Un acero de ejes lleva un 0,4 % de carbono en peso. En átomos eso es uno de cada 54, y en volumen, uno por cada veintisiete celdas unidad: un átomo de carbono en cada cubito de tres celdas de arista, 0,86 nanómetros. Con esa cantidad ridícula, el hierro pasa de doblarse con la mano a cortar otro metal. Este artículo va de por qué, y la respuesta se resume en una frase que vale para el acero, para el latón, para el duraluminio y para el alambre de una percha: endurecer un metal consiste en poner obstáculos a las dislocaciones, y lo que aguanta sale de la distancia entre obstáculos.
Entre los átomos de un metal quedan huecos, y su tamaño no se elige: lo fija la geometría. El que ocupan los átomos pequeños es el octaédrico, que en una red cúbica centrada en las caras mide 0,414 R y en una centrada en el cuerpo, 0,155 R. Elige anfitrión y soluto y mira si entra — y qué hace la red cuando no entra.
A escala. Los dos círculos grises son los átomos del metal que flanquean el hueco octaédrico; la línea de puntos, el hueco disponible; el círculo de color, el soluto. Lo que se sale es la deformación que la red tiene que tragarse.
Aquí está el caso interesante, y es el del carbono en el hierro. r/R = 0.620: demasiado grande para el hueco —se pasa un 301 %— y demasiado pequeño para ocupar el sitio de un átomo, del que difiere un -38 %. Sólo cabe en cantidades minúsculas, y en cuanto se pasa de ahí el sobrante se precipita como un compuesto con red propia: la cementita del acero.
Parámetros de red medidos por difracción de rayos X a 300 K (Fe α = 2.8665 Å, bcc; el hierro de temperatura ambiente, la ferrita); el hierro γ, a 950 °C. El exceso se mide contra el hueco octaédrico, que es el que ocupan los intersticiales incluso en una red centrada en el cuerpo, donde el tetraédrico es mayor: el octaédrico sólo tiene que apartar dos vecinos en vez de cuatro, y sale más barato. Radios de los solutos: covalentes de uso corriente para los pequeños, metálicos para los grandes. Reglas de Hägg (0,59) y de Hume-Rothery (15 %).
El acero es un átomo que no cabe
Un átomo extraño que llega a un metal tiene dos destinos posibles: sentarse en la silla de un átomo de la red —sustitucional— o meterse en un hueco entre átomos —intersticial—. No lo elige él: lo decide su tamaño, y los huecos no son negociables porque los fija la geometría de esferas que se tocan. En una red cúbica centrada en las caras el hueco mayor mide 0,414 ; en una centrada en el cuerpo, sólo 0,291 y el sitio que de verdad usan los intersticiales, el octaédrico, se queda en 0,155 .
Aplicado al hierro, con sus dos estructuras, sale la tabla que explica el acero entero:
| Hierro | Estructura | (Å) | Radio (Å) | Hueco octaédrico | Carbono (0,77 Å) |
|---|---|---|---|---|---|
| Ferrita (α), < 912 °C | bcc | 2,8665 | 1,241 | 0,192 Å | 4,0 veces el hueco |
| Austenita (γ), > 912 °C | fcc | 3,65 | 1,290 | 0,534 Å | 1,44 veces el hueco |
El carbono no cabe en ninguna de las dos. En la austenita se pasa un 44 % y entra a empujones; en la ferrita se pasa un 301 % — es cuatro veces más grande que el sitio que tiene—. Y como el hueco de la austenita es 2,78 veces el de la ferrita, la cantidad de carbono que cada una admite es completamente distinta:
| Fase | Carbono máximo | En átomos | A qué temperatura |
|---|---|---|---|
| Austenita (fcc) | 2,04 % en peso | 1 C por cada 10 Fe | 1146 °C |
| Ferrita (bcc) | 0,02 % en peso | 1 C por cada 1075 Fe | 727 °C |
| Ferrita (bcc) | 0,001 % en peso | 1 C por cada 21 500 Fe | 0 °C |
Un factor cien entre las dos formas del mismo metal, sólo porque una tiene los huecos casi tres veces más grandes. Y de ahí sale la operación central de la metalurgia del acero, que consiste en aprovechar esa diferencia a traición: se calienta el acero por encima de 912 °C para que se vuelva austenita y disuelva el carbono a gusto, y entonces se enfría de golpe en agua o aceite. El hierro se transforma en ferrita —eso lo hace en microsegundos, sin que ningún átomo tenga que viajar—, pero el carbono no tiene tiempo de salir: el artículo 02 dio la cifra, a 300 °C un átomo de carbono avanza diez micras en una hora, y aquí el enfriamiento dura segundos.
El resultado es un carbono atrapado en un hueco cuatro veces menor que él, y la red no puede con ello: se deforma. La celda cúbica se estira en una dirección y se encoge en las otras dos, con una tetragonalidad que se mide y que crece con el carbono, — un 3,6 % de deformación con un 0,8 % de carbono. Eso es la martensita, y es dura por la razón más simple de este módulo: una red así de tensionada no deja pasar una dislocación.
Problema. Los aceros van del 0,05 % al 1,5 % de carbono en peso. Convierte 0,2 % (construcción), 0,4 % (ejes) y 0,8 % (eutectoide) a fracción atómica y a celdas unidad por átomo de carbono. Las masas molares son 12,011 y 55,845 g/mol.
Solución. Para el 0,4 %, en 100 g hay 0,4/12,011 = 0,0333 mol de carbono y 99,6/55,845 = 1,7835 mol de hierro, así que la fracción atómica es
es decir un carbono por cada 54 átomos. Como la celda bcc lleva 2 átomos de hierro, eso es un carbono por cada 27 celdas: un cubito de 3 × 3 × 3 celdas, 0,86 nm de arista. Repitiendo: 0,2 % → 1 de cada 107; 0,8 % → 1 de cada 27.
Resultado. El acero de una viga tiene un átomo extraño por cada ciento siete, y el de una lima, uno por cada veintisiete. Merece la pena decirlo con todas las letras porque es el mito que este artículo desmonta: el acero no es «hierro puro mejorado» ni una aleación en el sentido de mezcla. Es hierro con un defecto puntual metido a propósito en cantidades de una parte en cien, y toda su fama —dos mil años de espadas, doscientos de puentes— sale de un átomo que no cabe en el hueco. Y el contraste que lo remata: el hierro purísimo, sin ese uno por ciento, cede a 90 MPa; se dobla con las manos.
Las cuatro maneras de estorbar una dislocación
Ahora el giro que cierra el módulo. Si un metal es blando porque sus dislocaciones se mueven, endurecerlo sólo puede consistir en una cosa: ponerles obstáculos. Y hay exactamente cuatro clases de obstáculo, porque hay cuatro clases de defecto — que son, una por una, las cuatro que se han ido presentando en este módulo.
| Mecanismo | El obstáculo | Ejemplo con números |
|---|---|---|
| acritura | otras dislocaciones | cobre 69 → 310 MPa (× 4,5) |
| Solución sólida | átomos de tamaño distinto | latón: hasta un 39 % de cinc en la red del cobre |
| Tamaño de grano | fronteras entre cristales | cobre de 1 µm de grano: 145 MPa |
| Precipitados | partículas de otra fase | aluminio 17,5 → 414 MPa (× 24) |
Y lo bonito es que los cuatro son la misma ecuación. Una dislocación que se encuentra con dos obstáculos separados una distancia tiene que curvarse entre ellos para pasar, y curvar una línea con energía por unidad de longitud cuesta una tensión
Da igual qué sean los obstáculos —dislocaciones cruzadas, átomos de soluto, fronteras de grano o precipitados—: sólo cuenta a qué distancia están. Ésa es la ley que gobierna la metalurgia entera, y explica de paso por qué todas las recetas acaban buscando lo mismo, que es meter mucho de algo muy pequeño.
Problema. Con GPa y Å para el cobre, calcula la tensión de cizalla que hace falta para que una dislocación pase entre obstáculos separados 1 µm, 100 nm y 10 nm. Compara con lo que aguanta el cobre recocido y con el duraluminio.
Solución. Aplicando :
y por el mismo camino 123 MPa a 100 nm y 1227 MPa a 10 nm.
Resultado. Dos órdenes de magnitud de resistencia en dos órdenes de magnitud de distancia. Y ahora compara con la realidad: el cobre recocido cede en cizalla a 35 MPa, que corresponde a obstáculos cada 350 nm; el duraluminio 2014-T6 llega a 414 MPa a tracción, o sea 135 en cizalla, lo que exige obstáculos cada 91 nm — y en efecto, sus precipitados de Al₂Cu miden unos 10 nm y están separados unos 100. La fórmula más simple del artículo predice el material industrial con un error del 10 %.
Aquí está además la razón de que la nanotecnología estructural sea un negocio: no hay ninguna magia en un precipitado de diez nanómetros salvo que está cerca del siguiente. Y el límite también se ve — a distancias del orden del nanómetro, alcanza el techo teórico del artículo 01, y ahí ya no hace falta seguir: no queda resistencia por recuperar.
El grano, que es la única receta que no cobra peaje
De las cuatro, la del tamaño de grano merece un apartado propio. Un metal real no es un cristal: es un mosaico de granos, cada uno con la red orientada a su aire, y las fronteras entre ellos detienen a las dislocaciones porque al otro lado los planos de deslizamiento apuntan a otra parte. La relación entre el tamaño de grano y la resistencia se mide desde 1951 y lleva el nombre de sus dos descubridores:
| Tamaño de grano | Cobre ( = 25 MPa, = 0,12) | Acero dulce (70 MPa, 0,74) |
|---|---|---|
| 1 mm | 29 MPa | 93 MPa |
| 100 µm | 37 MPa | 144 MPa |
| 10 µm | 63 MPa | 304 MPa |
| 1 µm | 145 MPa | 810 MPa |
| 100 nm | 404 MPa | 2410 MPa |
Fíjate en la primera columna y en el dato del catálogo: el cobre recocido comercial cede a 70 MPa, y la fórmula dice que eso corresponde a un grano de 7,1 µm — que es exactamente el tamaño de grano de un cobre recocido comercial. La ecuación no está ajustada a ese dato: son dos medidas independientes que cuadran, la misma clase de comprobación cruzada que en el módulo I.1 ataba el parámetro de red con la densidad.
Y lo que hace especial a esta receta es lo que no cuesta. Las otras tres endurecen estropeando la ductilidad: un cobre acritado pasa de estirarse un 45 % antes de romper a estirarse sólo un 12 %, y un acero con mucho carbono es duro y quebradizo. Afinar el grano, en cambio, sube la resistencia y la tenacidad a la vez. Es lo más parecido a una comida gratis que hay en la ciencia de materiales, y por eso media metalurgia moderna —los aceros microaleados de un puente, las chapas de alta resistencia de un coche— consiste en afinar el grano y poco más.
Aunque tampoco es infinita. Por debajo de unos 10 nanómetros de grano, la ley se invierte: hay tanta frontera que el material empieza a deformarse por las fronteras, deslizando granos enteros unos sobre otros, y vuelve a ablandarse. Se llama Hall-Petch inverso, y es un recordatorio útil de que ninguna extrapolación aguanta cuatro órdenes de magnitud sin que algo cambie de mecanismo.
Duro no es resistente, y el diamante lo demuestra. Se usan como sinónimos y son propiedades distintas y casi opuestas. La dureza mide lo que cuesta rayar o penetrar una superficie; la tenacidad, la energía que hay que gastar para propagar una grieta. Los números:
| Material | Dureza Vickers | Tenacidad | Energía de fractura |
|---|---|---|---|
| Diamante | 100 GPa | 2,0 MPa·m1/2 | 3,8 J/m² |
| Alúmina | 20 GPa | 4,0 | — |
| Vidrio | 6 GPa | 0,75 | 8 J/m² |
| Acero templado | 7 GPa | 50 | 11 900 J/m² |
| Acero maraging | 6 GPa | 175 | — |
El diamante es catorce veces más duro que un acero templado y veinticinco veces menos tenaz; en energía de fractura —lo que de verdad cuesta partirlo— el acero le saca un factor 3100. Un diamante se parte de un martillazo, y los talladores llevan siglos aprovechándolo: se exfolia por sus planos octaédricos con un golpe seco. Por eso una broca de diamante corta el hormigón y una biela es de acero; por eso un cuchillo de cerámica corta mejor y se rompe al caerse; y por eso, cuando alguien te venda una herramienta «más dura que el diamante», la pregunta correcta es qué tenacidad tiene — porque una herramienta que no se raya pero se astilla no sirve para nada.
Ejercicios
Con la ley de Hall-Petch del cobre, calcula el límite elástico con un grano de 10 nm y compáralo con los 70 MPa del recocido comercial. Si sale tan bien, ¿por qué no está hecho de cobre nanocristalino el cableado de tu casa?
Solución
σ = 25 + 0,12/√(10 × 10⁻⁹) = 25 + 1200 = 1225 MPa, diecisiete veces y media el recocido y más que muchos aceros. Y hay tres razones para que no exista ese cable, todas instructivas.
La primera es que la fórmula ya no vale ahí: por debajo de 10 nm aparece el Hall-Petch inverso y el material se ablanda. La segunda es que un grano de 10 nm no se queda quieto: hay tantísima frontera —y la frontera cuesta energía— que el material reduce su superficie interna engordando los granos en cuanto puede, y con las vacantes del artículo 02 eso ocurre a temperaturas ridículamente bajas. Un cobre nanocristalino se recristaliza solo. Y la tercera es la del artículo entero: sería fuerte y frágil, y un cable tiene que poder doblarse para instalarlo.
La segunda lección, que vale más que el número: en ingeniería casi nunca gana el material que puntúa más alto en una propiedad. Gana el que aguanta un compromiso entre cuatro, y el precio.
Un acero de 0,8 % de carbono se templa y toda su austenita se convierte en martensita. Calcula la tetragonalidad resultante y el porcentaje de deformación de la celda. ¿Por qué una pieza templada puede agrietarse sola horas después del temple?
Solución
: la celda se alarga un 3,6 % en una dirección. Y ahí está la respuesta: la transformación es instantánea y con cambio de volumen, así que las zonas que se transforman primero —la superficie, que se enfría antes— empujan a las que se transforman después. Una pieza gruesa acaba con tensiones internas del orden del límite elástico repartidas de cualquier manera, y como la martensita recién formada es durísima y nada tenaz, cualquier concentrador —un ángulo vivo, una marca de mecanizado— es una grieta esperando. Por eso el temple se sigue siempre de un revenido: calentar a 200–400 °C para que el carbono difunda un poco, se relaje la tetragonalidad y se recupere tenacidad a cambio de algo de dureza.
La segunda lección conecta con el artículo 03: el temple del acero y el templado del vidrio son el mismo truco físico —enfriar deprisa para congelar un estado que no toca— con signos opuestos. En el vidrio, la tensión que queda dentro es la que se busca y se controla; en el acero es un efecto secundario que hay que quitar después. La diferencia no está en la física, está en si la sabes gobernar.
Un fabricante anuncia un cuchillo «de acero con dureza 62 HRC, el más duro del mercado, no necesita afilarse nunca». ¿Qué dato le pedirías, y qué esperas que pase con ese cuchillo?
Solución
La tenacidad, o en su defecto la resistencia al impacto. 62 HRC son unos 7,5 GPa de dureza Vickers, que efectivamente es mucho y efectivamente mantiene el filo — la dureza es exactamente la propiedad que mide lo que cuesta deformar un filo—. Pero un acero llega a 62 HRC con martensita muy cargada de carbono y poco revenido, y eso, por lo que acabamos de ver, significa poca tenacidad: el filo no se dobla, se astilla. Lo que le va a pasar a ese cuchillo es que saltarán microtrozos del filo al tocar un hueso o una tabla dura, y una mella no se arregla afilando un poco.
La segunda lección es que el anuncio no miente, y ése es el problema. Los cuchillos de cocina profesionales rondan los 58–60 HRC precisamente porque ahí está el compromiso: algo menos de filo duradero a cambio de que el filo se doble en vez de romperse, y un filo doblado se endereza con una chaira en diez segundos. Cuando un producto presume de un solo número, lo interesante suele ser la propiedad que no menciona — y en materiales, esa propiedad casi siempre es la tenacidad.
Todo lo que este módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse sin haber releído el módulo.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Resistencia teórica de un cristal | τ = G/2π; 7,64 GPa en el cobre | art. 01 |
| Techo cuántico (ab initio) | Cu 2,16 GPa · Al 2,84; Frenkel se pasa ×3,5 | art. 01 |
| El factor que se llevan las dislocaciones | 86–473 según el metal; 218 en el cobre recocido | art. 01 |
| Bigotes (cristal sin dislocaciones) | 2–6 % de G medido (Brenner, 1956); ×55 el cobre normal | art. 01 |
| Densidad de dislocaciones | 10¹⁰ m⁻² recocido → 10¹⁵–10¹⁶ acritado | art. 01 |
| Longitud de línea y separación | ρ·V y 1/√ρ: 1 cm³ acritado = 10⁶ km, a 32 nm | art. 01, ej. 2 |
| Ley de Taylor | τ = τ₀ + αGb√ρ, con α ≈ 0,3, M = 3,06 y b = a/√2 = 2,556 Å en Cu | art. 01 |
| Vacantes en equilibrio | n/N = exp(−Ev/kBT), con Ev ≈ 10 kBTf | art. 02 |
| Vacantes en el cobre | 150 por cm³ a 300 K; 8,5 × 10¹⁸ al fundir | art. 02, ej. 1 |
| Difusión en un sólido | D = D₀e−Q/RT, x = √(Dt); C en Fe, 146 µm en 1 h a 900 °C | art. 02 |
| Centro de color | electrón en caja de 6,5 Å ⇒ 2,67 eV, el azul | art. 02, ej. 2 |
| Rubí y zafiro | mismo corindón: 1 Cr por 100 Al frente a 1 Fe-Ti por 10 000 | art. 02 |
| Dopado, en proporción | 10¹⁵ P/cm³ = 1 por 5 × 10⁷ Si, separados 100 nm | art. 02 |
| Transición vítrea | Tg donde η = 10¹² Pa·s: 564 °C en vidrio plano, y depende del enfriamiento (20 K/min) | art. 03 |
| Tiempo de relajación de Maxwell | τ = η/G = 38 s en Tg, con G = 26,2 GPa | art. 03, ej. 1 |
| Criterio de Griffith | σ = √(2Eγ/πa); 41 MPa ⇒ grieta de 0,1 mm | art. 03, ej. 2 |
| Techo del vidrio | E/10 = 7 GPa frente a 41 MPa medidos: ×171 | art. 03 |
| Vidrio templado | 100 MPa de compresión superficial ⇒ 141 MPa, ×3,4 | art. 03 |
| El orden local sobrevive | sílice vítrea 2,20 g/cm³ frente a 2,65 del cuarzo: −17 % | art. 03, ej. 3 |
| Vidrios metálicos | 10⁶ K/s (Au-Si, 1960) → 1 K/s (Zr, 1990) | art. 03 |
| Huecos de una red | fcc 0,414 R y 0,225 R; bcc 0,291 R y 0,155 R | art. 04 |
| El carbono en el hierro | hueco 0,192 Å (α) y 0,534 Å (γ) frente a 0,77 Å del C | art. 04 |
| Solubilidad del carbono | 2,04 % (γ, 1146 °C) frente a 0,02 % (α, 727 °C): ×100 | art. 04 |
| Cuánto carbono es un acero | 0,4 % en peso = 1 C por 54 átomos = 1 por 27 celdas | art. 04, ej. 1 |
| Martensita | c/a = 1 + 0,045 × %C; 3,6 % de deformación con 0,8 % | art. 04, ej. 2 |
| Quién va al hueco y quién a la silla | Hägg r/R < 0,59 · Hume-Rothery |Δr|/r ≤ 15 % | art. 04 |
| Hall-Petch | σ = σ₀ + k/√d; Cu: 25 MPa + 0,12/√d; se invierte bajo 10 nm | art. 04 |
| La ley del obstáculo | τ ≈ Gb/L: 12 MPa a 1 µm, 1227 MPa a 10 nm (Cu) | art. 04, ej. 2 |
| Acero frente a hierro puro | 2617 MPa (maraging) frente a 90: ×29, y aún ×10 bajo el techo | art. 04 |
| Dureza no es tenacidad | diamante 100 GPa y KIC = 2; acero 7 GPa y 50 | art. 04 |
Fin del módulo I.2. Con esto ya sabes por qué un cristal perfecto sería inútil. Sabes que un metal cede a la doscientosava parte de lo que debería porque tiene dislocaciones, y que endurecerlo consiste en estorbarlas — con otras dislocaciones, con átomos que no caben, con fronteras de grano o con precipitados—, siempre con la misma ecuación de una línea, . Sabes contar los defectos: cuántas vacantes hay en un dedal de cobre, cuántos átomos de cromo hacen un rubí, cuántos de fósforo hacen un transistor. Y sabes qué es un vidrio —un líquido con el reloj parado, no un sólido roto— y por qué se rompe a la centésima parte de su techo teórico.
Lo que falta es el otro protagonista, el que ha aparecido en todas las páginas sin que se le mirara de frente: la temperatura. Aquí ha decidido cuántas vacantes hay, cuánto carbono admite el hierro, si el vidrio se sopla o se raya, y a qué velocidad difunde un átomo — siempre a través de la misma exponencial. El módulo I.3 le da la vuelta a la pregunta y estudia el calor en los sólidos por derecho propio: cuánto calor cabe en un kilo de material, por qué un pomo metálico parece más frío que uno de madera a la misma temperatura, por qué se dilatan los raíles y por qué el diamante conduce el calor cinco veces mejor que la plata sin conducir la electricidad en absoluto. Con ello se podrá por fin decir de dónde salen los tratamientos térmicos que este módulo se ha limitado a usar.