Un trozo de cobre no se deshace en tus manos, y eso exige una explicación cuantitativa. Arrancar un solo átomo de la superficie de ese cobre cuesta 3,49 electronvoltios. La agitación térmica de la habitación en la que estás dispone de 0,0259 eV por grado de libertad: ciento treinta y cinco veces menos. Un sólido es exactamente eso — un sitio donde el pegamento gana al temblor por dos órdenes de magnitud — y casi todo lo que sabemos de los materiales sale de mirar ese cociente en cada caso.
Un sólido es un pacto entre el pegamento y el temblor
A cualquier temperatura por encima del cero absoluto, los átomos se mueven. La energía térmica disponible por grado de libertad es del orden de , y a 300 K eso son 25,9 meV — dos centésimas y media de electronvoltio. Enfrente está lo que cuesta separar un átomo de sus vecinos, la energía de cohesión, y ahí la horquilla es enorme:
| Material | Cohesión (eV/átomo) | Funde a | Cohesión / a 300 K |
|---|---|---|---|
| Argón | 0,080 | 84 K (−189 °C) | 3,1 |
| Sodio | 1,11 | 371 K (98 °C) | 43 |
| Aluminio | 3,39 | 933 K (660 °C) | 131 |
| Cobre | 3,49 | 1358 K (1085 °C) | 135 |
| Hierro | 4,28 | 1811 K (1538 °C) | 166 |
| Silicio | 4,63 | 1687 K (1414 °C) | 179 |
| Diamante | 7,37 | no funde a 1 atm | 285 |
| Wolframio | 8,90 | 3695 K (3422 °C) | 344 |
Léela por columnas y aparece sola la relación que ordena toda la tabla periódica de los sólidos: lo que cuesta arrancar un átomo predice a qué temperatura funde el material. Para los ocho de arriba, la energía de cohesión vale entre 11 y 42 veces , con una media de 28. No es una ley exacta —el argón se sale por abajo y el aluminio por arriba—, pero sí una regla de estimación honesta: si te dan la cohesión, sabes el punto de fusión con un factor 2. Y la razón es transparente: fundir es dejar que la agitación empiece a ganar, y eso pasa cuando se acerca a una fracción fija del pegamento.
El argón es el caso extremo por abajo y merece un momento. Sus átomos se atraen sólo por fuerzas de van der Waals, el pegamento más débil que existe: 0,080 eV, tres veces la agitación de tu habitación. Por eso el argón es un gas aquí y sólo se hace sólido a 84 K. En el otro extremo, el wolframio aguanta 3422 °C. Entre uno y otro hay un factor 111 en energía de cohesión — y ese único número es la diferencia entre un gas noble y el filamento de una bombilla.
Los cuatro pegamentos, y lo que cobra cada uno
Que la cohesión varíe cien veces no es un capricho: hay cuatro maneras distintas de que dos átomos se queden juntos, y cada una tiene su tarifa.
- El enlace covalente: dos átomos comparten electrones en una dirección concreta. Es el más caro y el más rígido — 4,63 eV por átomo en el silicio, 7,37 en el diamante. Y es direccional, lo que tendrá consecuencias en el artículo 02.
- El enlace iónico: un átomo cede un electrón y el otro lo acepta, y lo que queda se atrae por electrostática pura. La sal común paga 3,3 eV por ion y funde a 801 °C.
- El enlace metálico: los átomos sueltan sus electrones exteriores a un fondo común que los baña a todos. Entre 1 y 9 eV según el metal. No es direccional, y de ahí que los metales se doblen en vez de romperse.
- Las fuerzas de van der Waals: atracción residual entre nubes electrónicas que fluctúan. Céntimos: de 0,02 a 0,1 eV. Sostienen el argón sólido, el hielo seco y las hojas de grafito unas sobre otras.
Un aviso que ahorra confusiones más adelante: estos cuatro nombres son casos límite, no cajones. El enlace real de casi cualquier material es una mezcla. El arseniuro de galio de un LED es covalente con un 30 % de carácter iónico, y el hierro combina enlace metálico con un resto de covalente que explica su estructura. La tabla de arriba no clasifica materiales: mide cuánto paga cada uno.
Problema. «Energía de cohesión» suena a magnitud teórica. ¿Se puede medir? Convierte los 3,49 eV por átomo del cobre a kilojulios por mol y compara con la entalpía de sublimación del cobre, que es 337,4 kJ/mol y se mide con un calorímetro.
Solución. Un electronvoltio son 1,602 × 10⁻¹⁹ J. Por mol, multiplicamos por el número de Avogadro:
Resultado. 336,7 kJ/mol frente a 337,4 medidos: coinciden en el 0,2 %. Y no es casualidad ni suerte — es que son la misma cosa. Sublimar es pasar de sólido a gas de átomos sueltos, es decir, arrancar todos los átomos uno a uno; el calor que se traga el calorímetro es la energía de cohesión. Las tablas de cohesión de los libros de estado sólido salen, en buena parte, de calorimetría del siglo XX. Cuando leas «3,49 eV por átomo», piensa en un aparato midiendo calor, no en un cálculo.
Cuánta energía hay guardada en un clavo
Si arrancar un átomo cuesta 3,49 eV y en un kilo de cobre hay 9,5 × 10²⁴ átomos, deshacer ese kilo entero en átomos sueltos cuesta 5,28 megajulios. El dato invita a una comparación incómoda: la explosión de un kilo de TNT libera 4,6 MJ. Un clavo de cobre guarda, en sus enlaces, un 15 % más de energía que su peso en explosivo.
La diferencia no está en cuánta energía hay, sino en si se puede sacar. La del TNT sale sola en microsegundos porque el explosivo se reordena en moléculas más estables y baja de energía. La del cobre no sale: el cobre metálico ya está en el fondo del pozo, y para recuperar esos 5,28 MJ habría que invertirlos primero. La energía de cohesión no es combustible, es deuda pagada. Es también la razón de que producir metales cueste tanta electricidad: una cuba electrolítica de aluminio gasta unos 14 MWh por tonelada, cuatro veces lo que consume un piso español entero en un año.
Por qué no se aplasta: la rigidez tiene número
Un sólido no sólo se mantiene entero: se resiste a que le cambien el volumen. La magnitud que lo mide es el módulo de compresibilidad, la presión que haría falta para reducir el volumen a la mitad si el material se portara igual todo el rato (no lo hace, pero la definición sirve para comparar):
En el cobre, GPa. Para comprimirlo un mísero 1 % hacen falta 1,4 gigapascales, es decir, catorce mil atmósferas. El agua, con 2,2 GPa, es sesenta y cuatro veces más blanda; el diamante, con 443 GPa, tres veces más dura que el cobre. Ahí está, en un solo número, por qué un sólido es una cosa distinta de un líquido y de un gas.
Problema. En el fondo de la fosa de las Marianas, a 10 994 m, la presión es de 1,086 × 10⁸ Pa (1072 atmósferas). ¿Cuánto se comprime allí un cubo de cobre? ¿Y el agua que lo rodea? ¿A qué profundidad habría que bajar para comprimir el cobre un 1 %?
Solución. Con la fórmula de arriba, para el cobre:
Para el agua, con GPa, sale 4,94 %. Y para llegar a 1,4 GPa haría falta una columna de agua trece veces más alta que la fosa: unos 139 km de profundidad, cuatro veces el espesor de la corteza continental.
Resultado. El cobre se encoge un 0,078 % —ocho centésimas de milímetro en un cubo de diez centímetros— en el punto más profundo del océano, mientras el agua de alrededor se comprime un 4,9 %, sesenta veces más. Ése es el sentido cuantitativo de «sólido»: no que sea imposible comprimirlo, sino que el planeta entero no tiene profundidad suficiente para hacerlo notar.
Y por qué vibra: el sonido delata la rigidez
Hay una consecuencia bonita de que un sólido sea rígido y pese: el sonido lo atraviesa deprisa. Un pulso mecánico avanza empujando cada átomo contra el siguiente, así que su velocidad sube con la rigidez y baja con la inercia. En una barra delgada, con el módulo de Young y la densidad :
Para el cobre, GPa y kg/m³ dan 3780 m/s. El valor medido en una barra de cobre es 3810 m/s: acertamos con un 0,8 % de error usando sólo dos datos de tabla y una raíz cuadrada. Once veces la velocidad del sonido en el aire. Y de paso queda dicho de dónde salen los golpes que el material da consigo mismo: el módulo II.4 lo llamará fonón y lo cuantizará, pero el número ya está aquí.
El sólido no está lleno, y aun así no se aplasta. Se repite que la materia es «casi toda vacío», y es verdad en un sentido muy concreto: el núcleo de un átomo de cobre mide unos 4,8 femtómetros de radio frente a los 128 picómetros del átomo, así que ocupa una parte en 2 × 10¹³ del volumen atómico. La conclusión popular —«entonces la dureza es una ilusión»— es la que no se sostiene. Lo que llena un sólido no es materia, son electrones, y los electrones se niegan a compartir estado: el principio de exclusión de Pauli obliga a que apretar dos átomos suba la energía a un ritmo brutal. Los 140 GPa del cobre miden exactamente esa negativa. La materia no es sólida porque esté llena; es sólida porque sus electrones no caben dos veces en el mismo sitio.
Ejercicios
El plomo funde a 600 K y el wolframio a 3695 K. Sin buscar nada, estima la energía de cohesión del plomo sabiendo que la del wolframio es de 8,90 eV por átomo. El valor de tabla es 2,03 eV. ¿Cuánto te has equivocado, y por qué en ese sentido?
Solución
Si la cohesión fuera proporcional a la temperatura de fusión, 8,90 × (600/3695) = 1,44 eV. El valor real, 2,03 eV, es un 41 % mayor: la estimación se queda corta. La razón está en la tabla del principio — el cociente cohesión/ no es constante, vale 28 de media pero se mueve entre 11 y 42, y el wolframio (28,0) no es el mismo caso que el plomo (39,2). La lección práctica es la que vale para todo el sitio: una regla de proporcionalidad entre magnitudes distintas te da el orden de magnitud y nunca la tercera cifra. Con un factor 1,4 de error habrías dicho «el plomo es un metal blando de baja fusión», que es lo que había que acertar.
El módulo de compresibilidad del aluminio es de 76 GPa y su densidad, de 2699 kg/m³; los del cobre, 140 GPa y 8960 kg/m³. ¿En cuál de los dos va más rápido el sonido? Calcúlalo con y explica el resultado.
Solución
Aluminio: √(76 × 10⁹ / 2699) = 5310 m/s. Cobre: √(140 × 10⁹ / 8960) = 3950 m/s. Gana el aluminio, y por un 34 %, aunque es el material más blando de los dos. La rigidez del cobre es 1,8 veces la del aluminio, pero su densidad es 3,3 veces mayor, y en la raíz gana la densidad. Ésta es la trampa que el ejercicio quería tenderte: «más duro» no implica «el sonido va más rápido».
Y una segunda lección, que es una advertencia sobre esta misma fórmula: los valores medidos son 6420 m/s en aluminio y 4760 m/s en cobre, un 20 % por encima de lo que acabas de calcular. No es un fallo de los datos: una onda longitudinal no sólo comprime el material, también lo cizalla, y la combinación correcta lleva además el módulo de cizalla, . Con G = 26 GPa (aluminio) y 48 GPa (cobre) salen 6410 y 4770 m/s: ahora sí, al 0,3 %. La versión simple da el orden y la tendencia; la exacta pide una constante elástica más.
Un kilo de cobre guarda 5,28 MJ en sus enlaces. El calor específico del cobre es de 385 J/(kg·K). Si pudieras convertir toda esa energía de cohesión en calor sin que el cobre se evaporase, ¿cuánto subiría su temperatura? ¿Qué te dice el resultado?
Solución
ΔT = 5,28 × 10⁶ / 385 = 13 700 K, más del doble de la temperatura de la superficie del Sol y diez veces la temperatura de fusión del cobre. Lo cual demuestra, por reducción al absurdo, que la hipótesis del enunciado es imposible: mucho antes de llegar ahí el cobre habría fundido (a 1358 K) y hervido (a 2835 K), porque justamente lo que se está gastando en fundirlo y hervirlo es esa energía de cohesión. El cálculo tiene valor aunque su premisa sea falsa: dice que la energía de los enlaces es enormemente mayor que la que hace falta para calentar un material en el rango en que sigue siendo sólido. Por eso los sólidos tienen un margen térmico tan ancho — y por eso el argón, que casi no tiene enlaces, no lo tiene.