Coge la fórmula más sencilla que existe para estimar lo que aguanta un cristal —hay que empujar un plano de átomos por encima del siguiente, y eso cuesta del orden de — y aplícala al cobre: sale 7,64 GPa. Ahora coge un cable de cobre recocido y estíralo hasta que se deforme para siempre: cede a 35 MPa en cizalla. Doscientas dieciocho veces menos. No es un error de medida ni una aproximación floja: es el mayor desacuerdo entre teoría y experimento que ha tenido la física de materiales, duró treinta años, y su solución —un defecto de la red que nadie había visto— es la razón de que un metal se pueda doblar, laminar, estirar y clavar.
Un cristal sin defectos cedería a G/2π, y ningún metal se acerca. La ley de Taylor dice a cuánto cede de verdad según cuántas dislocaciones tenga: τ = τ0 + αGb√ρ. Elige metal y mueve la densidad de dislocaciones: la tercera cifra es el asunto entero de este módulo.
Tensión de cizalla en pascales, escala logarítmica. La marca negra es lo que aguanta el metal con esta densidad; la línea gris, lo que aguantaría sin ninguna dislocación.
Éste es el estado normal de un metal recocido: 1,0 × 10¹² m⁻², es decir 1000 km de línea de dislocación en un centímetro cúbico. El Cu cede en cizalla a 4.2 MPa cuando podría aguantar 7.64 GPa: las dislocaciones se llevan un factor 1830. Sube el deslizador y mira lo que pasa cuando en vez de quitarlas se meten más.
Módulos de cizalla y parámetros de red: valores de referencia a 300 K (WebElements/CRC), con cada a revalidado contra la densidad medida. α = 0.3 (horquilla publicada 0,2–0,5), τ0 = 0,5 MPa (fricción de red medida en monocristales fcc puros), factor de Taylor M = 3.06 para pasar de cizalla a tracción.
La cuenta que no cuadró
Deformar un cristal para siempre —no estirarlo y que vuelva, sino doblarlo— consiste en que un plano de átomos deslice sobre el de al lado. Yakov Frenkel hizo en 1926 la estimación más honrada posible de lo que eso cuesta. Al deslizar, cada átomo tiene que subir la cuesta que lo separa de la siguiente posición estable, y la fuerza que se opone crece, llega a un máximo a mitad de camino y vuelve a cero cuando el átomo cae en el hueco siguiente. Si se supone que esa fuerza va como un seno de periodo —la distancia entre átomos— y se ajusta la pendiente inicial al módulo de cizalla, el máximo sale:
Es una estimación tosca y su autor lo sabía, pero tiene una virtud: no hay nada que ajustar. Con el módulo de cizalla del metal, que se mide con ultrasonidos, ya está. Y esto es lo que sale al ponerla al lado de lo que mide una máquina de tracción:
| Metal | (GPa) | (GPa) | Cede a (MPa) | Factor |
|---|---|---|---|---|
| Aluminio | 26 | 4,14 | 8,8 | 473 |
| Cobre | 48 | 7,64 | 35 | 218 |
| Níquel | 76 | 12,1 | 70 | 173 |
| Hierro | 82 | 13,1 | 45 | 290 |
| Wolframio | 161 | 25,6 | 275 | 93 |
La cuarta columna es la mitad del límite elástico medido en el metal recocido, que es lo que le corresponde a la cizalla. Léela entera y aparece lo que hay que explicar: ningún metal llega ni al 2 % de lo que debería aguantar, el factor va de 93 a 473 con una media geométrica de 217, y —esto es lo importante— el desacuerdo no depende de lo fuerte que sea el metal. El aluminio blando de una lata falla por 473; el wolframio, que aguanta al rojo el filamento de una bombilla, falla por 93. Un error así, igual de grande en materiales que se llevan un factor 6 de rigidez, no es un error de detalle: es que falta un mecanismo.
Y la teoría, además, se pasaba. Conviene decirlo antes de seguir, porque el argumento se sostiene igual y así no queda nadie con la impresión de que es una verdad exacta. El seno de Frenkel es la peor aproximación posible a la curva real, y cuando se calcula esa curva con mecánica cuántica —primeros principios, sin parámetros ajustables— el techo baja: 2,16 GPa para el cobre frente a los 7,64 del seno, un factor 3,5 de más, y 2,84 GPa para el aluminio. Que la corrección importe da igual para lo que aquí se discute: con el techo bueno, el cobre recocido sigue cediendo 62 veces antes de lo que debería. Un factor 3 se discute; un factor 62 hay que explicarlo.
Problema. El módulo de cizalla del cobre es de 48 GPa y su límite elástico recocido, de 69 MPa. Calcula el cociente entre la resistencia teórica y la real, y decide si la diferencia puede achacarse a la tosquedad del modelo.
Solución. El techo de Frenkel es
Un ensayo de tracción da el límite elástico, no la cizalla; el criterio de Tresca dice que un material cede cuando la cizalla llega a la mitad de la tracción, así que MPa —lo redondeamos a 35—. El cociente es .
Resultado. Un factor 218, y no, no se puede achacar al modelo. Una estimación tosca se equivoca en un factor 2 o 3 — de hecho, el cálculo cuántico moderno corrige exactamente eso y deja el techo del cobre en 2,16 GPa. Lo que no hace ningún modelo tosco es equivocarse en dos órdenes de magnitud y encima en la misma dirección para cinco metales distintos. Cuando un desacuerdo es así de grande y así de sistemático, no sobra precisión en la teoría: falta física. Aquí faltaba un objeto.
La respuesta: no se mueve todo a la vez
Frenkel supuso que el plano entero desliza a la vez, como una baldosa arrastrada. Ahí está el fallo. En 1934, Egon Orowan, Michael Polanyi y Geoffrey Taylor propusieron por separado la misma solución: en la red hay un defecto lineal —un semiplano de más metido entre dos planos completos— y la deformación avanza moviendo ese defecto, no el plano.
La diferencia es cuantitativa, no poética. Para deslizar un plano entero hay que romper simultáneamente todos los enlaces de la interfaz; para mover una dislocación basta con romper una fila, la del borde del semiplano, y rehacerla un átomo más allá. En un cristal de un centímetro hay unos cuarenta millones de filas: el trabajo pasa de hacerse de una vez a hacerse en cuarenta millones de plazos. La tensión que hace falta para dar el primer plazo —la tensión de Peierls— es la que se mide, y en un metal fcc purísimo vale menos de un megapascal.
La imagen doméstica es la alfombra: mover una alfombra grande de golpe cuesta mucho; hacerle una arruga y empujar la arruga de un extremo al otro deja la alfombra desplazada exactamente igual, y lo puede hacer un niño. La imagen es buena, pero cuidado con quedarse en ella — la parte que hay que retener no es la arruga, es el número: 218.
La prueba que zanjó la discusión son unos pelos de metal. Si el argumento es correcto, un cristal sin dislocaciones tendría que acercarse al techo teórico. Existen: son los bigotes, filamentos monocristalinos de unas micras de grosor que crecen solos en ciertas condiciones y que salen prácticamente perfectos. S. S. Brenner los estiró en 1956, uno a uno, y los mejores —los de menos de 4 µm— aguantaron entre el 2 % y el 6 % de su módulo de cizalla. Para el cobre eso son de 0,96 a 2,9 GPa: hasta cincuenta y cinco veces lo que aguanta el cobre corriente, y del orden del techo cuántico de 2,16 GPa. El mismo metal, la misma red, los mismos enlaces. Toda la diferencia estaba en un defecto.
Cuántas hay, y cuánto miden
La densidad de dislocaciones se mide en metros de línea por metro cúbico, que se simplifica a m⁻². Un metal bien recocido anda por 10¹⁰ m⁻²; uno corriente, por 10¹²; uno martilleado o estirado en frío llega a 10¹⁵ o 10¹⁶. Esos exponentes no dicen nada hasta que se convierten en longitud:
| Estado | (m⁻²) | Línea en 1 cm³ | Separación |
|---|---|---|---|
| Recocido cuidadoso | 10¹⁰ | 10 km | 10 µm |
| Recocido corriente | 10¹² | 1000 km | 1 µm |
| Trabajado en frío | 10¹⁵ | 1 000 000 km | 32 nm |
| Acritado al límite | 10¹⁶ | 10 000 000 km | 10 nm |
Un centímetro cúbico de cobre martilleado contiene un millón de kilómetros de línea de dislocación: dos veces y media la distancia a la Luna, en un dedal. Y la última columna es la que explica el módulo entero: al meter dislocaciones, la separación entre ellas cae de 10 µm a 10 nm — de cuarenta mil distancias atómicas a cuarenta—. A esa distancia dejan de ignorarse: los campos de deformación de unas empujan a las otras, y moverlas vuelve a costar caro. El defecto que arruinó la resistencia también la devuelve, si se meten los suficientes.
El interactivo de arriba pone número a esa frase con la ley de Taylor, , que es la relación empírica —confirmada por el propio Taylor en 1934— entre la densidad de dislocaciones y lo que aguanta el metal. Súbela al máximo y mira cómo el factor 218 del cobre se hunde hasta 21.
Problema. Un clip pesa un gramo y el acero tiene una densidad de 7,874 g/cm³. ¿Cuánta línea de dislocación hay dentro de un clip recién recocido (10¹² m⁻²)? ¿Y después de doblarlo y desdoblarlo hasta que se pone duro (10¹⁵ m⁻²)?
Solución. El clip ocupa 1 / 7,874 = 0,127 cm³ = 1,27 × 10⁻⁷ m³. La densidad de dislocaciones es longitud partido por volumen, así que la longitud es el producto:
Y con 10¹⁵ m⁻², mil veces más: 127 000 km.
Resultado. Un clip recocido lleva dentro 127 kilómetros de defecto lineal, y uno trabajado, 127 000 — un tercio de la distancia a la Luna, en algo que cabe en la palma de la mano. Merece la pena parar en lo que significa: no existe la pieza de metal sin defectos. Ni una. La pregunta técnica nunca es si los hay, sino cuántos y cómo están colocados, porque de eso —y no de qué átomo sea— dependen la mitad de las propiedades que hacen útil a un material. Y hay una consecuencia doméstica: doblar un alambre muchas veces por el mismo sitio lo endurece hasta que se parte, y ahora sabes que lo que has fabricado ahí son kilómetros de dislocación atascada.
Por qué un metal se dobla y un cristal de sal no
Si las dislocaciones existen en todos los cristales, ¿por qué sólo los metales son dúctiles? Porque tener el defecto no basta: hay que poder moverlo. Y ahí manda el tipo de enlace, que es exactamente lo que dejó medido el módulo I.1.
- En un metal, el enlace no tiene dirección: los iones nadan en un fondo común de electrones, y da igual qué vecino toque a cuál. Una dislocación puede avanzar sin que la energía cambie apenas. Además, una red cúbica centrada en las caras ofrece doce sistemas de deslizamiento distintos, así que siempre hay uno bien orientado tire uno como tire.
- En un cristal iónico como la sal, mover un plano medio paso pone cloros enfrente de cloros. La repulsión electrostática lo impide, y el cristal prefiere partirse: eso es la exfoliación del módulo I.1, vista desde dentro.
- En un covalente como el diamante o el silicio, cada enlace apunta a una dirección concreta y a un ángulo fijo de 109,5°. Mover una dislocación exige romper y rehacer enlaces direccionales de 4 a 7 eV, y a temperatura ambiente eso no ocurre: el cristal aguanta elásticamente hasta que una grieta lo parte.
De ahí sale la regla práctica más útil de la ciencia de materiales, y la primera que conviene desconfiar de las apariencias: un material que se dobla tiene dislocaciones móviles; uno que se rompe, no. El vidrio ni siquiera tiene red por la que moverlas, y eso es el artículo 03.
Ejercicios
El módulo de cizalla del aluminio es de 26 GPa y el del wolframio, de 161 GPa: un factor 6,2 entre ellos. Calcula la resistencia teórica de cada uno y compárala con lo que ceden de verdad (8,8 y 275 MPa en cizalla). ¿Qué tienen en común el metal más blando y el más duro de la tabla?
Solución
Aluminio: 26/2π = 4,14 GPa frente a 8,8 MPa, factor 473. Wolframio: 161/2π = 25,6 GPa frente a 275 MPa, factor 93. Lo que tienen en común es justamente lo que había que ver: los dos fallan por un factor de cientos, aunque uno es seis veces más rígido que el otro y aguanta treinta veces más. Si el problema fuera que a algunos metales les falta pegamento, el factor variaría con la rigidez; se mueve, pero mucho menos que las magnitudes que lo forman. Eso deja una sola posibilidad: el mecanismo que gobierna la deformación real no es el mismo que el que calculó Frenkel, y es común a todos.
La segunda lección está en el orden de las columnas. El wolframio es el que menos se aleja de su techo, y no por casualidad: su enlace tiene un resto covalente que dificulta el movimiento de las dislocaciones. Cuanto más difícil es moverlas, más se parece el metal a lo que la teoría predecía — y más frágil es. Nada sale gratis.
Un bigote de cobre aguanta el 4 % de su módulo de cizalla. ¿Cuántas veces más que un cable de cobre normal? Y la pregunta de verdad: si son tan fuertes, ¿por qué no está hecho de bigotes el puente por el que pasas cada día?
Solución
0,04 × 48 GPa = 1,92 GPa, que dividido por los 35 MPa del cobre recocido da 55 veces. Y no se construye con ellos por dos razones, una técnica y otra conceptual.
La técnica: un bigote mide micras de grosor y milímetros de largo. Para hacer un tirante habría que pegar millones, y el pegamento —y las superficies entre ellos— sería lo que decide la resistencia del conjunto. Es el problema real de los materiales compuestos, y por eso una fibra de carbono de 4 GPa da un laminado de 600 MPa.
La conceptual, que es la que hay que llevarse: un bigote es fuerte hasta que deja de serlo, y entonces se rompe en seco. Como no tiene dislocaciones, tampoco tiene manera de deformarse plásticamente: no avisa, no se estira, no reparte la carga. En una viga de acero, ceder localmente es una virtud — el material se deforma, avisa y redistribuye el esfuerzo. La ingeniería no quiere el material más fuerte posible; quiere el más fuerte que además perdone. Esa distinción vuelve en el artículo 04 con su nombre: tenacidad.
Con una densidad de dislocaciones de 10¹⁵ m⁻², la separación media entre ellas es . Calcúlala y exprésala en distancias entre átomos de cobre (el vector de Burgers vale 2,556 Å). ¿Por qué esa cifra explica que el metal se ponga duro?
Solución
1/√(10¹⁵) = 3,16 × 10⁻⁸ m = 32 nm, que son 32 × 10⁻⁹ / 2,556 × 10⁻¹⁰ = 124 distancias atómicas. Y ahí está la explicación: una dislocación deforma la red a su alrededor en un radio de decenas de átomos, así que a 124 átomos de distancia ya se están tocando. Cada una se mueve dentro del campo de tensiones de las demás, y lo que era un paseo se convierte en abrirse camino a codazos.
La segunda lección es que esto se puede comprobar sin microscopio. La ley de Taylor dice que la tensión necesaria crece como , es decir, como el inverso de la separación: multiplicar por mil la densidad multiplica por treinta y dos la resistencia. Y el dato de catálogo lo confirma — el cobre pasa de 69 MPa recocido a 310 MPa acritado, un factor 4,5 que la ley de Taylor reproduce con ρ = 7,5 × 10¹⁴ m⁻², justo el valor que se mide en un metal trabajado en frío. Dos caminos independientes, el mismo número.