Entre las dos placas de un condensador que se está cargando hay un milímetro de aire y nada más: no circula ni un solo electrón. Y sin embargo, ahí dentro hay un campo magnético. Con placas de 5 cm de radio y un amperio entrando por el cable, en el borde vale 4,00 microteslas, la undécima parte del campo terrestre y de sobra para el magnetómetro que llevas en el móvil. Ese campo no lo crea ninguna corriente. Explicarlo obligó a Maxwell a añadir un término a una ecuación que llevaba cuarenta años funcionando, y ese término —cuatro pasos después y sin un solo experimento nuevo— entrega los 299 792 458 metros por segundo de la velocidad de la luz.
Un campo eléctrico y uno magnético, perpendiculares entre sí y a la marcha, en fase y sin nada que los sostenga. Nada está guardado: el panel calcula la onda entera a partir de la frecuencia, la amplitud y el medio, con c y ε0 de CODATA. Empieza por el tercer mando —el medio— y mira qué cifra cambia y cuál no.
Con 100 V/m de amplitud, el campo magnético de esta onda vale 334 nT: 135 veces menos que los 45 μT del campo terrestre en el que estás ahora mismo. Que el magnetismo de la luz no se note casi nunca no es porque sea débil en algún sentido absoluto: es que B = E/c y dividir por 3×10⁸ es una barbaridad — para igualar el campo terrestre harían falta 13 500 V/m de amplitud. Y sin embargo esa mitad del asunto no sobra: si la quitas, la onda deja de existir. La intensidad, 13.3 W/m², la llevan las dos a partes iguales.
Onda plana monocromática en un dieléctrico no magnético (μr = 1). Las dos curvas no están a escala entre sí: en unidades del SI B0 es c veces menor que E0, y dibujada a escala la curva de B sería una línea recta. Lo que el dibujo sí respeta es lo que importa: que van en fase, que son perpendiculares y que la onda avanza más despacio en el agua que en el vacío.
El agujero que Maxwell encontró en la ley de Ampère
La ley de Ampère de I.3 dice que la circulación del campo magnético a lo largo de una curva cerrada vale μ₀ por la corriente que atraviesa cualquier superficie apoyada en esa curva. Esa palabra —cualquiera— es la que se rompe. Toma el cable que carga un condensador y rodéalo con un aro imaginario. Si tapas el aro con un disco plano, lo atraviesa el cable entero: 1 A. Si en vez del disco usas una bolsa que se estira y pasa por el hueco entre las placas, la superficie sigue apoyada en el mismo aro y no la atraviesa nada: 0 A.
Dos superficies, el mismo borde, dos respuestas. No es una sutileza: es una contradicción, y en 1861 llevaba casi cuarenta años ahí sin que nadie la mirase de frente. Lo que Maxwell vio es que por la segunda superficie sí pasa algo, aunque no sea carga: pasa un campo eléctrico que está cambiando, porque el condensador se está llenando. Y la cuenta encaja sola. La carga acumulada en una placa de área A con un campo E entre ellas es Q = ε₀EA, de modo que
Con nuestras placas —5 cm de radio, es decir 78,5 cm²— y un amperio entrando, el campo entre ellas crece a razón de 1,44×10¹³ voltios por metro y segundo, y al multiplicar por ε₀ y por el área sale 1,000 A. No aproximadamente: exactamente, porque es la misma carga contada de otra manera. Maxwell bautizó ese término corriente de desplazamiento y con él la ley de Ampère quedó así:
Conviene decir en voz alta que el nombre es malo y que engaña a todo el que empieza. Ahí no se desplaza nada: no hay cargas moviéndose, no hay materia, no hace falta ni aire. «Corriente de desplazamiento» es un fósil del modelo mecánico del éter luminífero con el que Maxwell trabajaba —engranajes y celdillas elásticas que se deformaban—, y de aquel andamiaje no quedó nada salvo el nombre. Lo que la ecuación dice, sin metáfora, es esto: un campo eléctrico que cambia crea un campo magnético a su alrededor, exista o no un cable.
Problema. Un condensador de placas circulares de 5 cm de radio separadas 1 mm se carga con una corriente constante de 1 A. ¿Cuánto vale el campo magnético justo en el borde del hueco, donde no hay ni cable ni carga? ¿Y a mitad de radio?
Solución. Rodeamos el eje con una circunferencia de radio r = 5 cm contenida en el hueco. La atraviesa toda la corriente de desplazamiento, que ya sabemos que vale 1 A, así que la ley queda idéntica a la del hilo recto de I.3:
A mitad de radio, r = 2,5 cm, sólo la atraviesa la cuarta parte del área y por tanto 0,25 A, con lo que B = 2,00 μT: dentro del condensador el campo crece linealmente con r, exactamente igual que dentro de un conductor macizo.
Resultado. Cuatro microteslas es una undécima parte del campo terrestre: un campo perfectamente medible con instrumentos de los años cincuenta, y ahí está lo que hace de este ejemplo algo más que un pasatiempo. El campo del borde del condensador es idéntico al que habría si el hueco no existiera y el cable siguiera de largo — la corriente de desplazamiento no es un apaño para salvar una ecuación, es lo que hace que el campo magnético no dé un salto absurdo al llegar al condensador. La segunda lección es de método: cuando una teoría da dos respuestas distintas al mismo problema, no está incompleta en un detalle, está rota, y arreglarla suele costar un término nuevo. El que Maxwell añadió aquí es el que hace posible la luz.
Las cuatro ecuaciones, dichas en español
Con ese término, las leyes del electromagnetismo dejan de ser una colección de resultados sueltos y se cierran sobre sí mismas. Son cuatro, se llaman ecuaciones de Maxwell y este sitio las ha ido deduciendo todas sin nombrarlas. En este nivel se pueden decir con palabras, y cada una viene ya con una cifra que la ancla:
| Ley | Qué dice | De dónde sale aquí | Ancla numérica |
|---|---|---|---|
| Gauss para E | Las cargas son las fuentes del campo eléctrico: las líneas nacen y mueren en ellas | I.1, art. 02 | Un culombio emite un flujo de 1/ε₀ = 1,13×10¹¹ V·m |
| Gauss para B | No hay cargas magnéticas: toda línea de campo magnético se cierra sobre sí misma | I.3, art. 01 | Flujo neto por cualquier superficie cerrada: exactamente 0 Wb |
| Faraday | Un campo magnético que cambia crea un campo eléctrico de líneas cerradas | I.4, art. 01 | Un imán cayendo por un tubo de cobre: 3,16 s en vez de 0,45 s |
| Ampère–Maxwell | Las corrientes y un campo eléctrico que cambia crean campo magnético | Este artículo | El hueco del condensador: 4,00 μT sin una sola carga en movimiento |
Léelas en pareja y salta a la vista lo que va a pasar. La tercera dice que un campo magnético que cambia fabrica campo eléctrico. La cuarta, desde ayer, dice que un campo eléctrico que cambia fabrica campo magnético. Cada uno de los dos alimenta al otro, y ninguno de los dos necesita cargas para seguir existiendo una vez arrancado. Si consigues que empiecen, no hay nada en las ecuaciones que los obligue a parar.
De dos constantes de laboratorio sale la velocidad de la luz
Lo que Maxwell hizo a continuación es el momento más raro de la historia de la física del siglo XIX. Combinó las cuatro ecuaciones en el vacío —sin cargas, sin corrientes, sin nada— y encontró que la pareja E–B satisface la ecuación de una onda que viaja a una velocidad fijada por dos constantes que ya estaban medidas:
Las dos venían de experimentos sin ninguna relación con la luz. La permitividad del vacío ε₀ = 8,854×10⁻¹² F/m se mide con condensadores y balanzas de torsión; la permeabilidad del vacío μ₀ = 4π×10⁻⁷ N/A² se obtiene midiendo la fuerza entre dos hilos paralelos por los que circula una corriente conocida. Pilas, hilos y bobinas. Al meterlas en esa raíz sale
Con los valores que Maxwell manejaba en 1862 el resultado fue 3,107×10⁸ m/s, y la mejor medida óptica de la época, la de Fizeau, daba 3,149×10⁸ m/s: coincidían con un 1,3 % de discrepancia. Hoy sabemos que Maxwell se pasaba un 3,7 % del valor bueno, y da igual: nadie esperaba que aquellas dos cifras tuvieran nada que ver. Su conclusión fue tan sobria como se puede ser diciendo algo así — que difícilmente se puede evitar la inferencia de que la luz consiste en ondulaciones transversales del mismo medio. La óptica acababa de convertirse en un capítulo del electromagnetismo, y la prueba no fue un experimento nuevo sino dos medidas viejas que nadie había dividido nunca la una por la otra.
Un apunte de contabilidad moderna, porque si no la fórmula parece un truco. Desde la revisión del SI de 2019, la velocidad de la luz es exacta por definición —define el metro— y quien se mide en el laboratorio es μ₀; ε₀ se calcula después como 1/(μ₀c²). Así que hoy la identidad se cumple por construcción y ya no es una predicción de nada. Lo fue en 1862, cuando las tres cantidades eran medidas independientes, y el hecho de que ahora sea una definición es la consecuencia de que aquella predicción resultara cierta hasta la última cifra comprobable.
La confirmación experimental tardó veinticinco años y no la vio Maxwell, que murió en 1879 con cuarenta y ocho. En 1887 Heinrich Hertz montó un chispero en un extremo de su laboratorio y, en el otro, un simple aro de alambre con una abertura de milímetros. Al saltar la chispa grande saltaba también la pequeñísima del aro, a varios metros y sin ningún cable en medio. Hertz midió la longitud de onda de aquello con reflexiones contra una pared metálica, multiplicó por la frecuencia de su circuito y obtuvo la velocidad de la luz. Le preguntaron para qué servía y respondió que para nada. Doce años después, Marconi cruzaba con ello el canal de la Mancha.
Qué es exactamente una onda electromagnética
Una onda electromagnética es un campo eléctrico y uno magnético perpendiculares entre sí, perpendiculares los dos a la dirección de avance, en fase —crecen y se anulan a la vez— y ligados por una relación fija:
La última es la intensidad de una onda: la potencia que cruza cada metro cuadrado, promediada en un ciclo. Y con ella se pueden poner cifras al caso más cercano que existe. La luz del Sol entrega sobre la órbita de la Tierra 1 361 W/m², la constante solar, y de ahí salen las amplitudes de sus dos campos:
| Magnitud | Valor en la luz del Sol | Con qué compararlo |
|---|---|---|
| Intensidad | 1 361 W/m² | Un secador de pelo por cada metro cuadrado |
| Campo eléctrico E0 | 1 013 V/m | Diez veces el campo atmosférico de buen tiempo (I.1) |
| Campo magnético B0 | 3,38 μT | 13 veces menos que el campo terrestre |
| Presión de radiación | 4,54 μPa | 4,5 μN sobre una vela de 1 m²; 9,1 μN si la refleja |
Fíjate en la tercera fila, que resuelve una pregunta que casi nadie llega a hacerse: si la luz tiene campo magnético, ¿por qué no desvía una brújula? Porque el campo magnético de la luz del Sol, al mediodía y a pleno sol, es trece veces menor que el campo terrestre en el que la brújula ya está — y además oscila 5×10¹⁴ veces por segundo, así que su efecto promedio es cero. No es que sea despreciable por casualidad: B = E/c, y dividir por 3×10⁸ es una barbaridad. Toda la asimetría aparente entre lo eléctrico y lo magnético de la luz es esa división y nada más.
Problema. La presión de radiación de una onda que se absorbe vale I/c. ¿Qué fuerza hace la luz del Sol sobre una vela de 1 m² en la órbita terrestre, y cuánto tarda esa vela en acelerar un satélite de 10 kg hasta 1 m/s? ¿Y sobre una persona tumbada al sol?
Solución. Con I = 1 361 W/m²,
es decir 4,54 μN sobre un metro cuadrado que la absorba y el doble, 9,1 μN, sobre uno que la refleje —porque la luz sale con el momento cambiado de signo—. Sobre 10 kg, 9,1 μN dan una aceleración de 9,1×10⁻⁷ m/s²: para llegar a 1 m/s hacen falta 1,1×10⁶ segundos, unos trece días. Sobre una persona tumbada, con 0,8 m² expuestos, la fuerza es de 3,6 μN: el peso de cuatro décimas de miligramo.
Resultado. Micronewtons — y aun así es la única propulsión que no lleva combustible a bordo, que es exactamente la razón de que IKAROS en 2010 y LightSail 2 en 2019 volaran de verdad con vela solar. La cuenta de los trece días contiene la lección entera: la presión de radiación no sirve para nada donde haya rozamiento o gravedad que vencer, y es imbatible donde sólo hay que empujar durante meses sin gastar masa. La segunda lección es más profunda y conviene no pasarla por alto: si la luz empuja, la luz lleva momento lineal, y un campo que lleva momento y energía es tan «real» como un ladrillo. Aquí se acaba la idea del campo como intermediario contable que apareció en I.1: el campo electromagnético no es una manera de hablar de las fuerzas entre cargas, es un objeto físico con su propio inventario.
Lo que sobró: el éter
Queda una consecuencia que a Maxwell le habría parecido inaceptable, y merece contarse con honestidad porque es donde la historia se pone incómoda. Una onda necesita algo que ondule: el sonido necesita aire, las olas necesitan agua. Si la luz es una onda, ¿qué ondula? Todo el siglo XIX contestó lo mismo —el éter luminífero, un medio invisible, rigidísimo y que lo llena todo—, y Maxwell dedujo sus ecuaciones pensando literalmente en engranajes metidos en él.
El problema es que un medio así tendría que notarse. La Tierra va a 29,8 km/s alrededor del Sol, así que debería haber un «viento de éter» y la luz debería ir a distinta velocidad según la dirección. El efecto es de orden (v/c)² = 9,87×10⁻⁹: pequeñísimo, pero en 1887 Michelson y Morley montaron un interferómetro sobre una losa de piedra flotando en mercurio con sensibilidad de sobra para verlo. No vieron nada. Lo repitieron en distintas estaciones del año, por si la Tierra arrastraba el éter consigo. Nada.
La salida la dio Einstein en 1905, y consistió en aceptar lo que las ecuaciones decían desde el principio: en ellas no aparece ningún medio ni ninguna velocidad respecto a nada. La c de 1/√(ε₀μ₀) no es la velocidad de la luz respecto al éter: es su velocidad respecto a cualquiera. El campo electromagnético no ondula «en» algo, ondula y ya está. Es la única onda conocida que no tiene medio, y por eso es la única que llega desde una galaxia a través de miles de millones de años luz de vacío.
Lo que este nivel está tomando prestado. Las cuatro ecuaciones de la tabla, en su forma buena, son ecuaciones en derivadas parciales con divergencias y rotacionales, y el paso que las convierte en una ecuación de ondas —tomar el rotacional de una y sustituir en la otra— es de cálculo vectorial puro. Aquí se ha dicho el resultado y no se ha demostrado nada de él: ni que la solución sea una onda, ni que sea transversal, ni que E y B vayan en fase. Todo eso son consecuencias, no postulados, y se deducen en tres líneas cuando se tienen las herramientas. Ésa es la materia de los módulos II.5 —las ecuaciones de Maxwell, con la corriente de desplazamiento deducida desde la conservación de la carga en vez de anunciada— y II.6, la ecuación de ondas y lo que sale de ella. Ninguno de los dos está publicado todavía.
Ejercicios
Un puntero láser de 5 mW concentra su luz en un haz de 1 mm de diámetro. Calcula su intensidad, compárala con la del Sol al mediodía y halla la amplitud de su campo eléctrico. ¿Por qué no quema, si es más intenso que el Sol?
Solución
El área del haz es π(0,5 mm)² = 7,85×10⁻⁷ m², así que la intensidad vale 5×10⁻³/7,85×10⁻⁷ = 6 366 W/m², 4,7 veces la constante solar. El campo eléctrico sale de I = ½ε₀cE₀²: E₀ = √(2I/ε₀c) = 2 190 V/m.
No quema porque la intensidad no es lo que quema: lo que quema es la potencia total que un tejido absorbe. El Sol entrega 1 361 W/m² sobre toda tu piel —del orden de un kilovatio sobre un cuerpo tumbado—; el láser entrega 5 milivatios sobre un milímetro cuadrado. La segunda lección es la que explica por qué un puntero es peligroso sólo para el ojo: el cristalino enfoca ese haz sobre una mancha de unos 20 μm en la retina, y ahí la intensidad se multiplica por el cuadrado de la razón de diámetros, (1 000/20)² = 2 500. Casi dieciséis millones de vatios por metro cuadrado sobre unas pocas células. El peligro de la luz casi nunca está en la fuente: está en lo que la concentra.
Si toda corriente alterna crea campos que cambian, y todo campo que cambia radia, ¿por qué las líneas de alta tensión no emiten ondas de radio que se lleven la energía? Calcula la longitud de onda de 50 Hz y compárala con los 100 m de un vano entre torres.
Solución
λ = c/f = 3,00×10⁸/50 = 5 996 km, casi la mitad del diámetro de la Tierra. Un vano de 100 m mide 1,7×10⁻⁵ longitudes de onda. Una antena radia con una eficiencia que va con el cuadrado de esa razón, así que hablamos de un factor 2,8×10⁻¹⁰: la línea no radia absolutamente nada.
La segunda lección es la distinción entre campo cercano y campo lejano, y vale para todo el módulo. A distancias muy inferiores a λ los campos existen, son fuertes y decaen rapidísimo —como 1/r² o 1/r³—, pero no se desprenden: la energía que sale vuelve al ciclo siguiente, como el agua que entra y sale de una esponja. Sólo a distancias comparables a λ o mayores el campo se cierra sobre sí mismo, se independiza de la fuente y se marcha para siempre decayendo como 1/r. Por eso una línea de 50 Hz tiene campos medibles a diez metros y no emite nada a diez kilómetros, y por eso un cargador inalámbrico de I.4 no era «transmisión sin cables» en el sentido de las ondas: trabajaba a milímetros de una λ de dos kilómetros.
Si nada puede ir más deprisa que la luz, todo lo que llega desde lejos llega tarde. ¿Cuánto tarda la luz del Sol? ¿Y la señal de un satélite GPS a 20 200 km de altura? ¿Cuánto se equivoca un GPS cuyo reloj falle en un nanosegundo?
Solución
El Sol está a 1,496×10¹¹ m, así que su luz tarda 499 s: 8 minutos y 19 segundos. La Luna está a 1,28 s. Un satélite GPS en su órbita más favorable está a 20 200 km, es decir 67,4 ms. Y un nanosegundo de error de reloj son 1×10⁻⁹ × 3×10⁸ = 30 cm de error en la distancia calculada.
La segunda lección es que ese último número es el que dimensiona el sistema entero. Un GPS no mide distancias: mide tiempos de propagación de una onda electromagnética, y toda su precisión es la de sus relojes. Por eso cada satélite lleva relojes atómicos, por eso hay que corregir la dilatación temporal de la relatividad —unos 38 μs al día, que sin corregir serían 11 km de deriva diaria— y por eso la principal fuente de error que queda es el retraso variable que la ionosfera impone a la señal, que se estima transmitiendo en dos frecuencias distintas y comparándolas. Un sistema de navegación planetario es, mirado de cerca, un experimento continuo de electromagnetismo y relatividad.