Un cable de 16 A crea a un centímetro 320 microteslas: siete veces el campo magnético de la Tierra. Tu casa está cruzada por decenas de metros de esos cables y sin embargo una brújula apoyada en la pared no se entera. La explicación no es que el campo sea débil —acabamos de ver que no lo es—, sino que el cable de ida y el de vuelta van juntos, y dos corrientes iguales y opuestas separadas tres milímetros se cancelan a un metro con un factor 333. Esa cancelación, y no otra cosa, es la razón de que el magnetismo doméstico sea invisible.
El campo lo hace el movimiento, no la carga
En I.1 quedó dicho que el campo magnético lo produce la carga en movimiento, y ahí se paró. Ahora toca la cuenta. Para las tres geometrías que aparecen en el 99 % de los aparatos del mundo, el campo se escribe en una línea cada una, y las tres salen de la misma regla —la ley de Ampère— aplicada a tres formas distintas de enrollar el mismo alambre.
Un hilo recto y largo. A distancia r de un conductor que lleva una corriente I, el campo vale
con la permeabilidad del vacío μ₀ = 1,2566×10⁻⁶ N/A². Las líneas de campo son circunferencias que rodean el cable: no salen de ningún sitio ni van a ninguna parte, dan vueltas. Con los 16 A de un circuito de enchufes y r = 1 cm salen 320 μT; a 10 cm, 32 μT; a 1 m, 3,2 μT. El campo cae como 1/r, no como 1/r² — más despacio que cualquier cosa que hayas visto en I.1.
Una espira circular. En el centro de una espira de radio R,
Una espira de 5 cm de radio con 1 A da 12,6 μT: la cuarta parte del campo terrestre, con un amperio entero. Lo interesante de la espira no es su centro sino lo que se ve desde lejos: a cien radios de distancia, su campo coincide con el del dipolo magnético de I.1 —el que cae como 1/r³— con un momento magnético exactamente igual a m = I·πR², es decir corriente por área. Ésa es la definición operativa del momento magnético, y con ella una espira y un imán dejan de ser dos cosas distintas.
Un solenoide. Si se enrollan n vueltas por metro de longitud, el campo dentro del solenoide es uniforme y vale
Fíjate en lo que no aparece: ni el radio, ni la longitud, ni la distancia al eje. Mil vueltas por metro con 2 A dan 2,51 mT, la mitad del imán de nevera de I.1, y con un solenoide real de 50 cm de largo y 4 cm de diámetro la fórmula del infinito se queda corta sólo un 0,32 %. Ésta es la geometría que gana: es la única de las tres en la que el campo se acumula vuelta a vuelta, y por eso todo lo que produce campo en serio —un motor, un timbre, una resonancia magnética— es un solenoide con algo dentro.
| Cómo se hace el campo | Fórmula | Ejemplo | Campo |
|---|---|---|---|
| Hilo recto | μ₀I/(2πr) | 16 A a 1 cm | 320 μT |
| Hilo recto | μ₀I/(2πr) | 16 A a 1 m | 3,2 μT |
| Espira, en el centro | μ₀I/(2R) | 1 A, R = 5 cm | 12,6 μT |
| Solenoide, por dentro | μ₀nI | 1 000 vueltas/m, 2 A | 2,51 mT |
| Solenoide superconductor | μ₀nI | 7 958 vueltas/m, 300 A | 3 T |
Y ahora la cifra que pone al magnetismo en su sitio. Para que un hilo recto diera a un centímetro los 5 mT de un imán de nevera de ferrita harían falta 250 A — quince veces y media la corriente de un circuito doméstico entero. Un trozo de cerámica negra de tres céntimos vence a cualquier cable que puedas enchufar en tu casa. De dónde saca ese trozo de cerámica sus amperios es la pregunta del artículo 04.
La cancelación que hace invisible el magnetismo doméstico
Volvamos a la contradicción del principio. Si un cable de 16 A da 320 μT a un centímetro, ¿por qué no se nota? Porque por el cable de al lado —el neutro, dentro de la misma manguera, a unos 3 mm— vuelven los mismos 16 A en sentido contrario. Los dos campos son iguales y opuestos, y a distancias mucho mayores que la separación casi se anulan:
El campo del par cae como 1/r² en vez de 1/r, y el factor de cancelación es simplemente r/d: la distancia dividida por la separación entre los conductores. No hay que memorizar nada.
| Distancia | Hilo solo | Fase y neutro juntos (d = 3 mm) | Cancelación |
|---|---|---|---|
| 1 cm | 320 μT | 98,2 μT | ×3,3 |
| 10 cm | 32,0 μT | 0,96 μT | ×33 |
| 30 cm | 10,7 μT | 0,107 μT | ×100 |
| 1 m | 3,20 μT | 0,0096 μT | ×333 |
A un metro de la pared, la instalación de tu casa aporta una centésima de microtesla: cuatro mil setecientas veces menos que el campo terrestre. Y el mismo argumento, con signo contrario, explica por qué a un centímetro sí se nota — ahí r y d son comparables, la cancelación apenas vale 3,3, y un teléfono con sensor magnético apoyado sobre un cable con carga lo detecta sin problema. Es exactamente lo que hace una pinza amperimétrica.
Esto ya lo habías visto, con otro nombre. En I.1 la neutralidad de la materia cancelaba los 2,08×10²¹ N/m de fuerza eléctrica entre dos cables hasta el último dígito, y lo que sobrevivía era el término magnético, 10²⁴ veces menor. Aquí ocurre lo mismo un piso más arriba: lo que se cancela es el campo magnético de la ida contra el de la vuelta, y lo que sobrevive es un residuo dipolar que cae más deprisa. El electromagnetismo cotidiano es una sucesión de cancelaciones casi perfectas, y casi todo lo que se ve es el resto que queda. Cuando la cancelación falla —un cable de ida sin su vuelta, un desequilibrio de carga— aparecen números absurdos.
Problema. Una línea de transporte de 400 kV lleva 1 443 A por fase (la corriente que calculamos en I.2 para transportar 1 GW) y sus conductores cuelgan a 25 m del suelo. ¿Qué campo magnético hay debajo, si se toma un solo conductor?
Solución. Con la fórmula del hilo recto, y midiendo desde el conductor hasta el suelo:
Resultado. 11,5 μT, una cuarta parte del campo terrestre — y eso tomando un solo conductor, que es el caso más desfavorable posible. Una línea real lleva tres fases desfasadas 120°, separadas unos metros entre sí, y sus campos se cancelan en buena medida igual que la fase y el neutro de tu casa: la separación entre fases hace de d y la altura hace de r. La lección que se lleva uno de aquí no es el número sino el hábito: ante cualquier cable, la primera pregunta es por dónde vuelve la corriente. Un conductor cuya vuelta esté lejos produce campo a distancia; uno cuya vuelta esté pegada, prácticamente no. Es la diferencia entre una antena y un cable de red.
Por qué el campo magnético no tiene fuentes
Hay una asimetría entre los dos campos que no es un detalle técnico sino el hecho más profundo del artículo. El campo eléctrico de I.1 empieza en las cargas positivas y acaba en las negativas: tiene fuentes y sumideros. El campo magnético no tiene ni lo uno ni lo otro. Sus líneas se cierran sobre sí mismas, siempre, en cualquier configuración de corrientes. Dicho en la forma que se puede medir: el flujo magnético que atraviesa cualquier superficie cerrada —una esfera, una caja, la forma que quieras— vale exactamente cero, porque toda línea que entra tiene que salir.
De ahí sale el resultado que I.1 anunció y no justificó: partir un imán no separa los polos. Si pudiera separarlos, la caja que contuviera sólo el polo norte tendría flujo saliente distinto de cero, y eso es lo que no ocurre nunca. Y la cadena no se detiene en lo macroscópico: un imán partido da dos imanes, y esos dos partidos dan cuatro, y así hasta llegar al átomo, y del átomo al electrón, que sigue siendo un dipolo con su momento magnético de un magnetón de Bohr, μB = 9,274×10⁻²⁴ J/T. Nunca aparece un polo suelto. Un monopolo magnético sería una fuente de campo magnético, y el mundo se comporta como si no existiera ninguna.
«Como si no existiera» no es lo mismo que «no existe». El monopolo magnético no está prohibido por nada: Dirac demostró en 1931 que si existiera uno solo en todo el universo, la carga eléctrica tendría que estar cuantizada — y está cuantizada, con la precisión de una parte en 10²¹ que se dio en I.1, sin que ninguna otra teoría explique por qué. Es un argumento incómodo: el monopolo explicaría de un plumazo un hecho experimental de primera magnitud, y sin embargo cincuenta años de búsquedas en aceleradores, en rocas lunares y en detectores dedicados no han encontrado ninguno. Lo honesto es decir que la ausencia de cargas magnéticas es un dato experimental, no un teorema. Se escribe como ley porque nunca ha fallado, no porque se sepa por qué.
De los átomos a los dos teslas del hierro
Queda una pieza para cerrar el artículo, y es la que conecta el campo de una corriente con el campo de un imán. Si cada átomo de hierro es un pequeño dipolo, ¿cuánto campo puede dar un trozo de hierro con todos sus dipolos alineados? La cuenta se hace con lo que ya tenemos.
La densidad de átomos del hierro es n = ρNA/M = 8,49×10²⁸ m⁻³ — que, curiosidad que ahorra memorizar un número, coincide con la densidad de portadores del cobre de I.1 hasta la cuarta cifra, porque los dos átomos ocupan casi el mismo volumen. Cada átomo de hierro aporta unos 2,2 magnetones de Bohr. Multiplicando:
Esa magnitud, la magnetización de saturación, es el techo absoluto del hierro: 2,18 T, contra los 2,15 T que dan las tablas experimentales. Cuadra en un 1,3 %, y ese cuadre es lo que importa: partiendo de una densidad, una masa atómica y el momento magnético del electrón se reproduce un dato de laboratorio. No hay ningún hierro que dé 5 T, ni lo habrá, porque no hay más átomos que alinear.
Con eso se entiende de golpe por qué las máquinas eléctricas están llenas de hierro. Un solenoide de 1 000 vueltas por metro con 2 A da 2,51 mT en el aire; metiéndole un núcleo de hierro dentro, los dipolos del hierro se alinean con ese campo y añaden los suyos, y el campo total sube hasta acercarse a esos dos teslas — casi mil veces más, con la misma corriente. El hierro no crea energía: se limita a poner sus 8,49×10²⁸ dipolos por metro cúbico al servicio del campo que le pide una corriente ridícula.
Ejercicios
Quieres construir una bobina de Helmholtz para cancelar el campo terrestre de 45 μT en tu mesa. Usas una espira de 20 cm de radio. ¿Qué corriente necesitas? ¿Y si en vez de una espira das 200 vueltas?
Solución
Con una sola espira, B = μ₀I/(2R) → I = 2RB/μ₀ = 2 × 0,20 × 45×10⁻⁶ / 1,2566×10⁻⁶ = 14,3 A. Con 200 vueltas el campo se multiplica por 200, así que basta con 71,6 mA.
La segunda lección es de ingeniería, y explica por qué todo lo eléctrico está bobinado. El calor disipado va con I² (efecto Joule, I.2): pasar de 14,3 A a 71,6 mA divide la corriente por 200 y el calor por 40 000, aun contando con que el hilo es doscientas veces más largo y por tanto tiene doscientas veces más resistencia — el balance neto sigue siendo un factor 200 a favor. Enrollar es la forma de comprar campo magnético con cobre en vez de con amperios, y el cobre no se calienta por estar enrollado.
Una pinza amperimétrica mide la corriente de un cable sin cortarlo, abrazándolo. Explica por qué no funciona si en vez de abrazar un solo conductor abrazas la manguera entera, con la fase y el neutro dentro. Y calcula qué corriente tendría que medir en ese caso, si por la fase van 16,000 A y por el neutro vuelven 15,970 A.
Solución
La pinza mide el campo que rodea a lo que abraza, y ese campo depende de la corriente neta encerrada. Con la fase y el neutro dentro, la corriente neta es 16,000 − 15,970 = 0,030 A: la pinza marcaría 30 mA en vez de 16 A. Con un cable sano —fase y neutro exactamente iguales— marcaría cero.
La segunda lección es que ese «defecto» es en realidad un instrumento de seguridad, y ya lo conoces: esos 30 mA de diferencia entre lo que va y lo que vuelve son exactamente lo que mide el interruptor diferencial de I.2, artículo 03. Un diferencial es una pinza amperimétrica abrazando fase y neutro a la vez, calibrada para cortar cuando la cancelación deja de ser perfecta. Aquí se ve por fin por dónde se entera: no compara dos corrientes con un circuito electrónico, sino que suma los dos campos magnéticos en un núcleo toroidal y mira si el resultado es cero. Y lo mismo, con signo contrario, explica por qué un cable de datos se trenza: trenzar aprieta la d de la fórmula de la cancelación y hace que el par ni emita ni recoja.
Los imanes de una resonancia magnética de 3 T son solenoides superconductores por los que circulan del orden de 300 A. ¿Cuántas vueltas por metro hacen falta? Y estima qué pasaría con cobre normal, bobinándolo a la densidad de corriente doméstica de I.2 —10 A/mm²— alrededor de un tubo de 60 cm de diámetro.
Solución
De B = μ₀nI: nI = 3/1,2566×10⁻⁶ = 2,39×10⁶ A·vuelta/m. Con 300 A por vuelta salen 7 958 vueltas por metro, repartidas en varias capas superpuestas.
Con cobre, lo que decide es la densidad de corriente. Para dar 2,39×10⁶ A/m a 10 A/mm² = 10⁷ A/m² hace falta un espesor radial de cobre de 2,39×10⁶/10⁷ = 23,9 cm — el bobinado sería una corona de cobre macizo de casi un palmo de grosor. Su volumen, por cada metro de imán, es 2πR·espesor = 0,63 m³, y la potencia que disipa se calcula sin pasar por la resistencia, directamente con la densidad de corriente: P = ρJ²V = 1,68×10⁻⁸ × (10⁷)² × 0,63 = 1,06 MW por metro de imán.
La segunda lección es que ese megavatio no es un problema de ingeniería que se pueda apretar: es lo que cuesta mantener 3 T con un material que tiene resistencia. Por eso una resonancia clínica es superconductora y vive en un baño de helio líquido — no es un lujo técnico, es la única forma de que ese número sea cero en vez de 1 060 000. Y por eso los imanes resistivos de los laboratorios de campo alto, que llegan a 35 T, se refrigeran con agua a caudal industrial y consumen decenas de megavatios: la cuenta de arriba, subida de escala.