Índices de Miller, planos y direcciones

Mete una oblea de silicio en hidróxido de potasio caliente y el ataque no avanza igual en todas las direcciones: los planos (111) se corroen unas cien veces más despacio que los (100), así que el hueco que se abre acaba con las paredes inclinadas 54,74° respecto de la superficie. Ese número no viene de la temperatura, ni de la concentración, ni del tiempo. Es $\arccos(1/\sqrt3)$ , el ángulo que hay entre la diagonal del cubo y su arista, y con él se fabrican los acelerómetros y los cabezales de impresora de medio mundo. Este artículo es sobre el lenguaje que permite escribir frases así: cómo se nombra un plano de un cristal, cómo se nombra una dirección, y por qué son dos cosas distintas.

Prerrequisitos: los artículos 01 y 02 de este módulo — red, base, celda convencional y el hecho de que el cubo del cobre tenga cuatro puntos de red. Del módulo I.1, «Por qué la materia se ordena sola», del que se retoma la exfoliación —que aquí dejará de ser una observación y pasará a tener índices—, y del artículo 04 del módulo I.2, la idea de que un metal se deforma moviendo dislocaciones. De matemáticas: producto escalar, la distancia de un punto a un plano y la ecuación normal de un plano.

El plano (hkl), dibujándose

Los índices no describen el plano: describen dónde corta a los ejes, y al revés. Con índices (hkl) el plano más cercano al origen corta en a/h, a/k y a/l; un índice cero significa que no corta, que el plano es paralelo a ese eje. Se dibujan dos planos consecutivos de la familia para que la distancia interplanar sea algo que se mira, y no una fórmula que se cree.

h = 1 k = 1 l = 1

Celda cúbica de Si (estructura del diamante), arista a = 5.4307 Å. El plano lleno es el primero de la familia; el de trazo discontinuo, el siguiente. Si el segundo no aparece, es que ya se ha salido del cubo.

Índices (1 1 1)

Distancia interplanar 3.1354 Å

Planos por micra 3189

Cortes con los ejes 5.43 · 5.43 · 5.43 Å

Planos de la familia 8

Inclinación sobre la cara superior 54.74°

Los tres índices iguales: el plano corta los tres ejes a la misma distancia y es perpendicular a la diagonal del cubo. En una red cúbica centrada en las caras ésta es la familia compacta, la que desliza; su inclinación sobre la cara del cubo, 54.74°, es el ángulo que deja el ataque anisótropo de una oblea de silicio. Los 8 miembros de la familia son las cuatro diagonales del cubo con sus dos sentidos.

d = a/√(h²+k²+l²), válida sólo en el sistema cúbico, y es la distancia entre planos de red. Ninguno de los cinco materiales tiene red cúbica simple: en una red centrada puede haber planos de átomos intercalados, y entonces el paso atómico es la mitad — en el Fe α (100) vale a/2 = 1,4333 Å y no los 2,8665 Å que imprime el panel, y en el Cu (110), a/2√2 = 1,2781 Å y no 2,5561 Å. Parámetros de red a 300 K medidos por difracción de rayos X.

La receta, y qué hace exactamente

Los índices de Miller de un plano se obtienen en tres pasos mecánicos:

Se miden los cortes del plano con los tres ejes cristalográficos, en unidades de $a$ , $b$ y $c$ — no en ångströms, en fracciones de celda.
Se toman los inversos de esos tres números. Un plano paralelo a un eje corta en el infinito, y su inverso es cero.
Se multiplican los tres por lo que haga falta para dejarlos enteros y primos entre sí. El resultado se escribe entre paréntesis, sin comas: $(hkl)$ . Un índice negativo se escribe con la barra encima: $(1\bar10)$ .

Un ejemplo, para fijarlo: un plano que corta el eje $x$ en $2a$ , el $y$ en $3b/2$ y es paralelo al $z$ . Los inversos son ½, ⅔ y 0; multiplicando por 6 quedan 3, 4 y 0, y el plano es el $(340)$ .

Conviene decir en voz alta lo que los índices no son. No nombran un plano: nombran una familia infinita de planos paralelos, todos con la misma orientación y espaciados regularmente. Y no dependen del tamaño de la celda, sólo de la orientación: los (111) del silicio y los del cobre son la misma orientación en dos cristales distintos.

Por qué inversos, que es la pregunta que todo el mundo hace

La razón inmediata es la del paso 2: sin invertir, un plano paralelo a un eje se describiría con un infinito, y un infinito no es un índice. Con inversos, «paralelo» es «cero», y (100) es una etiqueta perfectamente finita para la cara del cubo.

Hay una segunda razón, práctica, que se aprecia al mirar el panel de arriba: los inversos hacen que índices grandes signifiquen planos muy inclinados y muy juntos, que es lo que uno quiere que digan. Un plano de índices bajos corta lejos y hay pocos por micra; uno de índices altos corta cerca del origen y se apiñan.

Y hay una tercera razón, la de verdad, que este módulo no va a desarrollar: la elección de inversos no es un truco de notación sino la sombra de un objeto geométrico, y ese objeto es el contenido del módulo II.2. Meterlo aquí a medias haría más daño que aplazarlo entero, así que aquí se queda nombrado y aparcado; el callout del final del artículo dice qué es y qué resuelve.

La distancia entre planos, deducida

De todo lo que los índices permiten calcular, lo más usado es la distancia interplanar, y sale en cuatro líneas de geometría elemental. Sea el plano $(hkl)$ más próximo al origen: por construcción corta los ejes en $a/h$ , $a/k$ y $a/l$ , así que su ecuación segmentaria es

\frac{x}{a/h} + \frac{y}{a/k} + \frac{z}{a/l} = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad hx + ky + lz = a.

Esa ecuación tiene la forma $\mathbf{n}\cdot\mathbf{r} = a$ con $\mathbf{n} = (h,k,l)$ , y la distancia del origen a un plano $\mathbf{n}\cdot\mathbf{r} = p$ es $p/|\mathbf{n}|$ . Como el siguiente plano de la familia es $hx+ky+lz = 2a$ , el paso entre dos consecutivos es

d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}.

Ojo con dónde vale esto. El paso de la ecuación segmentaria a la normal usa que los ejes son ortogonales y de la misma longitud; es decir, la fórmula es sólo para el sistema cúbico. La misma cuenta con $a$ , $b$ y $c$ distintos —pero todavía perpendiculares— da la versión ortorrómbica, que incluye la tetragonal y la cúbica como casos particulares:

\frac{1}{d_{hkl}^{2}} = \frac{h^2}{a^2} + \frac{k^2}{b^2} + \frac{l^2}{c^2}.

Para los sistemas con ángulos oblicuos la expresión se complica mucho, y entonces sí conviene la maquinaria del módulo II.2, que la produce sin esfuerzo.

Ejemplo resuelto 1 · Un escalón de un átomo, medido de dos maneras

Problema. Una superficie de silicio (111) limpia, vista con un microscopio de efecto túnel, aparece cubierta de terrazas planas separadas por escalones. Los escalones más pequeños que se ven miden 3,14 Å de altura. ¿Cuadra con la estructura del silicio? Calcula además $d_{111}$ , $d_{110}$ y $d_{100}$ y ordénalos.

Solución. Con $a = 5{,}4307$ Å,

d_{111} = \frac{5{,}4307}{\sqrt3} = 3{,}1354\ \text{Å}, \qquad d_{110} = \frac{5{,}4307}{\sqrt2} = 3{,}8401\ \text{Å}, \qquad d_{100} = 5{,}4307\ \text{Å}.

Resultado. 3,1354 Å calculados frente a 3,14 medidos: coinciden dentro del 0,15 %, que es la precisión con la que un microscopio de efecto túnel mide alturas. El escalón más pequeño posible en una superficie (111) es una distancia interplanar, porque quitar menos que un plano entero deja átomos sin sus vecinos. Dos cosas que llevarse. La primera: la fórmula del espaciado no es una abstracción de difracción, es la altura de un escalón que se puede fotografiar. La segunda, y es una advertencia: el orden que sale — $d_{100} > d_{110} > d_{111}$ — es el mismo en cualquier cristal cúbico, porque sólo depende de $\sqrt{h^2+k^2+l^2}$ , y por sí solo no dice nada sobre qué plano está más poblado. Lo que ata las dos cosas —y eso sí es el eje del resto del artículo— es la identidad (densidad planar) = (densidad volumétrica) × (paso entre planos de átomos). En el cobre se ve enseguida que la tentación de invertir el orden falla: el (100) es más denso que el (110) —15,31 frente a 10,82 át./nm²— y sin embargo $d_{100} = 3{,}6149$ Å es mayor que $d_{110} = 2{,}5561$ Å.

Direcciones: corchetes, no paréntesis

Una dirección cristalográfica se nombra de otra manera y con otra notación. Se toma un vector que apunte en esa dirección, se escriben sus componentes en la base $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ , se reducen a enteros primos entre sí y se escriben entre corchetes: $[uvw]$ . Aquí no se invierte nada. La dirección [110] es la del vector $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ , y punto.

La simetría agrupa planos y direcciones en familias, y cada una tiene sus paréntesis:

Notación	Qué es	Ejemplo en el sistema cúbico
$(hkl)$	una familia de planos paralelos	(100), la cara del cubo
$\{hkl\}$	todos los planos equivalentes por simetría	{100} son 6; {110}, 12; {111}, 8
$[uvw]$	una dirección	[100], la arista
$\langle uvw\rangle$	todas las direcciones equivalentes	⟨100⟩ son 6; ⟨110⟩, 12; ⟨111⟩, 8

El recuento se hace permutando los índices y cambiándoles el signo de todas las maneras posibles y contando los resultados distintos: de ahí que {100} tenga 6 miembros (tres permutaciones por dos signos) y {321}, que no repite ningún índice, tenga $3!\times2^3 = 48$ . El panel de arriba lo cuenta solo mientras mueves los índices.

Cuándo [hkl] es perpendicular a (hkl), y cuándo no

En una red cúbica ocurre algo cómodo: la ecuación del plano $(hkl)$ es $hx+ky+lz = a$ , cuyo vector normal en coordenadas cartesianas es $(h,k,l)$ ; y la dirección $[hkl]$ es la del vector $h\mathbf{a}+k\mathbf{b}+l\mathbf{c} = a(h,k,l)$ . Los dos son el mismo vector salvo un factor, así que

[hkl] \perp (hkl) \quad \text{en el sistema cúbico, y sólo ahí.}

La coincidencia se rompe en cuanto los ejes dejan de medir lo mismo, y merece la pena ver por qué: la dirección lleva los índices multiplicando a los vectores de la celda, $(ha, kb, lc)$ , y la normal los lleva dividiendo, $(h/a, k/b, l/c)$ . Si $a=b=c$ los dos vectores son paralelos; si no, apuntan en direcciones distintas y el ángulo entre ellos es

\cos\theta = \frac{h^2 + k^2 + l^2}{\sqrt{h^2a^2+k^2b^2+l^2c^2}\;\sqrt{h^2/a^2+k^2/b^2+l^2/c^2}}.

El rutilo, TiO₂, es tetragonal con $a = 4{,}5937$ Å y $c = 2{,}9587$ Å, es decir $c/a = 0{,}644$ . Metiendo números: la dirección [101] forma 24,43° con la normal al plano (101), y la [111] forma 23,18° con la normal al (111). No son desviaciones despreciables — son casi un cuarto de ángulo recto, y quien haya supuesto la perpendicularidad habrá orientado mal la muestra.

Y hay dos casos que sí sobreviven, porque son los que conservan la simetría: cuando dos de los índices son cero (la [001] sí es perpendicular al plano (001), en cualquier sistema con ejes ortogonales) y cuando los índices que no son cero corresponden a ejes de la misma longitud (en el rutilo, la [110] sí es perpendicular al (110), porque $a = b$ ). El fallo aparece justo cuando se mezclan ejes desiguales.

Ejemplo resuelto 2 · Los 54,74° del acelerómetro de tu teléfono

Problema. Deduce el ángulo entre las direcciones [001] y [111] de un cristal cúbico, y explica por qué es el que aparece en las paredes de una oblea de silicio (100) atacada con hidróxido de potasio. Calcula de paso el ángulo entre [111] y [111], y el que forma la diagonal de una cara, [110], con la diagonal del cubo.

Solución. En el sistema cúbico las direcciones son vectores cartesianos ordinarios y el ángulo sale del producto escalar:

\cos\theta = \frac{u_1u_2+v_1v_2+w_1w_2}{\sqrt{u_1^2+v_1^2+w_1^2}\sqrt{u_2^2+v_2^2+w_2^2}} = \frac{1}{1\cdot\sqrt3} = 0{,}5774 \;\Rightarrow\; \theta = 54{,}74^\circ.

Para [111] y [111]: $\cos\theta = (1+1-1)/3 = 1/3$ , o sea 70,53°. Y para [110] y [111]: $\cos\theta = 2/(\sqrt2\sqrt3) = 2/\sqrt6 = 0{,}8165$ , o sea 35,26°, que es exactamente el complemento de los 54,74° de la primera cuenta: la diagonal de la cara y la arista se reparten el ángulo recto con la diagonal del cubo de por medio.

Resultado. La superficie de la oblea es un plano (100) y el ataque se frena en los planos {111}, así que las paredes del hueco son planos (111): su traza forma con la superficie el mismo ángulo que hay entre las dos normales, 54,74°. Ése es el número que los fabricantes de sistemas microelectromecánicos dan por sentado —membranas de sensores de presión, boquillas de impresoras de chorro de tinta, masas suspendidas de acelerómetros—: la máquina no controla ese ángulo, lo controla el cristal, y por eso sale idéntico en todas las obleas del mundo. El segundo número, 70,53°, es el suplementario de 109,47°, el ángulo tetraédrico que el artículo 02 encontró entre los vectores primitivos de la red centrada en el cuerpo y que el módulo I.1 había dado como el ángulo de los enlaces del diamante. Tres caminos distintos, el mismo $\arccos(\pm1/3)$ : eso es lo que significa que la geometría del cubo mande.

Los planos más densos son los que deslizan

La densidad planar —átomos por unidad de área de un plano— es el puente entre esta geometría y la mecánica de los materiales. Se calcula contando los átomos que caen sobre un plano y dividiendo por el área; para el cobre, cúbico centrado en las caras con $a = 3{,}6149$ Å:

Plano	Fórmula	Átomos/nm²	Paso entre planos de átomos (Å)
(111)	$4/\sqrt3 a^2$	17,67	2,0871
(100)	$2/a^2$	15,31	1,8074
(110)	$2/\sqrt2 a^2$	10,82	1,2781

La última columna dice paso entre planos de átomos y no $d_{hkl}$ a propósito: en una red centrada puede haber planos de átomos intercalados entre dos planos de red, y hay que comprobarlo familia por familia, porque no es una propiedad de la red sino de cada familia. En el cobre el (100) tiene paso atómico $a/2 = 1{,}8074$ Å frente a $d_{100} = 3{,}6149$ Å, y el (110) $a/2\sqrt2 = 1{,}2781$ Å frente a $d_{110} = 2{,}5561$ Å; pero el (111) sí coincide, 2,0871 Å = $d_{111}$ . El ejercicio 4 se ocupa de esa distinción, que es donde se pierde el factor 2 más frecuente de todo el tema.

Mira ahora las dos últimas columnas juntas: el plano más poblado es el más separado de su vecino. No es casualidad, es aritmética de conservación — el número de átomos por unidad de volumen es fijo, así que (densidad planar)/(paso atómico) tiene que dar siempre la misma cifra, y en el cobre da 84,68 átomos/nm³ con las tres. Meter más átomos en cada plano obliga a poner menos planos.

De ahí sale la consecuencia mecánica. Una dislocación se mueve deslizando un plano sobre el contiguo, y eso cuesta menos cuanto más lejos estén los dos planos y cuanto más lisa sea la superficie que resbala: los planos compactos son a la vez los más separados y los más lisos. Por eso el deslizamiento de un metal cúbico centrado en las caras ocurre siempre en el sistema {111}⟨110⟩ — los cuatro planos compactos, cada uno con tres direcciones compactas dentro, doce sistemas equivalentes—. El módulo I.2 explicó que un metal cede a la doscientosava parte de su resistencia teórica porque tiene dislocaciones; esto dice por dónde las mueve.

Los otros dos casos son instructivos por contraste. La red cúbica centrada en el cuerpo no tiene ningún plano verdaderamente compacto: su plano más denso, el (110), llega a 17,21 átomos/nm² en el hierro, pero su red bidimensional es un rectángulo centrado —la que dibuja el panel del artículo 01 al elegir «Fe (110)»— y no una red triangular, así que los átomos sólo se tocan a lo largo de las direcciones ⟨111⟩. El deslizamiento se reparte entre {110}, {112} y {123} con la dirección ⟨111⟩ común. Y el hexagonal compacto sí tiene un plano compacto, el basal, pero sólo uno, con tres direcciones: tres sistemas, y de ahí que el magnesio se agriete donde el aluminio se dobla.

«Un índice de Miller es perpendicular a su dirección homónima»: verdad en el cubo, falso en general, y el error tiene grados. La regla se aprende con ejemplos cúbicos —que son la mitad de los materiales de un curso— y se aplica luego a un tetragonal o a un hexagonal sin volver a pensarla. La forma de recordar que está mal no es memorizar una excepción, es recordar de dónde salía: la normal lleva los índices divididos por los parámetros y la dirección los lleva multiplicados. Sólo si los tres parámetros son iguales coinciden. En el rutilo el desvío llega a 24,43°, y en los tetragonales más achatados es todavía mayor; en el cuarzo, con $\gamma = 120^\circ$ , ni siquiera hace falta que los parámetros difieran para que falle.

Y lo que este artículo ha dejado escrito sin resolver. Los índices se han presentado como una receta y la elección de inversos se ha justificado por comodidad, que es una respuesta insuficiente y conviene reconocerlo. La respuesta buena es que a cada cristal le corresponde otra red —la red recíproca— en la que la terna (h, k, l) es un vector de pleno derecho, perpendicular a la familia de planos y de longitud inversamente proporcional a su espaciado; con ella, la fórmula del espaciado en cualquiera de los siete sistemas sale de un producto escalar en vez de una construcción ad hoc, y la difracción de rayos X pasa de ser una técnica a ser una lectura directa de esa red. Todo eso es el módulo II.2, y aquí no se ha usado ni una sola de sus fórmulas — a propósito: dejar un tema a medias entre dos módulos es peor que aplazarlo entero.

Ejercicios

Ejercicio 1

Da los índices de Miller de los planos que cortan los ejes en: (a) $3a,\ 2b,\ 2c$ ; (b) $a/2,\ \infty,\ -c$ ; (c) $\infty,\ \infty,\ c/3$ . Después, al revés: dibuja mentalmente el plano (213) diciendo dónde corta cada eje. ¿Cuántos miembros tiene la familia {213}? Y por último: ¿qué ángulo forma la dirección [213] con el eje [001]?

Solución

(a) Inversos ⅓, ½, ½; multiplicando por 6, (233). (b) Inversos 2, 0, −1: ya son enteros y primos entre sí, (201). (c) Inversos 0, 0, 3, que se reducen dividiendo por 3: (001) — la cara superior del cubo. Nótese que dónde corte el eje $z$ es irrelevante: los índices sólo dan la orientación y el espaciado de la familia, no una posición.

Al revés: (213) corta en $a/2$ , en $-b$ y en $c/3$ . La familia {213} tiene $3!\times2^3 = 48$ miembros, porque los tres índices son distintos y ninguno es cero: seis permutaciones por ocho combinaciones de signo. El ángulo con [001] sale del producto escalar: $\cos\theta = 3/\sqrt{4+1+9} = 3/\sqrt{14} = 0{,}8018$ , o sea 36,70°. Y en una red cúbica ése es también el ángulo que forma el plano (213) con la cara superior del cubo, porque allí la dirección y la normal coinciden.

Segunda lección, la del apartado (c): los índices no se dejan multiplicar por un factor común. (003) y (001) son la misma familia de planos de red; escribir (003) sería nombrar planos intermedios que no contienen ningún punto. En difracción esa distinción sí importa y (003) tiene sentido propio —significa el tercer orden de (001)—, pero eso es del módulo II.2. En cristalografía geométrica, se reduce siempre.

Ejercicio 2

El aluminio es cúbico centrado en las caras con $a = 4{,}0495$ Å. Calcula $d_{111}$ , $d_{200}$ , $d_{220}$ y $d_{311}$ , y comprueba que el cociente $d_{111}/d_{200}$ vale $2/\sqrt3$ en cualquier cristal cúbico. ¿Cuántos planos (111) hay en un grano de 20 µm?

Solución

$d_{111} = 4{,}0495/\sqrt3 = 2{,}3380$ Å; $d_{200} = 4{,}0495/2 = 2{,}0248$ Å; $d_{220} = 4{,}0495/\sqrt8 = 1{,}4317$ Å; $d_{311} = 4{,}0495/\sqrt{11} = 1{,}2210$ Å. El cociente es $\sqrt4/\sqrt3 = 1{,}1547$ , y $a$ se ha ido: en la fórmula cúbica el parámetro de red es un factor común a toda la familia, así que todos los cocientes de espaciados son números puros que sólo dependen de los índices. En un grano de 20 µm caben $2\times10^{5}/2{,}3380 \approx 8{,}55\times10^{4}$ planos (111).

Segunda lección: ese « $a$ se ha ido» es la razón de que un difractograma sirva para identificar una estructura sin saber de qué material es. Los cocientes de espaciados son la huella dactilar de la estructura; el parámetro de red sólo fija la escala. Es también la razón de que la lista de índices de este ejercicio —111, 200, 220, 311— sea la que aparece siempre para un cúbico centrado en las caras y no otra; por qué faltan el (100) y el (110) es del módulo II.2, y de momento basta con haber notado que la lista tiene una regularidad.

Ejercicio 3

En el rutilo ( $a = b = 4{,}5937$ Å, $c = 2{,}9587$ Å) calcula $d_{110}$ y $d_{101}$ , y el ángulo entre la dirección [101] y la normal al plano (101). Después responde: ¿para qué ternas de índices sí se cumple la perpendicularidad en un cristal tetragonal? Da la condición general, no una lista.

Solución

Con la fórmula ortorrómbica, $1/d_{110}^2 = 2/a^2$ da $d_{110} = a/\sqrt2 = 3{,}2482$ Å, y $1/d_{101}^2 = 1/a^2 + 1/c^2$ da $d_{101} = 2{,}4874$ Å. El ángulo: la dirección es $(a,0,c) = (4{,}5937,\,0,\,2{,}9587)$ y la normal es $(1/a,0,1/c) = (0{,}2177,\,0,\,0{,}3380)$ ; su producto escalar dividido por los módulos da $\cos\theta = 0{,}9105$ , o sea 24,43°.

La condición general: la dirección es $(ha, kb, lc)$ y la normal $(h/a, k/b, l/c)$ , y son paralelas si y sólo si sus componentes son proporcionales, es decir si $h a^2 : k b^2 : l c^2 = h : k : l$ . En un tetragonal ( $a=b\ne c$ ) eso obliga a que $l = 0$ o bien $h = k = 0$ . Es decir: todos los ( $hk0$ ) y todos los (00 $l$ ), y ningún otro.

Segunda lección, y es la que hace útil el ejercicio: la condición no depende de cuánto se aparte $c$ de $a$ , sólo de que se aparte. Un cristal con $c/a = 1{,}001$ incumple la perpendicularidad exactamente en las mismas ternas que uno con $c/a = 0{,}644$ ; lo único que cambia es el tamaño del error, que para el [101] sería allí de 0,057° y aquí es de 24°. La regla exacta es bonita: para $c/a = 1+\varepsilon$ el desvío del [101] vale $\varepsilon$ radianes, o sea 0,057° por cada milésima de $c/a$ . Las propiedades estructurales son binarias; las magnitudes, no. Confundir «casi cúbico» con «cúbico» es la trampa que este ejercicio quería enseñar a ver.

Ejercicio 4

Calcula la densidad planar de los planos (111) y (100) del cobre ( $a = 3{,}6149$ Å) contando átomos sobre el plano, no aplicando la tabla de arriba. Comprueba después que en los dos casos el producto (densidad planar) × (espaciado interplanar) da la misma densidad volumétrica, y di qué predice esto sobre el deslizamiento.

Solución

(100): la cara del cubo tiene cuatro átomos en los vértices (¼ de cada uno) y uno en el centro: 2 átomos en $a^2 = 13{,}07$ Å², o sea 15,31 átomos/nm². (111): el plano que corta los tres ejes en $a$ es un triángulo equilátero de lado $a\sqrt2 = 5{,}1123$ Å, con tres átomos en los vértices (⅙ de cada uno, porque el ángulo es de 60°) y tres en los puntos medios de los lados (½ de cada uno): $3/6+3/2 = 2$ átomos en un área $(\sqrt3/4)(a\sqrt2)^2 = 11{,}32$ Å², o sea 17,67 átomos/nm².

La comprobación: la densidad volumétrica del cobre es $4/a^3 = 84{,}68$ átomos/nm³. Para el (111), 17,67 nm⁻² / 0,20871 nm = 84,68 nm⁻³, clavado. Para el (100), en cambio, 15,31 nm⁻² / 0,36149 nm = 42,34 nm⁻³, la mitad. Y no es un error de aritmética: es que $d_{100} = a$ es la distancia entre planos de red, y en una red centrada en las caras hay un plano de átomos a media altura. El paso atómico vale $a/2 = 1{,}8074$ Å, y con él 15,31/0,18074 = 84,68 nm⁻³. Ahora sí.

La predicción: el (111) es a la vez el más poblado y el de mayor paso atómico, así que es el plano por el que un cristal cúbico centrado en las caras desliza — y el (110), el menos poblado, es por donde no desliza nunca. La segunda lección es el tropiezo de en medio: «distancia entre planos de red» y «distancia entre planos de átomos» no son lo mismo en una red centrada, y confundirlas mete un factor 2 que la comprobación de densidad caza en el acto.