Sólo tres metales se pegan a la nevera

De los 118 elementos de la tabla periódica, tres se pegan a un imán a temperatura ambiente: hierro, cobalto y níquel. Un cuarto, el gadolinio, lo hace por debajo de 19 °C, así que en una habitación caldeada ya no. Y sin embargo el ingrediente básico del magnetismo —un electrón desapareado, que es un imán en sí mismo— lo tienen decenas de elementos, casi todos los metales de transición y todas las tierras raras. Hay materia prima de sobra y casi ningún imán. Este artículo va del número que explica esa desproporción, que es una comparación de energías, y de las tres maneras muy distintas en que un material puede responder a un campo — dos de ellas tan débiles que hacen falta 16 teslas para verlas.

Prerrequisitos: del módulo I.1, tres cosas: que la energía térmica vale 25,9 meV a 300 K y que es la vara de medir de todo lo que pasa dentro de un sólido, el principio de exclusión de Pauli, y que en un metal hay del orden de un electrón suelto por átomo. Del Termario, sólo la idea de que la temperatura es agitación. Nada de los módulos I.2 ni I.3.

El imán que se rinde al calor

Un átomo de hierro tiene el mismo momento magnético dentro de un imán que dentro de un clip: 2,22 magnetones de Bohr. Lo que cambia es si sus vecinos lo obligan a apuntar en la misma dirección. Aprieta sin canje para quitar esa obligación sin tocar el átomo, y mira lo que queda.

Interacción

Temperatura: 300 K (27 °C) Campo aplicado: 0.0 T (la Tierra da 0,00005 T; una resonancia magnética, 3)

040080012001600

Imanación en fracción de la de saturación (arriba, 100 %; la línea de en medio es el 50 %) frente a la temperatura en kelvin. El punto es dónde estás.

Imanación M/M_s 99.33 %

μ₀M 2.182 T

Al tacto de un imán imán

Saturación μ₀M_s 2.197 T

Átomos por m³ 8,49 × 10²⁸

Temperatura de Curie 1043 K

A 300 K el hierro está prácticamente saturado: 99.3 % de sus momentos apuntan a la vez, y eso son 2.18 T de imanación sin campo aplicado que lo sostenga. El campo que hace ese trabajo no existe fuera del material: es el campo molecular de Weiss, del orden de mil teslas, y no es magnético — es la interacción de canje disfrazada de campo. El único de los tres barato. Todo el acero del mundo, todos los transformadores y todos los motores viven de estos 1043 K.

Parámetros de red, momento por átomo y temperaturas de Curie de Kittel, Introduction to Solid State Physics, tablas de los capítulos 1 y 12. μ_B = 9,274 × 10⁻²⁴ J/T y μ₀ salen de src/data/constants.ts (CODATA 2022), no se copian. M_s se calcula desde la celda y coincide con la medida a 0 K dentro del 0,7 % en el hierro, el cobalto y el níquel; en el gadolinio se pasa un 4 %, porque su momento tabulado incluye la polarización de los electrones de conducción. Campo medio de Weiss con función de Brillouin: acierta la forma y la existencia de T_C, y no acierta ni los exponentes críticos justo en la transición ni la caída a temperatura baja, donde se pasa algo —da un 99,3 % a 300 K y se mide un 98,1 %— porque ignora las ondas de espín.

Cada electrón desapareado es un imán, y se sabe cuánto

Un electrón tiene momento magnético por dos motivos: porque orbita y porque tiene espín. En un sólido lo primero suele estar bloqueado por el campo eléctrico de los vecinos, así que lo que queda es el espín, y su momento vale exactamente un magnetón de Bohr:

\mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} = 9{,}274\times10^{-24}\ \text{J/T}.

Ahí no hay ninguna propiedad del material: sólo la carga del electrón, su masa y la constante de Planck. Es la unidad natural en la que se mide el magnetismo de la materia, igual que el electronvoltio lo es de la energía química.

Los electrones tienden a emparejarse con el espín opuesto y a cancelarse, así que sólo cuentan los que se quedan solos. Una capa d o f a medio llenar los deja solos por las buenas —cabrían diez electrones en una capa d y hay ocho—, y de ahí que los metales de transición y las tierras raras sean el sitio donde vive el magnetismo. En el hierro metálico salen 2,22 μ_B por átomo; en el cobalto, 1,72; en el níquel, 0,606.

Que esos números no sean enteros es la primera pista de que dentro de un metal no hay «átomos con dos espines desapareados» sino bandas medio llenas, que es el asunto del módulo II.6. Aquí se toman como el dato que son. Y con ellos ya se puede calcular algo comprobable: si todos los momentos del hierro apuntaran a la vez, la imanación de saturación valdría

M_s = n\,m = \frac{2}{a^3}\times 2{,}22\,\mu_B = 1{,}75\times10^{6}\ \text{A/m},

con los dos átomos por celda unidad y el parámetro de red $a = 2{,}8665$ Å de la estructura cúbica centrada en el cuerpo del hierro. En unidades de inducción, $\mu_0 M_s = 2{,}20$ T. Lo que se mide en un magnetómetro a temperatura cero son 2,186 T: un 0,5 % de diferencia entre un experimento de difracción de rayos X y otro de magnetometría, que no tienen nada que ver entre sí. Es la misma comprobación cruzada con la que el módulo I.1 ataba las densidades a las celdas, y sigue funcionando.

Tres respuestas al campo, y once órdenes de magnitud entre ellas

Todo material responde a un campo magnético. La pregunta es cuánto, y con qué signo. La magnitud que lo dice es la susceptibilidad magnética $\chi$ , definida por $M = \chi H$ , y hay exactamente tres comportamientos:

diamagnetismo. Lo tiene toda la materia, tenga momentos o no: el campo aplicado induce corrientes en las nubes electrónicas que se oponen a él, y el material es empujado hacia donde el campo es más débil. $\chi$ es negativa y del orden de 10⁻⁵.
paramagnetismo. Aparece cuando hay momentos sueltos: el campo los alinea un poco y la agitación los desordena. $\chi$ es positiva y del orden de 10⁻⁵ también — apenas mayor que el diamagnetismo que la acompaña, y de hecho el paramagnetismo se define como lo que gana al diamagnetismo de fondo.
ferromagnetismo. Los momentos se alinean solos, sin campo aplicado, porque unos obligan a otros. Aquí $\chi$ deja de ser un número pequeño y de hecho deja de ser un número: depende del campo y de la historia. Del orden de 5000 en un hierro dulce.

Material	$\chi$ (SI, volumen)	Qué es
Grafito pirolítico (⊥ planos)	−4,5 × 10⁻⁴	el diamagnético más fuerte, sin contar superconductores
Bismuto	−1,66 × 10⁻⁴	diamagnético
Cobre	−9,63 × 10⁻⁶	diamagnético
Agua	−9,05 × 10⁻⁶	diamagnético
Nitrógeno líquido	−4,35 × 10⁻⁶	diamagnético
Oxígeno gaseoso (20 °C)	+1,80 × 10⁻⁶	paramagnético
Aluminio	+2,2 × 10⁻⁵	paramagnético
Platino	+2,79 × 10⁻⁴	paramagnético
Oxígeno líquido (90 K)	+3,5 × 10⁻³	paramagnético
Hierro dulce	≈ +5 × 10³	ferromagnético
Mumetal	≈ +1 × 10⁵	ferromagnético

Léela como una escala y no como una lista. Entre el bismuto y el mumetal hay nueve órdenes de magnitud, y la frontera no está en el medio: está entre el oxígeno líquido y el hierro, donde se salta de 10⁻³ a 10³ de golpe. Todo lo que hay por encima de esa raya lo produce un mecanismo distinto, y ese mecanismo es el artículo 02. Todo lo que hay por debajo —el 99 % de la materia— responde tan poco que hace falta un imán de laboratorio para notarlo.

Ejemplo resuelto 1 · La ley de Curie predice el oxígeno del aire

Problema. La molécula de oxígeno tiene dos electrones desapareados, es decir espín $S = 1$ y momento efectivo $\mu_{\text{ef}} = 2\sqrt{S(S+1)}\,\mu_B = 2{,}83\,\mu_B$ . Predice su susceptibilidad a 20 °C y 1 atm, sin usar ningún dato magnético medido, y compárala con la tabulada.

Solución. La ley de Curie sale de comparar la energía de alineamiento con la de agitación:

\chi = \frac{n\,\mu_0\,\mu_{\text{ef}}^2}{3k_BT}.

La densidad de moléculas es la de cualquier gas, $n = P/k_BT = 2{,}50\times10^{25}$ m⁻³ a 20 °C y 101 325 Pa. Sustituyendo: $\chi = 1{,}78\times10^{-6}$ . El valor de tablas es 1,80 × 10⁻⁶.

Resultado. Un 1 % de diferencia sin ajustar nada, y la comprobación se puede repetir con el aire: si el oxígeno es el 20,95 % de lo que respiramos y el resto es prácticamente diamagnético, el aire debería dar +3,7 × 10⁻⁷ y se tabula +3,6 × 10⁻⁷. Lo que esto valida no es la fórmula sino la escala: que el magnetismo de la materia se juega en el cociente entre $\mu_B B$ y $k_B T$ , y que ese cociente basta para acertar un número medido. Merece la pena retener el corolario práctico: el aire es paramagnético, y lo es porque el oxígeno lo es. Un imán lo suficientemente bueno separa el aire en sus componentes, y ése es el principio de los analizadores de oxígeno paramagnéticos que llevan los respiradores de un hospital.

El número que hunde al paramagnetismo

Con un momento de un magnetón en un campo de 1 T, la energía que se gana alineándose es

\mu_B B = 9{,}274\times10^{-24}\ \text{J} = 0{,}0579\ \text{meV}.

Y la energía que tiene disponible la agitación para desordenarlo a 300 K son $k_BT = 25{,}9$ meV. El cociente es 447. Traducido: en un tesla —que es un campo enorme, veinte mil veces el terrestre— sólo se alinea el 0,22 % de los momentos. El otro 99,78 % apunta a donde le da la gana.

Y la manera de arreglarlo no existe. Para alinear la mitad harían falta 245 T, cinco veces y media el imán continuo más potente que se ha construido nunca —los 45,5 T del laboratorio de campos intensos de Florida, en 2019—; o bien bajar a 1,22 K manteniendo el tesla. Ninguna de las dos cosas está en una nevera.

Campo	$B$	Momentos alineados
El campo terrestre	5 × 10⁻⁵ T	0,000011 %
Un imán flexible de nevera, en la cara	0,005 T	0,0011 %
Un disco de ferrita, en la cara	0,2 T	0,045 %
Un disco de neodimio, en la cara	0,45 T	0,10 %
Una resonancia magnética clínica	3 T	0,67 %
El imán continuo más potente (2019)	45,5 T	10,2 %
Pulso destructivo, récord absoluto (2018)	1200 T	99,1 %

La última fila es la que cierra el argumento. Para saturar un paramagnético a temperatura ambiente hay que llegar a mil teslas, y el único sitio donde eso ha ocurrido es un experimento de Tokio de 2018 que comprime el campo con explosivos y destruye el aparato en cada disparo. Un imán de nevera, en cambio, saca 0,2 T y se queda pegado. Así que el ferromagnetismo no puede ser «paramagnetismo con más momentos»: tiene que ser otra cosa.

La rana que levitó. El diamagnetismo es tan débil que parece inútil, y sin embargo con él se levita. En 1997, en el laboratorio de campos intensos de Nimega, Andre Geim y Michael Berry hicieron flotar una rana viva —y antes, una fresa, un saltamontes y una gota de agua— en un imán de 16 T. La condición de equilibrio es que la fuerza magnética por unidad de volumen iguale al peso:

\frac{\chi}{\mu_0}\,B\,\frac{dB}{dz} = \rho g \quad\Longrightarrow\quad B\,\frac{dB}{dz} = \frac{\mu_0\rho g}{|\chi|} = 1362\ \text{T}^2/\text{m}

para el agua, que es de lo que está hecha una rana en un 80 %. A 16 T eso exige un gradiente de 85 T/m, y el imán de Nimega da del orden de 100. No es antigravedad ni es un truco: es la susceptibilidad de la tabla de arriba, −9,05 × 10⁻⁶, multiplicada por un campo bestial. Geim recibió por ello el Ig Nobel en 2000 y, trece años después de la rana, el Nobel de verdad por el grafeno.

Ejemplo resuelto 2 · Por qué se levita una rana y no una moneda de aluminio

Problema. El aluminio es paramagnético con $\chi = +2{,}2\times10^{-5}$ , más del doble en valor absoluto que el agua. Calcula el $B\,dB/dz$ que necesitaría para levitar y explica por qué, a pesar de ese número, nadie ha levitado nunca un trozo de aluminio de esta manera.

Solución. Con la misma condición del callout, y con $\rho = 2700$ kg/m³:

B\,\frac{dB}{dz} = \frac{\mu_0 \times 2700 \times 9{,}81}{2{,}2\times10^{-5}} = 1513\ \text{T}^2/\text{m},

apenas un 11 % más que los 1362 del agua. En números, levitar aluminio cuesta casi lo mismo. Pero el signo de $\chi$ es contrario, y eso cambia hacia dónde empuja la fuerza: un diamagnético es expulsado hacia donde $|B|$ es mínimo, y un paramagnético es atraído hacia donde es máximo.

Resultado. Un máximo de campo en el vacío no existe. Lo demostró Samuel Earnshaw en 1842 partiendo de las ecuaciones del campo: en una región sin fuentes, $|B|$ puede tener mínimos pero nunca un máximo local. Así que el diamagnético tiene dónde caerse y el paramagnético no: por muy fuerte que sea la atracción, siempre encontrará una dirección por la que escaparse hacia el imán. La levitación diamagnética es estable y la paramagnética es imposible, y la diferencia no está en la magnitud de la fuerza sino en un teorema sobre la forma que puede tener un campo. Es la misma razón por la que dos imanes permanentes no se pueden equilibrar quietos en el aire uno sobre otro, y por la que todo lo que parece hacerlo —un tren de levitación, una peonza flotante— o gira, o se apoya en algo, o lleva electrónica corrigiendo mil veces por segundo.

Ejercicios

Ejercicio 1

Pegas un trozo de aluminio a un imán de neodimio que da 0,45 T en su cara. ¿Qué fracción de los momentos del aluminio se alinea? ¿Qué campo haría falta para alinearlos todos a 300 K? Y con eso, decide si el aluminio «no es magnético» o si es otra cosa.

Solución

Con $x = \mu_B B/k_BT$ y la fracción $\tanh x$ : a 0,45 T y 300 K sale 0,10 %, uno de cada mil. Para llegar al 99 % harían falta $x = 2{,}65$ , es decir 1180 T: el orden de magnitud del récord absoluto destructivo. El aluminio sí es magnético — tiene momentos y el campo los alinea — pero la agitación térmica gana por un factor 447 y lo que queda es una milésima de nada.

Con una salvedad que conviene dejar dicha, porque el aluminio es un metal y esta cuenta se le queda grande. Si de verdad tuviera un momento suelto de un magnetón por átomo, la ley de Curie le daría $\chi = 1{,}6\times10^{-3}$ , y se miden 2,2 × 10⁻⁵: setenta veces menos. La razón es el principio de exclusión otra vez: en un metal los momentos no son de átomos sueltos sino de la banda de conducción, y girar el espín de un electrón lo obliga a un estado que casi siempre está ocupado, así que sólo pueden responder los que están junto al nivel de Fermi. El veredicto no cambia —el aluminio no se pega— pero el número honrado es setenta veces menor todavía.

La segunda lección es sobre la palabra «magnético», que en la conversación corriente significa «se pega a un imán» y en física significa otra cosa. Todo material responde; lo que separa al hierro no es tener momentos sino tener un mecanismo que los alinee sin campo aplicado. Y conviene retener el corolario, porque tiene truco: el aluminio de una lata de refresco sí reacciona a un imán, y con fuerza, pero por un motivo completamente distinto — un imán que cae por dentro de un tubo de aluminio se frena por las corrientes de Foucault que induce, que son un efecto de la conductividad y no del magnetismo del material. Los separadores de aluminio de las plantas de reciclaje viven de eso.

Ejercicio 2

El oxígeno líquido se queda colgando entre los polos de un imán potente, como si fuera un puente. El nitrógeno líquido, en el mismo imán, no hace nada. Con $\chi$ = +3,5 × 10⁻³ y −4,35 × 10⁻⁶ de la tabla, cuantifica la diferencia y explica por qué dos gases del mismo aire se comportan de forma tan distinta.

Solución

El cociente en valor absoluto es 805, y además cambian de signo: el oxígeno es atraído y el nitrógeno, repelido. La razón está en la estructura electrónica y es de las pocas veces que una regla de química se ve a simple vista: la molécula de N₂ tiene todos sus electrones emparejados y momento cero, y la de O₂ se queda con dos electrones desapareados —es un birradical— por cómo se llenan sus orbitales moleculares. Uno tiene momentos y el otro no.

La segunda lección está en el factor que no se ve: la temperatura. El oxígeno líquido está a 90 K, no a 300, y la ley de Curie va como $1/T$ , así que sólo por estar frío gana un factor 3,3 respecto al mismo oxígeno a temperatura ambiente. Súmale que la densidad de moléculas del líquido es 860 veces la del gas y tienes los tres órdenes de magnitud que separan el gas del líquido. Y una honestidad que conviene dejar dicha: la ley de Curie se pasa con el oxígeno líquido —predice 5,0 × 10⁻³ y se miden 3,5 × 10⁻³, un 42 % de más— porque en el líquido las moléculas están tan juntas que empiezan a acoplarse entre ellas, en sentido contrario. Cuando una ley de partículas independientes falla, casi siempre es que las partículas han dejado de ser independientes; ése es literalmente el tema del artículo 02.

Ejercicio 3

Una resonancia magnética funciona alineando los espines de los protones del agua del cuerpo. El momento del protón es $\mu_p = 1{,}411\times10^{-26}$ J/T, seiscientas cincuenta y ocho veces menor que el del electrón —el cociente de las masas no, que es 1836: el protón tiene además un factor g de 5,59 en vez de 2—. Calcula qué fracción de los protones se alinea en un aparato de 3 T a 37 °C, y explica cómo puede salir una imagen de ahí.

Solución

$x = \mu_p B/k_BT = 1{,}411\times10^{-26}\times 3/(1{,}381\times10^{-23}\times310) = 9{,}9\times10^{-6}$ : se alinea uno de cada 101 000 protones, un 0,00099 %. Es un desequilibrio ridículo. Y sale imagen porque lo que sobra es población: un milímetro cúbico de agua contiene 6,7 × 10¹⁹ protones, de modo que ese uno entre cien mil son todavía 6,6 × 10¹⁴ protones netos apuntando en la misma dirección dentro del vóxel más pequeño que la máquina distingue.

La segunda lección es metodológica y vale para todo el módulo. Una fracción minúscula multiplicada por un número de Avogadro sigue siendo un número grande, y por eso preguntarse «¿es mucho o poco?» sin preguntarse «¿de cuántos?» lleva sistemáticamente al error. Es la misma aritmética que hacía funcionar el dopado del módulo I.1 —una parte por millón de fósforo son 5 × 10¹⁶ átomos por centímetro cúbico— y la que explica que una resonancia necesite un imán de tres teslas refrigerado con helio líquido para arrancarle señal a una parte en cien mil.