Coge un grano de sal de la cocina. Mide unas tres décimas de milímetro y dentro hay 1,2 × 10¹⁸ iones —tantos como estrellas hay en diez millones de galaxias como la Vía Láctea— colocados en filas rectas que se cruzan en ángulo recto, con 532 000 celdas por arista. Nadie los colocó: se ordenaron solos al evaporarse el agua. Este artículo va de por qué la materia hace eso, y de la consecuencia más útil: que si sabes cómo es la caja que se repite, sabes cuánto pesa el material.
Un cristal es una caja copiada millones de veces. Si sabes qué caja es y cuánto mide, sabes cuánto pesa el material entero: ρ = n·M/(NA·a³). El parámetro de red a lo mide un difractómetro de rayos X y la densidad la mide una balanza; son dos experimentos que no se hablan, y tienen que dar lo mismo. Elige material y mira la diferencia.
Una cara del cubo, a escala. Los círculos son los átomos con su radio real, que no cambia al estirar la red.
Con el parámetro medido, Cu sale a 8.935 g/cm³ y la balanza dice 8.960: coinciden dentro del 0.28 %. Contar átomos en una caja de 3.615 Å reproduce el peso de un lingote — metal, un electrón por átomo. El 74.0 % de espacio ocupado es lo que cabe cuando los átomos se tocan.
Estructura cúbica centrada en las caras. Parámetros de red y densidades: valores de referencia a 300 K (argón sólido a 4 K); masa molar de la IUPAC; NA = 6,022 × 10²³ mol⁻¹ (CODATA 2022).
Ordenarse sale barato
La razón de que exista el orden cristalino cabe en una frase: un átomo rodeado de doce vecinos está más ligado que uno rodeado de ocho, y si cada enlace resta energía, la naturaleza prefiere la disposición que meta más vecinos alrededor de cada átomo. El número de coordinación —cuántos vecinos toca cada átomo— es lo que se está optimizando, y el resultado es una cuestión de geometría, no de física: ¿cómo se apilan esferas iguales lo más apretadas posible?
La respuesta la conocen los fruteros desde siempre y la demostró Thomas Hales en 1998: la fracción de empaquetamiento máxima es
el 74,05 % del espacio, con doce vecinos por átomo. Es lo que hace el cobre, el aluminio, el oro, la plata y el argón sólido. Otras estructuras dejan más hueco:
| Estructura | Vecinos | Espacio ocupado | Ejemplos |
|---|---|---|---|
| Cúbica centrada en las caras | 12 | 74,05 % | Cu, Al, Au, Ag, Pb, Ar |
| Cúbica centrada en el cuerpo | 8 | 68,02 % | Fe, W, Na, Cr |
| Cúbica simple | 6 | 52,36 % | polonio, y poco más |
| Del diamante | 4 | 34,01 % | C, Si, Ge |
La última fila es la interesante, porque parece un fracaso: el diamante, el material más duro que se conoce, desperdicia dos tercios del espacio. La explicación está en el artículo 01: su enlace covalente es direccional. Cada carbono comparte electrones con otros cuatro en direcciones fijas, a 109,5° unas de otras, y esa geometría no se negocia por mucho hueco que deje. El resultado es un sólido con la mitad de vecinos que el cobre y tres veces su rigidez. El empaquetamiento no mide la dureza: mide cuánto le importa a cada material la dirección de sus enlaces.
La celda unidad pesa el material
Un cristal es una caja repetida. Esa caja es la celda unidad, su tamaño es el parámetro de red , y dentro hay un número fijo de átomos que impone la estructura: 4 en la cúbica centrada en las caras, 2 en la centrada en el cuerpo, 8 en la del diamante. De ahí sale la fórmula que ata la escala atómica con la báscula del laboratorio:
con átomos por celda, la masa de un mol y el número de Avogadro. Lo notable no es la fórmula, es que funciona con datos que nadie ha ajustado: el parámetro de red se mide con difracción de rayos X y la densidad, con una balanza y un vaso de agua. Son dos experimentos que no se hablan.
Problema. El cobre es cúbico centrado en las caras con Å y masa molar 63,546 g/mol. Calcula su densidad y compárala con la que mide una balanza, 8,96 g/cm³.
Solución. Cuatro átomos por celda, y el ångström es 10⁻⁸ cm:
Resultado. 8,935 frente a 8,96 g/cm³: un 0,28 % de diferencia. Piensa en lo que acaba de pasar. Hemos medido una distancia de tres diezmilmillonésimas de metro con rayos X, hemos supuesto que esa distancia se repite idéntica 2 × 10²² veces por centímetro cúbico, y el resultado reproduce lo que pesa un lingote que puedes sostener. La diferencia del 0,3 % no es un error de cálculo: es que el parámetro de red se midió a 291 K y la densidad a otra temperatura, y que el cobre real tiene huecos y fronteras de grano. El interactivo de arriba repite la comparación para ocho materiales, y el guion de verificación del módulo para doce — ninguno se sale del 0,3 %.
El orden se ve a simple vista
Lo asombroso del orden cristalino es que sobrevive al cambio de escala. Mira un grano de sal con una lupa y verás un cubo, con caras planas y aristas rectas. Ese cubo macroscópico es la sombra directa de la celda cúbica de 5,6402 Å: los iones de sodio y cloro se alternan como las casillas de un tablero tridimensional, y el cristal crece añadiendo capas completas.
La exfoliación es la otra cara del mismo hecho. Un cristal de sal no se rompe por donde quieras: se parte por planos concretos, los que separan capas enteras de iones sin cortar demasiados enlaces. Por eso la sal se parte en cubos más pequeños y la mica se pela en láminas transparentes. Un vidrio, en cambio, se rompe en trozos con forma de concha, sin dirección preferida — y esa diferencia visible a simple vista es un diagnóstico de si hay orden dentro.
Problema. Un grano de sal de mesa es un cubo de unas 0,3 mm de arista. Su celda unidad mide 5,6402 Å y contiene 4 sodios y 4 cloros. ¿Cuántos iones hay en el grano? Comprueba el resultado por un camino completamente distinto.
Solución. Por arista caben 0,3 mm / 5,6402 Å = 5,32 × 10⁵ celdas, así que el grano tiene (5,32 × 10⁵)³ = 1,51 × 10¹⁷ celdas y, a ocho iones por celda, 1,20 × 10¹⁸ iones.
El segundo camino no usa la celda para nada: el grano pesa 2,165 g/cm³ × (0,03 cm)³ = 5,85 × 10⁻⁵ g, que dividido por 58,443 g/mol y multiplicado por el número de Avogadro da 6,02 × 10¹⁷ pares, es decir 1,20 × 10¹⁸ iones. Coinciden en el 0,07 %.
Resultado. 1,2 × 10¹⁸ iones, y dos rutas independientes que dan lo mismo. Ése es el sentido operativo de «verificar» en este sitio: un número calculado una vez está escrito con más decimales; un número calculado por dos caminos está comprobado. Y de propina, la escala: si contaras un ion por segundo tardarías treinta y ocho mil millones de años —casi tres veces la edad del universo— en terminar un grano de sal.
Y cuando no se ordena: el vidrio
No toda la materia sólida se ordena. Si enfrías un líquido tan deprisa que sus átomos no tienen tiempo de encontrar su sitio, se quedan congelados donde estaban: eso es un sólido amorfo, y el vidrio de una ventana es el ejemplo de manual. Sus átomos de silicio y oxígeno mantienen el orden local —cada silicio sigue rodeado de cuatro oxígenos— pero pierden cualquier regularidad a larga distancia. Un difractómetro lo distingue en un segundo: donde un cristal da picos afilados, un vidrio da un halo difuso.
Las vidrieras góticas no son más gruesas abajo porque el vidrio fluya. El argumento popular dice que el vidrio es «un líquido muy lento» y que en setecientos años ha escurrido. La forma correcta de desmontarlo no es negarlo: es calcular cuánto tardaría. Zanotto y Gupta hicieron ese cálculo en 1998 extrapolando la viscosidad medida del vidrio de ventana, y el tiempo de relajación a 20 °C sale de 10²³ años: siete billones de veces la edad del universo. Con esa constante, una vidriera de 3 mm de espesor se habría desplazado en setecientos años unos 2 × 10⁻²³ metros — una diezbillonésima parte del diámetro de un átomo. No es que sea difícil de medir: es que no ocurre.
La explicación de verdad es industrial. El vidrio medieval se soplaba en discos o cilindros que se abrían y aplanaban a mano, y salía con espesor desigual; el vidriero apoyaba el borde grueso abajo, que es lo sensato para que la hoja no se venza. Y la prueba que zanja el asunto: cuando se han medido vidrieras antiguas, algunas son más gruesas arriba. Si el culpable fuera la gravedad, eso no podría pasar nunca.
Los cristales no curan nada, y a la vez hacen algo asombroso. Merece la pena separar las dos afirmaciones, porque la industria del cristal curativo se apoya en confundirlas. No hay ningún mecanismo ni ninguna medida que respalde que un cuarzo colocado sobre una persona afecte a su salud: si lo hubiera, se mediría, porque medir campos débiles es de lo que mejor sabe hacer la física. Lo que sí hace un cuarzo, y es de verdad extraordinario, es piezoelectricidad: apriétalo y aparece un voltaje entre sus caras; aplícale un voltaje y se deforma. Con eso se construye un oscilador que vibra 32 768 veces por segundo —2¹⁵, elegido para que quince divisiones por dos den un tictac de exactamente un segundo— con una estabilidad de 20 partes por millón, unos diez minutos de deriva al año. El reloj que llevas en la muñeca funciona con la energía de un cristal. Sólo que se puede medir, y sale en hercios.
Ejercicios
El hierro a temperatura ambiente es cúbico centrado en el cuerpo con Å y 2 átomos por celda; su masa molar es 55,845 g/mol. Calcula su densidad y compárala con los 7,874 g/cm³ tabulados. Después contesta: ¿cuánto vale el radio de un átomo de hierro?
Solución
ρ = 2 × 55,845 / (6,022 × 10²³ × (2,8665 × 10⁻⁸)³) = 7,874 g/cm³, clavado al 0,003 %. Para el radio hay que pensar dónde se tocan los átomos: en una red centrada en el cuerpo no es a lo largo de la arista, sino de la diagonal del cubo, que mide y contiene cuatro radios. Luego r = a√3/4 = 1,241 Å, que es el radio metálico tabulado del hierro (1,24 Å). La segunda lección: en un cristal, «radio atómico» no es una propiedad del átomo aislado, es la mitad de la distancia a la que se quedan dos vecinos — y por eso el mismo hierro tiene un radio distinto según en qué estructura esté.
El silicio tiene 8 átomos por celda en un cubo de 5,4307 Å. ¿Cuántos átomos de silicio hay en un centímetro cúbico? Compáralo con los átomos que hay en un cm³ de cobre (8,49 × 10²²) y explica la diferencia sin usar la palabra «peso».
Solución
8 / (5,4307 × 10⁻⁸ cm)³ = 4,99 × 10²² átomos/cm³, un 41 % menos que el cobre. La razón no es la masa —la pregunta prohibía esa palabra a propósito—, es el empaquetamiento: el silicio ocupa el 34 % del espacio y el cobre el 74 %, así que en el mismo volumen caben menos átomos de silicio aunque cada uno sea más pequeño que uno de cobre. Este número, 5,0 × 10²², es de los que conviene memorizar: aparecerá en el artículo 04 al hablar de dopado, donde «una impureza por millón de átomos» significará exactamente 5 × 10¹⁶ impurezas por centímetro cúbico.
Una compañía vende «agua estructurada» afirmando que sus moléculas mantienen un orden cristalino a temperatura ambiente. Con lo que sabes del artículo 01 y de éste, ¿qué preguntarías para comprobarlo, y qué esperas que salga?
Solución
La pregunta correcta es cuánta energía sostiene ese orden. Los puentes de hidrógeno del agua valen unos 0,2 eV, ocho veces la agitación térmica de 0,0259 eV a 300 K; por eso el hielo existe, pero sólo por debajo de 0 °C, donde la agitación baja lo justo. A 20 °C esos enlaces se rompen y rehacen en picosegundos: el orden dura una billonésima de segundo, no el tiempo de llegar de la fábrica a tu casa. Y hay una comprobación experimental que zanja la discusión en una tarde, la misma que distingue un vidrio de un cristal: difracción. Un líquido ordenado daría picos; el agua da un halo difuso, embotellada o no. Fíjate en el método, que vale para el resto de tu vida: no se rebate una afirmación extraordinaria con desprecio, se le pide el número y se mira si aguanta.