + 6 y el empaquetamiento sólo puede bajar.
Empaquetamiento = 2·(4/3)πr³ / [(√3/2)a²c], con r el radio de contacto. Cocientes c/a a 300 K (cobalto hexagonal, estable por debajo de 422 °C).
La fracción de empaquetamiento, calculada
La fracción de empaquetamiento es el cociente entre el volumen que ocupan los átomos, tratados como esferas rígidas que se tocan, y el volumen de la celda. El cálculo tiene siempre los mismos tres pasos: contar los átomos de la celda, averiguar por dónde se tocan para relacionar el radio con el parámetro de red, y dividir.
El paso que importa es el segundo, y cambia con la estructura:
- Cúbica simple: los átomos se tocan a lo largo de la arista, . Un átomo por celda: .
- Centrada en el cuerpo: se tocan a lo largo de la diagonal del cubo, que mide y contiene cuatro radios: . Dos átomos: .
- Centrada en las caras: se tocan a lo largo de la diagonal de una cara, . Cuatro átomos: .
- Del diamante: se tocan a lo largo de un enlace, que va del origen a (¼,¼,¼) y mide . Ocho átomos: .
Elegir mal la diagonal es el error clásico y se paga caro: usar la del cubo donde iba la de la cara cambia el radio en un factor y la fracción, en 1,84. Es el tipo de fallo que produce una cifra perfectamente creíble.
El mismo 74 % por dos caminos que no se parecen
Hay una manera de mirar el empaquetamiento compacto que hace evidente por qué hay dos estructuras y no una. Empieza por una sola capa de esferas colocadas lo más apretadas posible: eso es una red triangular, y cada esfera toca a seis. Entre ellas quedan valles, y hay el doble de valles que de esferas, repartidos en dos familias que se alternan y que llamamos B y C. La segunda capa cae en una de las dos familias — da igual cuál, sale lo mismo—. La tercera capa es donde se decide todo:
- si vuelve a los valles ocupados por la primera, la secuencia es ABAB: hexagonal compacto;
- si va a los valles que quedaban libres, la secuencia es ABCABC: cúbica centrada en las caras, cuyos planos (111) son exactamente estas capas.
Y ahora la afirmación fuerte: las dos ocupan el 74,05 % y las dos dan doce vecinos. No es una coincidencia numérica, es que el empaquetamiento sólo depende de cómo se tocan las esferas, y en ambos casos se tocan igual — seis en el propio plano, tres arriba y tres abajo—. Lo que cambia es la orientación del casquete de arriba respecto del de abajo: en la cúbica los doce vecinos forman un cuboctaedro y en la hexagonal, ese mismo cuboctaedro con una de sus mitades girada 60°. El panel de arriba enseña las dos secuencias en planta y en alzado.
Problema. Deduce el cociente que debe tener una estructura hexagonal para ser realmente compacta, y comprueba que con él su fracción de empaquetamiento coincide con la de la cúbica centrada en las caras.
Solución. Un átomo de la capa B se apoya en tres de la capa A, y los cuatro forman un tetraedro regular de arista . El centro del triángulo de la base está a de cada vértice, así que la altura del tetraedro es
Esa altura es la separación entre capas, y el periodo contiene dos capas: , de donde
La celda hexagonal primitiva tiene volumen y contiene dos átomos de radio :
Resultado. 74,048 % por los dos caminos, con las cinco cifras iguales — y el parámetro se ha cancelado, como tenía que pasar en una cantidad adimensional. Pero lo que hay que llevarse es el 1,63299: es una predicción, y se puede contrastar. Ningún metal hexagonal la cumple exactamente. El magnesio da 1,6236 (un 0,6 % por debajo), el titanio 1,5873 (−2,8 %), el berilio 1,5681 (−4,0 %), el cinc 1,8563 (+13,7 %) y el cadmio 1,8857 (+15,5 %). Los tres primeros siguen siendo compactos a efectos prácticos, y el empaquetamiento lo dice: recalculado con su real, el magnesio da 73,62 % y el titanio, 72,02 % — apartarse un 3 % del ideal cuesta dos puntos de empaquetamiento y ni un vecino. Los dos últimos, en cambio, no son compactos en absoluto: sus capas están tan separadas que cada átomo sólo toca a los seis de su propio plano, y su empaquetamiento real cae al 65,14 % y al 64,12 %. Que se sigan llamando «hexagonales compactos» es una convención de la nomenclatura, no un hecho sobre el cinc.
Coordinación: dónde se separan de verdad las dos compactas
Si las dos tienen doce vecinos a la misma distancia, ¿en qué se distinguen midiendo? Hay que ir a las capas siguientes, y ahí el resultado es limpio. Contando vecinos por distancia, en unidades de la distancia al primer vecino:
| Capa de vecinos | Cúbica centrada en las caras | Hexagonal compacta ideal |
|---|---|---|
| 1,000 | 12 | 12 |
| 1,414 | 6 | 6 |
| 1,633 | — | 2 |
| 1,732 | 24 | 18 |
| 1,915 | — | 12 |
| 2,000 | 12 | 6 |
Las dos primeras capas son idénticas y la tercera ya no. La hexagonal tiene dos vecinos a 1,633 —los que están justo encima y justo debajo, a distancia — que la cúbica no tiene, porque en ABCABC ninguna capa se repite hasta la cuarta. A partir de ahí las dos listas divergen para siempre. Es la razón de que difracción y espectroscopía puedan distinguirlas sin ambigüedad aunque su primera capa de coordinación sea indistinguible.
Y la consecuencia energética es la que explica media metalurgia: como las dos estructuras sólo difieren a partir de la tercera capa de vecinos, y la energía de cohesión la ponen sobre todo las dos primeras, elegir entre ABAB y ABCABC cuesta poquísimo. Se puede poner número a ese «poquísimo» con la energía de una falta de apilamiento, que es el coste de que una sola capa se equivoque de valle: en el cobre son 45 mJ/m², que repartidos entre los 17,67 átomos/nm² del plano (111) dan 15,9 meV por átomo, un 0,46 % de sus 3,49 eV de cohesión. En la plata son 9,9 meV y en el aluminio, 73,6. De ahí que las faltas de apilamiento sean defectos corrientes, que el cobalto cambie de estructura a 422 °C sin apenas gastar energía, y que endurecer un acero inoxidable austenítico consista, en buena parte, en aprovechar que sus dislocaciones se disocian porque su energía de falta es baja.
Los huecos, y cuánto miden
Que quede el 26 % del volumen vacío no significa que quepa cualquier cosa: el hueco está repartido en bolsas pequeñas y de dos formas. En una red cúbica centrada en las caras de esferas de radio :
- El hueco octaédrico está rodeado por seis esferas en los vértices de un octaedro. Hay uno en el centro del cubo y uno en el punto medio de cada arista: por celda, es decir uno por átomo.
- El hueco tetraédrico está rodeado por cuatro esferas. Hay uno en el centro de cada octante del cubo: 8 por celda, dos por átomo.
Sus tamaños salen de la geometría en dos líneas. El octaédrico del centro del cubo está a de los seis átomos de las caras, así que admite una esfera de radio ; con ,
y la misma cuenta con el centro de un octante da .
Falta un tercer hueco, que no es de una red compacta pero hace falta para cerrar la escala: el hueco cúbico del centro de una celda cúbica simple. Ahí las esferas grandes se tocan a lo largo de la arista, , y la pequeña toca a los ocho vértices a lo largo de la diagonal del cubo, que mide :
Los tres números van a mandar en todo lo que viene después: 0,225, 0,414 y 0,732 son las tres fronteras que deciden qué estructura adopta un compuesto iónico, y cada una es el cociente al que el ion pequeño deja de bailar dentro de su hueco y empieza a separar a los grandes.
Problema. El módulo I.2 dio ya la tabla del hierro y su hueco octaédrico —0,192 Å en la ferrita y 0,534 Å en la austenita— como un dato de entrada. Aquí hay que deducirla, y sobre todo contestar lo que allí quedó sin contestar: en la ferrita el hueco tetraédrico es mayor que el octaédrico, y el carbono se mete igualmente en el octaédrico. Calcula los tres radios —octaédrico de la austenita ( Å a ~1000 °C, que es donde esa fase existe), y octaédrico y tetraédrico de la ferrita ( Å a 300 K)— y explica la elección.
Solución. En la austenita, Å y el hueco octaédrico admite
En la ferrita, Å. El hueco octaédrico está en el punto medio de una arista, con dos vecinos a y cuatro mucho más lejos, a ; lo que cabe lo fijan los dos cercanos:
El tetraédrico está en (½, ¼, 0) y sus cuatro vecinos —dos vértices y dos centros de cubo— están todos a la misma distancia , así que
1,88 veces el octaédrico. Y sin embargo el carbono no lo usa.
Resultado. El tamaño del hueco no es lo que decide: lo que decide es lo que cuesta agrandarlo. El carbono mide 0,77 Å y no cabe en ninguno de los dos, así que en los dos hay que empujar; la diferencia está en a cuántos vecinos y en qué direcciones. En el hueco octaédrico de la ferrita los dos vecinos que estorban están alineados, y abrirlo es estirar la red a lo largo de un solo eje — lo que produce, precisamente, la martensita, una ferrita con un eje más largo que los otros dos. En el tetraédrico habría que apartar cuatro átomos en cuatro direcciones a la vez, y eso cuesta mucho más aunque el agujero de partida sea casi el doble de grande. El módulo I.2 podía enseñar la tabla; sólo con la geometría de este artículo se puede decir por qué el carbono elige el hueco pequeño, y de ahí sale la forma tetragonal de la martensita, que es la razón de que un acero templado sea duro.
Un aviso de método, y no es menor: los dos hierros están medidos a temperaturas distintas —la ferrita a 300 K, la austenita a ~1000 °C— y compararlos así mezcla dos estados. A 912 °C, que es donde de verdad coexisten, el α-Fe tiene Å, luego Å y Å: el hueco de la austenita es 2,75 veces el de la ferrita, no 2,78, y el sobrante que hay que acomodar pasa de 0,5759 Å a 0,2355 Å, un factor 2,45. La corrección es pequeña, pero la costumbre de decir a qué temperatura está cada número es lo que impide que un día no lo sea.
Con eso queda cerrado el ciclo térmico del acero que el módulo I.2 describió y no dedujo: se calienta por encima de 912 °C para tener austenita y huecos de 0,534 Å en los que el carbono cabe casi, se enfría de golpe para que no le dé tiempo a salirse, y el hierro vuelve a la estructura centrada en el cuerpo con un carbono metido en un hueco de 0,192 Å que sólo puede alojarlo estirándose. Todo el temple es una consecuencia de que 0,5345 no es 0,1920 — y el factor cien de solubilidad que el módulo I.2 daba medido (2,04 % en masa a 1146 °C contra 0,02 % a 727 °C) es la lectura termodinámica de esa misma diferencia geométrica.
Las cuatro estructuras iónicas, y la regla que las ordena
Un compuesto iónico es una red compacta del ion grande —casi siempre el anión— con el ion pequeño metido en los huecos. Cuál de los dos tipos de hueco se usa, y cuántos, es lo que distingue una estructura de otra:
| Estructura | Red y base | Coordinación | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Del cloruro de sodio | fcc de Cl⁻ + todos los huecos octaédricos | 6 : 6 | NaCl, MgO, LiF |
| Del cloruro de cesio | cúbica simple de Cl⁻ + el hueco cúbico central | 8 : 8 | CsCl, CsBr, CuZn ordenado |
| De la blenda | fcc de S²⁻ + la mitad de los tetraédricos | 4 : 4 | ZnS, GaAs, SiC |
| De la fluorita | fcc de Ca²⁺ + todos los tetraédricos | 8 : 4 | CaF₂, ZrO₂, UO₂ |
La estequiometría sale sola del recuento, y es la mejor comprobación de que se ha entendido: cuatro aniones por celda y cuatro huecos octaédricos dan ; cuatro cationes y ocho huecos tetraédricos dan ; y llenar sólo la mitad de los tetraédricos da . Que la fluorita tenga coordinación 8 para el calcio y 4 para el flúor no es una rareza: es aritmética de estequiometría, porque si hay el doble de flúor cada flúor tiene que tener la mitad de vecinos.
¿Y qué decide cuál? La regla de los radios, que es la consecuencia directa de los dos números del apartado anterior. Un catión pequeño metido en un hueco grande «baila» y la estructura se estabiliza pasando a un hueco menor; la frontera está donde el catión toca exactamente a sus vecinos, es decir en los cocientes críticos que ya hemos calculado:
| Coordinación | Estructura | Ejemplo y su cociente | |
|---|---|---|---|
| 0,225 – 0,414 | 4, tetraédrica | blenda | ZnS: 0,60/1,84 = 0,326 |
| 0,414 – 0,732 | 6, octaédrica | del NaCl | NaCl: 1,02/1,81 = 0,564; MgO: 0,514 |
| 0,732 – 1,000 | 8, cúbica | del CsCl | CsCl: 1,74/1,81 = 0,961 |
Y funciona: los tres ejemplos caen en la casilla que les corresponde, y la fluorita, con Ca²⁺/F⁻ = 1,12/1,31 = 0,855, predice coordinación 8 para el calcio, que es la que tiene. Las densidades calculadas desde estas estructuras y sus parámetros de red confirman el recuento en los cinco casos: NaCl 2,1634 frente a 2,165 medidos; CsCl 3,9887 frente a 3,99; blenda 4,0891 frente a 4,09; fluorita 3,1814 frente a 3,18; MgO 3,5833 frente a 3,58. Ninguno se sale del 0,1 %.
«Las estructuras compactas son las más densas posibles»: sólo si todas las esferas son iguales. El teorema de Hales dice exactamente eso —74,05 % es el máximo para esferas idénticas— y en cuanto hay dos tamaños se supera sin dificultad. Toma una red cúbica centrada en las caras de esferas de radio y mete en sus cuatro huecos octaédricos esferas de radio : el empaquetamiento sube a 79,31 %. Llena además los ocho tetraédricos con esferas de y llegas al 80,99 %. Y no hay ninguna razón para parar ahí: los huecos que quedan admiten esferas todavía menores, y la sucesión no tiene un máximo conocido. La afirmación correcta es la de Hales, con su hipótesis puesta.
En la práctica los cristales iónicos reales se quedan bastante por debajo de ese techo, y conviene saber por qué: la estequiometría no permite elegir cuántos huecos llenar —el NaCl tiene que llenar todos los octaédricos y ninguno más, porque hay tantos sodios como cloros— y los tamaños vienen dados por la química, no por la geometría. Calculando con radios iónicos reales: NaCl 65,3 %, CsCl 66,9 %, MgO 69,9 %, fluorita 60,7 %. Ninguno llega al 74 % de un metal.
Y el límite honesto de la regla de los radios: falla, y no poco. Su hipótesis —iones esféricos, rígidos e incompresibles— es falsa, y el problema es peor de lo que parece porque los radios iónicos se obtuvieron, en parte, de las estructuras que la regla pretende predecir. Un ejemplo limpio: el óxido de berilio tiene , que predice coordinación 3, y cristaliza con coordinación 4. La regla acierta la mayoría de las veces, y sus fallos no están repartidos al azar; la hoja de problemas la somete a un examen cuantitativo sobre doce haluros alcalinos y pregunta, precisamente, en qué dirección se equivoca. Úsala como lo que es —una primera aproximación que ordena las ideas— y no como una ley.
Ejercicios
El paladio es cúbico centrado en las caras con Å y absorbe hidrógeno hasta formar PdH, con el hidrógeno en los huecos octaédricos. (a) Calcula el radio del hueco octaédrico. (b) ¿Cuántos huecos octaédricos hay por centímetro cúbico? (c) Con esa cifra, ¿cuántos litros de hidrógeno en condiciones normales absorbería un centímetro cúbico de paladio si llenara todos los huecos? Compara con lo que se mide, unos 900 volúmenes en las mismas condiciones normales — 0 °C y 1 atm.
Solución
(a) Å y Å. (b) Hay cuatro por celda: cm⁻³ — exactamente tantos como átomos de paladio. (c) Un mol de gas ideal ocupa 22,414 L en condiciones normales, y el hidrógeno es diatómico, así que 6,79 × 10²² átomos de H son 3,39 × 10²² moléculas, o sea mol y 1,264 L. Es decir, 1264 volúmenes de gas por volumen de metal.
La medida, unos 900 volúmenes en condiciones normales, corresponde a PdH₀,₇ —que con este cálculo daría 885—: el paladio no llena todos sus huecos en esas condiciones, y hacen falta presión y frío para acercarse a PdH. El cálculo geométrico da el techo y el experimento dice dónde se para; la diferencia es termodinámica, no geometría. Y ojo con el estado de referencia, que es donde se cuela el error: si los «900 volúmenes» se dieran a 25 °C, el volumen molar sería 24,45 L y el mismo PdH₀,₇ daría 965, no 885. Comparar dos volúmenes de gas medidos en estados distintos es comparar dos cosas que no son la misma.
La segunda lección es sobre el radio: 0,5698 Å es menor que cualquier radio razonable del hidrógeno atómico, y sin embargo el hidrógeno entra, hasta uno por cada paladio, hinchando la red un 3,5 % en parámetro. Los huecos de una red no son cajas rígidas — el número que sale de la geometría de esferas duras dice quién entra fácil y quién entra a la fuerza, no quién entra y quién no.
El cinc es hexagonal con Å y Å. (a) Calcula su cociente y su fracción de empaquetamiento real. (b) ¿A qué distancia están sus seis vecinos del propio plano y sus seis vecinos de las capas contiguas? (c) Calcula su densidad y compárala con los 7,14 g/cm³ medidos ( g/mol). (d) ¿Cuál es entonces su verdadero número de coordinación?
Solución
(a) , un 13,7 % por encima del ideal 1,63299. Al estar por encima del ideal, el contacto lo marcan los vecinos del propio plano y Å; con dos átomos en un volumen ų, la fracción es 65,14 %. (b) Los del plano, a Å; los de fuera, a Å, un 9,3 % más lejos. (c) g/cm³ frente a 7,14: 0,06 %. (d) Seis, no doce. Los otros seis están claramente más lejos.
La segunda lección: la densidad calculada cuadra perfectamente aunque el empaquetamiento sea un 12 % menor que el nominal, porque la densidad no sabe nada de radios ni de contactos — sólo cuenta átomos en un volumen. Empaquetamiento y densidad son dos cosas distintas, y confundirlas lleva a esperar que un cristal «poco compacto» sea ligero. El cinc, con un 65 % de empaquetamiento, es más denso que el titanio, que tiene un 72 %.
Comprueba con la regla de los radios las cuatro estructuras del artículo, y después aplícala a un caso nuevo: el óxido de circonio ZrO₂, con Å en coordinación 8 y Å en coordinación 4. ¿Qué coordinación predice la regla para el circonio? ¿Es compatible con la estequiometría ZrO₂?
Solución
, que cae en la banda 0,414–0,732 y predice coordinación 6. Pero la estequiometría no lo permite: con el doble de oxígenos que de circonios, si el circonio tuviera 6 vecinos el oxígeno tendría 3, y la única estructura corriente con coordinación 8 : 4 es la de la fluorita. El óxido de circonio cristaliza, en efecto, en la estructura de la fluorita por encima de 2370 °C, con coordinación 8 : 4 — es decir, con la coordinación que la regla no predice.
La segunda lección, que es un aviso de método: la regla de los radios compite con otras dos restricciones —la estequiometría y la naturaleza del enlace— y pierde cuando compite. En el ZrO₂ además hay una pista experimental preciosa: a temperatura ambiente la fase estable no es cúbica sino monoclínica, con el circonio coordinado a 7, que no es ninguna de las coordinaciones «permitidas» por el modelo de esferas rígidas. Estabilizar la fase cúbica a temperatura ambiente exige dopar con itrio, y eso es lo que se vende como circonita, la imitación del diamante. Las excepciones de una regla suelen ser el sitio donde está la ingeniería.
Demuestra que en una red cúbica centrada en las caras hay exactamente cuatro huecos octaédricos y ocho tetraédricos por celda convencional, diciendo dónde está cada uno. Después usa el recuento para deducir la fórmula química de (a) una estructura del tipo del NaCl y (b) la fluorita. (c) Pasa a la blenda, que llena la mitad de los tetraédricos: comprueba el recuento y pon después a prueba el modelo iónico calculando la distancia Zn–S desde Å —los dos iones están en los extremos de un cuarto de diagonal del cubo— y comparándola con la suma de radios . Y para cerrar: (d) calcula la fracción de empaquetamiento de una red compacta con los ocho huecos tetraédricos llenos del tamaño justo —esferas grandes de radio en una red centrada en las caras y pequeñas de — y compárala con el 74,05 % de un metal y con el 60,7 % de la fluorita real.
Solución
Octaédricos: uno en el centro del cubo (entero, rodeado por los seis átomos de las caras) y uno en el punto medio de cada arista (12 aristas, cada punto compartido por cuatro cubos): . Tetraédricos: uno en el centro de cada uno de los ocho octantes del cubo, en (¼,¼,¼) y sus equivalentes, todos interiores: 8. Con cuatro átomos por celda, eso es un hueco octaédrico y dos tetraédricos por átomo.
(a) Cuatro Cl⁻ y sus cuatro huecos octaédricos llenos de Na⁺: . (b) Cuatro Ca²⁺ y sus ocho huecos tetraédricos llenos de F⁻: .
(c) Cuatro S²⁻ y cuatro de los ocho tetraédricos ocupados por Zn²⁺: . El hueco tetraédrico está en (¼,¼,¼), así que la distancia Zn–S es un cuarto de la diagonal del cubo, Å. La suma de radios iónicos vale 0,60 + 1,84 = 2,44 Å: el enlace real es un 4,0 % más corto de lo que predice el modelo de esferas iónicas que se tocan. No es un error de medida — es la firma del enlace covalente, y por eso la blenda comparte estructura con el diamante y el arseniuro de galio y no con la sal. Nótese que la densidad, en cambio, sale clavada (4,0891 frente a 4,09 medidos): otra vez, la densidad audita el recuento y no el modelo de enlace.
(d) Con , las cuatro grandes aportan el 74,048 % de siempre y las ocho pequeñas añaden : en total 75,73 %. Ya está por encima del máximo de Hales, y sólo se han usado los huecos tetraédricos; el callout de arriba llega al 80,99 % usando también los octaédricos. Lo que este 75,73 % no es, y conviene decirlo, es «una fluorita idealizada»: en el CaF₂ real el ion que ocupa los tetraédricos es el F⁻, de 1,31 Å, y el de la red compacta es el Ca²⁺, de 1,12 Å, de modo que el cociente real vale — cinco veces el 0,2247 que cabría en el hueco. El flúor no cabe en un hueco tetraédrico de una red de calcios: es la red la que se abre para alojarlo, y de ahí su 60,7 %. Los dos números miden cosas distintas, y el cálculo demuestra sólo el punto que tenía que demostrar: el 74,05 % no es un techo del universo, es un techo de las esferas iguales.
La segunda lección: el recuento de huecos es una restricción estequiométrica, no una descripción. Una vez elegida la red compacta y el tipo de hueco, la fórmula química ya no es libre — y al revés, una fórmula MX₂ obliga a llenar huecos que sean el doble de numerosos que los átomos de la red, lo que descarta de entrada la coordinación octaédrica. Ese razonamiento, hecho antes de mirar ningún radio, elimina la mitad de las posibilidades y es el que hay que hacer primero. Y funciona igual con los papeles cambiados: la antifluorita del óxido de litio es esta misma cuenta con la red compacta hecha de aniones —cuatro O²⁻ con los ocho tetraédricos llenos de Li⁺, —, y el recuento no distingue quién es catión y quién anión porque es geometría, no química.
Todo lo que este módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Cada
fila se ha recalculado desde los datos con
scripts/verificar-ii1.py, no copiado del texto. La fila de
constantes y datos trae todo lo que el módulo y la hoja de problemas
necesitan: si para resolver un problema hay que volver al artículo a buscar
un parámetro de red o un radio iónico, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Red de Bravais | R = n₁a₁ + n₂a₂ + n₃a₃; entorno idéntico desde todo punto | art. 01 |
| Cristal | red de Bravais + base; la base es lo que cuelga de cada punto | art. 01 |
| Volumen de la celda primitiva | V = |a₁·(a₂×a₃)|, invariante; fcc a³/4 = 11,809 ų (Cu) | art. 01, ej. 1 |
| Cambio de vectores primitivos | legítimo si la matriz entera tiene |det| = 1; con |det| = n se pierden (1 − 1/n) de los puntos | art. 01 |
| Bases con más de un átomo | diamante y blenda 2 · NaCl 2 · CsCl 2 · hcp 2 · grafeno 2 · perovskita 5 | art. 01 |
| Grafeno | red triangular a = √3·d(C–C) = 2,4595 Å; 3,818 × 10¹⁵ át./cm²; 0,7614 mg/m²; 2627 m²/g | art. 01, ej. 2 |
| Celda convencional | puntos por celda: P 1 · I 2 · F 4 · C 2 | art. 02 |
| Celda primitiva romboédrica | bcc: arista a√3/2, ángulo 109,47° · fcc: arista a/√2, ángulo 60° | art. 02, ejerc. 3 |
| Celda de Wigner–Seitz | mediatrices de los vecinos; primitiva y con toda la simetría. bcc → 14 caras (8+6), fcc → 12 rombos | art. 02 |
| Sistemas y redes | 7 sistemas, 14 redes: 1 + 2 + 4 + 2 + 1 + 1 + 3. Y 230 grupos espaciales | art. 02 |
| Por qué no hay quince | tetragonal F de lado a ≡ tetragonal I de lado a/√2; cúbica C ≡ tetragonal P de a/√2 | art. 02 |
| Índices de Miller | cortes → inversos → enteros primos entre sí. (2, 3/2, ∞) → (340) | art. 03 |
| Distancia interplanar | cúbica: d = a/√(h²+k²+l²) · ortorrómbica: 1/d² = h²/a² + k²/b² + l²/c² | art. 03 |
| Familias | {100} 6 · {110} 12 · {111} 8 · {210} 24 · {321} 48 | art. 03 · panel |
| [hkl] ⟂ (hkl) | sólo si h·a² : k·b² : l·c² = h : k : l. Rutilo: [101] se desvía 24,43° | art. 03 |
| Ángulos entre direcciones | cúbica: cos θ = (u₁u₂+v₁v₂+w₁w₂)/(|u||v|). [001]∧[111] = 54,74°; [110]∧[111] = 35,26°; [111]∧[111] = 70,53° | art. 03, ej. 2 |
| Densidad planar | fcc Cu: (111) 17,67 · (100) 15,31 · (110) 10,82 át./nm². bcc Fe: (110) 17,21 | art. 03 |
| Densidad planar y paso atómico | (densidad planar)/(paso atómico) = densidad volumétrica; Cu 84,68 át./nm³ | art. 03, ejerc. 4 |
| Deslizamiento | fcc {111}⟨110⟩: 12 sistemas · bcc {110}⟨111⟩: 12 · hcp basal: 3 | art. 03 · hoja, P1(e) |
| Fracción de empaquetamiento | sc π/6 = 52,36 % · bcc √3π/8 = 68,02 % · fcc y hcp π/3√2 = 74,05 % · diamante √3π/16 = 34,01 % | art. 04 |
| Dónde se tocan los átomos | sc arista 2R · bcc diagonal del cubo 4R · fcc diagonal de cara 4R · diamante enlace a√3/4 = 2R | art. 04 |
| Cociente c/a ideal | √(8/3) = 1,63299. Real: Be 1,568 · Ti 1,587 · Co 1,623 · Mg 1,624 · Zn 1,856 · Cd 1,886 | art. 04, ej. 1 · panel |
| Empaquetamiento con c/a real | Mg 73,62 % · Ti 72,02 % · Zn 65,14 % · Cd 64,12 % | art. 04, ej. 1 |
| Coordinación | 12 (fcc, hcp) · 8 (bcc) · 6 (sc) · 4 (diamante). fcc y hcp difieren en la 3.ª capa: 2 vecinos a 1,633 | art. 04 |
| Falta de apilamiento | Cu 45 mJ/m² = 15,9 meV/átomo (0,46 % de la cohesión) · Ag 9,9 meV · Al 73,6 meV | art. 04 |
| Huecos de la fcc | 4 octaédricos (1 por átomo) y 8 tetraédricos (2 por átomo) por cubo | art. 04, ejerc. 4 |
| Radio de los huecos | octaédrico (√2−1)R = 0,414 R · tetraédrico (√(3/2)−1)R = 0,225 R · cúbico (√3−1)R = 0,732 R | art. 04 |
| Huecos del hierro | γ (fcc, a = 3,65 Å a ≈1000 °C): 0,5345 Å · α (bcc, 300 K): octaédrico 0,1920 Å, tetraédrico 0,3612 Å; a 912 °C el octaédrico α vale 0,1941 Å | art. 04, ej. 2 |
| Regla de los radios | 0,225–0,414 → CN 4 · 0,414–0,732 → CN 6 · 0,732–1 → CN 8. NaCl 0,564 · CsCl 0,961 · ZnS 0,326 · CaF₂ 0,855 | art. 04 |
| Estructuras iónicas | NaCl = fcc + todos los octaédricos · CaF₂ = fcc + todos los tetraédricos · blenda = fcc + la mitad | art. 04 |
| Máximo con dos tamaños | 74,05 % (iguales) → 79,31 % (+ octaédricos) → 80,99 % (+ tetraédricos). Al azar: 64 % | art. 04, callout |
| Densidad desde la celda | ρ = n·M/(NA·a³); los 16 materiales del módulo cuadran por debajo del 0,3 % | art. 01, ejerc. 3 |
| Constantes y datos |
NA = 6,02214076 × 10²³ mol⁻¹ (exacta) · 1 Å = 10⁻⁸ cm · 1 eV = 1,602176634 × 10⁻¹⁹ J (exacta) · volumen molar de un gas ideal en condiciones normales 22,414 L/mol Parámetros de red cúbicos (Å, 300 K): Cu 3,6149 · Al 4,0495 · Ag 4,0853 · Pd 3,8907 · Fe α 2,8665 · W 3,1652 · Mo 3,1470 · Si 5,4307 · C diamante 3,5670 · α-Sn 6,4892 · Co fcc 3,5447 · NaCl 5,6402 · CsCl 4,1230 · ZnS 5,4093 · CaF₂ 5,4626 · MgO 4,2117 · SrTiO₃ 3,9050 · CuZn β 2,9450. Fuera de 300 K: Fe γ 3,65 (≈1000 °C, que es donde la austenita existe; extrapolada a 300 K sería 3,575) · Fe α 2,898 (912 °C) No cúbicos (a, c en Å): In 3,2523/4,9461 · β-Sn 5,8318/3,1819 · TiO₂ rutilo 4,5937/2,9587 · grafito 2,4640/6,7110 · Mg 3,2094/5,2107 · Zn 2,6650/4,9470 · Ti 2,9506/4,6835 · Be 2,2858/3,5843 · Cd 2,9793/5,6181 · Co hcp 2,5071/4,0695 Masas molares (g/mol): C 12,011 · Mg 24,305 · Al 26,982 · Si 28,085 · Ca 40,078 · Ti 47,867 · Fe 55,845 · Co 58,933 · Cu 63,546 · Zn 65,38 · Mo 95,95 · Pd 106,42 · Ag 107,868 · In 114,818 · Sn 118,710 · Cs 132,905 · W 183,84 · NaCl 58,44 · CsCl 168,355 · ZnS 97,44 · CaF₂ 78,074 · MgO 40,304 · SrTiO₃ 183,484 Densidades medidas (g/cm³): Cu 8,96 · Al 2,699 · Ag 10,49 · Pd 12,02 · Fe 7,874 · W 19,25 · Mo 10,22 · Si 2,329 · diamante 3,515 · NaCl 2,165 · CsCl 3,99 · ZnS 4,09 · CaF₂ 3,18 · MgO 3,58 · SrTiO₃ 5,11 · In 7,31 · β-Sn 7,265 · α-Sn 5,769 · grafito 2,26 · Zn 7,14 · Co 8,86 Radios iónicos de Shannon (Å), con su coordinación: Li⁺ 0,76(6) · Na⁺ 1,02(6) · K⁺ 1,38(6) · Rb⁺ 1,52(6) · Cs⁺ 1,67(6), 1,74(8) · Mg²⁺ 0,72(6) · Ca²⁺ 1,12(8) · Zn²⁺ 0,60(4) · Be²⁺ 0,27(4) · Zr⁴⁺ 0,84(8) · F⁻ 1,33(6), 1,31(4) · Cl⁻ 1,81(6) · Br⁻ 1,96(6) · I⁻ 2,20(6) · O²⁻ 1,40(6), 1,38(4) · S²⁻ 1,84(6) Radios metálicos desde la red (Å): Cu 1,2781 · Al 1,4317 · Pd 1,3756 · Fe α 1,2412 (300 K) · Fe γ 1,2905 (≈1000 °C) · W 1,3706 · Zn 1,3325 — los demás salen de la fila «dónde se tocan los átomos» Otros: enlace C–C del grafeno 1,42 Å · radio covalente del C 0,77 Å · cohesión Cu 3,49 eV, Al 3,39, Ag 2,95, Co 4,39 · faltas de apilamiento Cu 45, Al 166, Ag 22 mJ/m² | todo el módulo |