Un router de wifi de 100 milivatios entrega a un portátil situado a diez metros, en línea recta y sin obstáculos, 95 nanovatios: una parte entre 1,05 millones. Y con eso sobra — le quedan más de treinta decibelios de margen sobre lo mínimo que el receptor necesita, incluso después de atravesar dos tabiques. Todo lo que este artículo cuenta —el tamaño de las antenas, la razón de que el 5G necesite veinticinco veces más celdas que el 4G, por qué un horno microondas trabaja a 2,45 GHz y no a la frecuencia que casi todo el mundo cree, y qué le pasa exactamente a tu móvil dentro de un ascensor— sale de dos cosas que ya tienes: λf = c y el inverso del cuadrado de la distancia.
Una antena mide media longitud de onda, y de ahí no hay escapatoria
Una antena es un trozo de conductor en el que se quiere establecer una oscilación de carga. Como cualquier resonador —una cuerda, un tubo de órgano—, lo hace de manera eficiente cuando su longitud encaja con la de la onda: media longitud de onda si está aislada (el dipolo de media onda), o un cuarto si trabaja contra un plano conductor que hace de espejo, como el techo de un coche o la placa de un teléfono. De esa frase sale, sin más física, toda la tabla siguiente:
| Servicio | Frecuencia | Longitud de onda | Cuarto de onda | Cómo se ve en la calle |
|---|---|---|---|---|
| Onda media (AM) | 1 MHz | 300 m | 75 m | Torres arriostradas de decenas de metros |
| FM y TV | 100 MHz | 3,00 m | 75 cm | El látigo del coche |
| Móvil, banda baja | 900 MHz | 33,3 cm | 8,33 cm | Las antenas de la última era de móviles con antena |
| Wifi y horno | 2,45 GHz | 12,2 cm | 3,06 cm | Las varillas del router |
| 5G banda media | 3,5 GHz | 8,57 cm | 2,14 cm | Dentro del marco del teléfono |
| 5G milimétrico | 26 GHz | 1,15 cm | 2,88 mm | Matrices de decenas de antenas del tamaño de un grano de arroz |
Ahí está, en una columna, la razón de que los móviles perdieran la antena: cuando la telefonía subió de 900 MHz a 1 800 y luego a 2 100 y 3 500 MHz, el cuarto de onda pasó de 8,3 cm a 2,1 cm y cupo dentro de la carcasa. No fue una mejora de diseño industrial, fue una consecuencia de λ = c/f. Y en el otro extremo está el problema de la onda media, cuyo cuarto de onda son 75 metros: por eso las emisoras de AM necesitan torres enormes y por eso una radio de bolsillo no puede llevar una antena que se merezca el nombre.
El inverso del cuadrado, el decibelio y el balance de enlace
Una antena que radia por igual en todas direcciones reparte su potencia sobre una esfera, cuya superficie crece con el cuadrado del radio. La densidad de potencia cae, por tanto, como 1/r². Lo que llega a un receptor depende además del tamaño de su antena, que es proporcional a λ², y juntando las dos cosas sale la fórmula que gobierna todas las telecomunicaciones:
Los números que salen de ahí son tan pequeños que se manejan en decibelios. Un decibelio es diez veces el logaritmo decimal de una razón de potencias. Un factor 2 son 3,01 dB, un factor 10 son 10 dB, un factor 1 000 000 son 60 dB. Doblar la distancia son 6,02 dB siempre, sea cual sea la frecuencia. Y la pérdida en espacio libre del enlace de nuestro router a diez metros es
Problema. Un router emite 100 mW (20 dBm) a 2,45 GHz. El portátil está a 10 m y hay dos tabiques por medio, que atenúan unos 5 dB cada uno. La sensibilidad del receptor, a la velocidad más robusta, es de −82 dBm. ¿Hay enlace? ¿Con cuánto margen? ¿Y si te vas al doble de distancia?
Solución. Se suman y se restan decibelios, que es la razón de que existan:
| Potencia emitida | +20,0 dBm |
| Pérdida en espacio libre, 10 m a 2,45 GHz | −60,2 dB |
| Dos tabiques | −10,0 dB |
| Potencia recibida | −50,2 dBm (9,5 nW) |
| Sensibilidad del receptor | −82,0 dBm |
| Margen | 31,8 dB |
Al doble de distancia se pierden 6,02 dB más y el margen baja a 25,8 dB: todavía sobra. Sin los tabiques, la potencia recibida serían 94,8 nW.
Resultado. Esos 31,8 dB de margen son un factor 1 500 en potencia —30 dB serían exactamente 1 000—, y explican por qué el wifi funciona en casi toda una vivienda y falla de golpe en cuanto no funciona: los decibelios se gastan muy deprisa. Un muro de carga de hormigón armado se lleva entre 10 y 20 dB él solo, un suelo de forjado otro tanto, y una pared con malla metálica o un espejo grande pueden llevarse treinta. La segunda lección es por qué se calcula así y no en vatios: todo lo que estorba en un enlace de radio es multiplicativo —cada obstáculo divide la potencia por un factor—, y en decibelios los productos se convierten en sumas que se hacen de cabeza. Es la misma razón por la que la acústica, la fotografía y la sismología usan escalas logarítmicas: no es pereza notacional, es que el fenómeno es multiplicativo.
El horno: ni resonancia del agua, ni radiación
Un horno microondas es un magnetrón que fabrica unos 800 W a 2,45 GHz, una guía que los lleva a una caja metálica y nada más. Sobre por qué funciona circulan dos explicaciones falsas y las dos se desmontan con una cifra.
Mito uno: 2,45 GHz es la frecuencia de resonancia del agua. No lo es, y además si lo fuera el horno funcionaría peor. Las moléculas de agua líquida no resuenan: están apelotonadas, chocan y se estorban, y lo que hacen es girar para seguir al campo con un retraso y disipar en ese roce la energía que absorben: es la relajación dieléctrica. Esa absorción tiene un máximo ancho hacia los 20 GHz a temperatura ambiente, ocho veces más arriba. Si el horno trabajara ahí, toda la energía se quedaría en el primer milímetro de la superficie y el interior seguiría frío. Los 2,45 GHz están donde están por dos razones prosaicas: es una banda ISM que los reglamentos internacionales dejan libre para usos industriales, científicos y médicos, y a esa frecuencia la onda penetra algo más de un centímetro en un alimento acuoso, que es lo que interesa.
Mito dos: el microondas cocina de dentro hacia fuera. Tampoco. Con esa penetración de un centímetro largo, un pollo se calienta desde fuera igual que en cualquier otro horno; lo que pasa es que ese centímetro es mucho más de lo que penetra el calor de una resistencia, que sólo llega a la superficie y de ahí para dentro tiene que ir por conducción. La diferencia no es de dirección sino de espesor del arranque. El corolario también es útil en la cocina: una pieza gruesa nunca se calienta uniformemente en el microondas, y por eso los aparatos van a pulsos y los manuales insisten en dejar reposar la comida — el reposo es la conducción terminando el trabajo.
Lo que sí es cierto y casi nadie sabe es que un horno microondas es una cavidad resonante: la caja tiene ondas estacionarias, con nodos separados media longitud de onda, 6,12 cm. En un nodo el campo es nulo y la comida no se calienta. De ahí el plato giratorio, que no está para que la comida quede mona sino para que ningún trozo se quede quieto en un nodo. Y de ahí el truco casero para medir la velocidad de la luz en la cocina: se quita el plato, se pone una bandeja de queso rallado, se calienta quince segundos y se miden las manchas fundidas. Salen a 6 cm unas de otras. Multiplica por dos y por 2,45×10⁹ y tienes 2,94×10⁸ m/s.
Problema. Un horno de 800 W calienta 250 mL de agua de 20 a 100 °C. ¿Cuánto debería tardar? ¿Por qué en la práctica tarda unos dos minutos? ¿Y qué potencia marca el contador de la casa mientras tanto?
Solución. El agua necesita m·c·ΔT = 0,25 × 4 186 × 80 = 83,7 kJ. A 800 W eso son
En la práctica se va a unos 120 s porque el recipiente también se calienta, porque parte de la energía la absorben las paredes y el aire de la cavidad y porque al acercarse a 100 °C ya hay evaporación. Y el contador de la casa no marca 800 W sino unos 1 250 W: los 800 son la potencia que entra en la comida, y el magnetrón, su fuente y su ventilador tienen un rendimiento del orden del 64 %.
Resultado. La cifra grande de la etiqueta de un microondas es de salida, al revés que en casi todos los demás electrodomésticos, donde lo que se anuncia es lo que consumen. No es una trampa comercial: es que aquí la potencia de salida es lo que el usuario necesita saber para cocinar. La segunda lección es el hueco entre las dos cifras. Ese 36 % que falta acaba como calor dentro del aparato, y es la razón de que un microondas lleve un ventilador ruidoso y de que no se deba hacerlo funcionar en vacío: sin comida que absorba, los 800 W vuelven al magnetrón y lo destruyen. Es exactamente el mismo problema que I.4 puso en la placa de inducción con una sartén de aluminio — una fuente sin carga adaptada se calienta a sí misma.
La puerta del horno, y por qué se puede mirar dentro
La ventanilla de un horno microondas tiene una chapa perforada con agujeros de uno o dos milímetros, y la pregunta obvia es cómo puede ser que la luz salga por ellos y las microondas no. La respuesta es la longitud de onda, otra vez. Los agujeros miden 1,5 mm frente a los 12,2 cm de la onda: son 82 veces más pequeños. Un agujero en una pared conductora se comporta como un tubo de guía de ondas, y un tubo sólo deja pasar por encima de su frecuencia de corte; la de un agujero circular de 1,5 mm está en 117 GHz, 48 veces por encima de la del horno. Muy por debajo del corte, la onda no se propaga: se apaga exponencialmente en el espesor de la chapa. La luz visible, con sus 550 nm, ve esos agujeros como ventanales de tres mil diámetros de ancho y pasa sin enterarse.
Es la jaula de Faraday de I.1, con un matiz que aquella no necesitaba: una jaula sólo tiene que ser cerrada comparada con la longitud de onda, no cerrada de verdad. Y de ahí sale la única cifra de seguridad que importa. El límite reglamentario de fuga de un horno son 5 mW/cm² medidos a 5 cm de la superficie, es decir 50 W/m². Suena mucho comparado con los 10 W/m² que la recomendación internacional pone como límite de exposición del público a esta frecuencia — pero el 1/r² hace el resto del trabajo: a 50 cm, diez veces más lejos, la densidad ha caído por cien y queda en 0,5 W/m², la vigésima parte del límite. Para comparar: a un metro de un router de 100 mW hay 0,008 W/m², el 0,08 % de ese mismo límite.
El ascensor, y una respuesta honesta
Una cabina de ascensor es una caja metálica con rendijas: exactamente una jaula de Faraday mediocre. Las rendijas de las puertas son de milímetros o centímetros, comparables o menores que los 12–33 cm de las bandas de telefonía, así que atenúan mucho pero no del todo. Las medidas publicadas de atenuación de cabinas dan cifras del orden de 10 a 30 dB según la banda, la cabina y si las puertas están abiertas — un factor de entre diez y mil en potencia.
Y aquí toca ser honesto en vez de contundente, porque el fenómeno no es «el ascensor bloquea la señal». Treinta decibelios es mucho, pero un enlace de telefonía en la calle puede tener sesenta de margen. Lo que decide si se corta la llamada no es la atenuación del ascensor sino cuánto margen te quedaba antes de entrar: en el centro de una ciudad, con la celda a doscientos metros, no pasa nada; en el sótano de un edificio con la celda a dos kilómetros, la misma cabina te deja sin cobertura. Es la misma cuenta del ejemplo resuelto 1, y es la razón de que la solución de los edificios grandes no sea reforzar la antena exterior sino meter repetidores dentro.
Lo que este nivel está tomando prestado. Tres cosas se han afirmado aquí sin deducirlas. La primera, que la antena eficiente mide media longitud de onda: sale de resolver la distribución de corriente en un conductor, y con ella la resistencia de radiación, que para el dipolo de media onda vale 73 Ω y es un cálculo del Nivel III. La segunda, la frecuencia de corte de una guía de ondas —los 117 GHz del agujero de la puerta—, que exige resolver las ecuaciones de Maxwell dentro de un tubo conductor con sus condiciones de contorno; es materia del módulo II.6. La tercera, la propia fórmula del enlace, cuyo λ² viene del área efectiva de una antena y no de ninguna geometría. Las tres son resultados sólidos y ninguna es un misterio: simplemente no caben sin cálculo vectorial. Ninguno de esos dos módulos está publicado todavía.
Ejercicios
¿Por qué salta una chispa si metes un tenedor en el microondas y no pasa nada con la rejilla metálica que traen algunos hornos? ¿Y por qué el plato de cerámica no se calienta y la comida sí?
Solución
El metal es un conductor y el campo de la onda mueve sus electrones: en una pieza grande y redondeada eso es una corriente inducida inofensiva que simplemente refleja la onda, y por eso una rejilla o una bandeja metálica de las que el fabricante suministra no dan problema. En una punta, en cambio, la carga se acumula en muy poca superficie y el campo se dispara justo ahí, porque el mismo número de culombios repartido en un radio de curvatura diez veces menor da diez veces más campo; basta con superar los 3,0 MV/m de rigidez dieléctrica del aire —la cifra de I.1— para que salte el arco. Un tenedor tiene cuatro puntas y dos púas separadas milímetros: la geometría perfecta.
El plato de cerámica no se calienta porque no tiene ni electrones libres ni moléculas con momento dipolar que puedan girar: la onda lo atraviesa casi sin pérdidas. Y ahí está la segunda lección, que es una regla general del electromagnetismo en la materia: un material interacciona con una onda si tiene cargas que puedan moverse a esa frecuencia, y sólo entonces. Los metales tienen electrones libres y la reflejan; el agua tiene dipolos que giran y la absorbe; el vidrio, la cerámica y el plástico seco no tienen ni una cosa ni la otra y la dejan pasar. Esos tres comportamientos —reflejar, absorber, transmitir— son todo lo que un material puede hacerle a una onda, y cuál de los tres hace depende de la frecuencia: el mismo vidrio que es transparente a la luz es opaco al infrarrojo lejano, que es el efecto invernadero.
El 5G usa bandas de 700 MHz y de 3,5 GHz. Para una misma potencia y una misma sensibilidad, ¿cuánto alcance pierde la banda alta? ¿Cuántas veces más estaciones base hacen falta para cubrir la misma superficie?
Solución
A igual distancia, la pérdida crece con el cuadrado de la frecuencia: 20·log₁₀(3 500/700) = 14,0 dB más, un factor 25 en potencia. Para recuperar esos 14 dB hay que acercarse, y como la pérdida va con d², el alcance se divide por 5. Cubrir la misma superficie con celdas cinco veces más pequeñas de radio exige 25 veces más celdas.
La segunda lección es que ese factor 25 es económico antes que técnico, y explica por qué el despliegue del 5G no fue lo que se anunció. La banda de 3,5 GHz da mucha más capacidad —hay más hercios disponibles arriba, y la velocidad de datos es proporcional al ancho de banda—, pero sólo llega a una quinta parte de distancia y penetra bastante peor en los edificios. Por eso el 5G real se despliega en dos capas: la banda baja de 700 MHz para cubrir territorio, con celdas grandes y velocidades parecidas a las del 4G, y la de 3,5 GHz sólo donde hay gente concentrada. Y por eso la banda milimétrica de 26 GHz, con λ = 1,15 cm, que la hoja de características promete como el futuro, apenas se ha desplegado: a esa frecuencia una pared, una hoja o la lluvia fuerte bastan para cortar el enlace.
La señal de un satélite GPS llega al suelo con unos −128,5 dBm, es decir 1,4×10⁻¹⁶ W. El ruido térmico de un receptor a 290 K en un ancho de banda de 2 MHz vale kBTB. Compáralos. ¿Cómo puede funcionar un GPS?
Solución
El ruido vale 1,381×10⁻²³ × 290 × 2×10⁶ = 8,0×10⁻¹⁵ W, es decir −111 dBm. La señal está 17,5 dB por debajo del ruido: es cincuenta y seis veces más débil que el murmullo térmico del propio receptor. Con un receptor de radio corriente no habría absolutamente nada que oír.
Funciona porque la señal no es aleatoria y el ruido sí. Cada satélite transmite una secuencia pseudoaleatoria conocida a 1,023 millones de símbolos por segundo, y el receptor la multiplica por su propia copia y suma a lo largo de un bit de datos entero, 20 ms: la señal, que está correlacionada consigo misma, se suma coherentemente y crece con el número de muestras, mientras el ruido, que no lo está, sólo crece con su raíz cuadrada. Los 20 460 símbolos que caben en ese bit son una ganancia de procesado de 43 dB, y con ella la señal acaba unos 28 dB por encima del ruido que le queda. La segunda lección es que esa ganancia es lo que hace posible toda la comunicación moderna a larga distancia, de las sondas espaciales al 5G, y que cambia la pregunta de raíz: lo que decide si hay enlace no es si la señal se oye por encima del ruido, sino cuánta energía se puede acumular por bit de información. Se puede bajar la señal todo lo que se quiera si se acepta transmitir más despacio.