Un imán de neodimio de 2,9 gramos tarda 3,16 segundos en recorrer un metro de tubo de cobre. En caída libre tardaría 0,45. El tubo no es magnético —el imán ni siquiera se pega a él—, no lo roza en ningún momento y nadie ha conectado nada a ninguna parte: la única diferencia entre los dos casos es que hay cobre alrededor. Los 28,9 milijulios que la gravedad entrega y que no aparecen como velocidad se están yendo en calentar el tubo, a razón de 9,2 milivatios. De ese experimento sale casi toda la electricidad del mundo.
Un imán de neodimio cae por un tubo metálico de un metro. El tubo no es magnético y el imán no lo toca en ningún momento: sólo cae por dentro. A la derecha, el mismo imán en caída libre, para comparar. Nada está guardado —el panel resuelve la caída con el modelo de frenado por corrientes inducidas—, y hay un mando cuyo efecto casi nadie acierta a la primera.
El imán tarda 3.16 s en recorrer el metro, 7.0 veces lo que tardaría en caída libre, y lo hace a una velocidad constante de 0.320 m/s casi desde que lo sueltas: 1.0 cm le bastan para llegar al equilibrio. En ese equilibrio el peso y el freno se igualan, y toda la energía potencial —29 mJ— se convierte en calor: 9.2 mW repartidos por el tubo. Y ahí está la última lección, que es de humildad experimental: ese calor sube la temperatura del tubo 0.19 milikelvin. El efecto es espectacular a la vista e indetectable con un termómetro.
Modelo de dipolo puntual sobre el eje de un tubo de pared delgada (Levin, da Silveira y Rizzato, 2006). Reproduce los experimentos con un error del orden del 10–20 % y deja de valer cuando el imán casi roza la pared: aquí la holgura es de 3.0 mm sobre 13 mm de diámetro interior. Tampoco incluye el instante de entrada y el de salida del tubo, donde el frenado es mayor.
Lo que cuenta no es el campo: es el flujo
La magnitud que gobierna todo este módulo ya apareció en I.3, y allí sirvió para decir que no existen cargas magnéticas. Es el flujo magnético: el campo multiplicado por el área que atraviesa, y por el coseno del ángulo entre los dos,
medido en weber. Una espira de un metro cuadrado tumbada en el suelo en Madrid recoge la componente vertical del campo terrestre, 37 μT, y por tanto 37 microweber. La misma espira puesta de pie mirando al norte recoge la componente horizontal, 25,8 μT, y da 25,8 μWb. Puesta de pie mirando al este no recoge nada: cero.
Y ahora el resultado que Michael Faraday encontró en 1831 y que cabe en una línea. Si el flujo que atraviesa un circuito cambia, aparece en él una tensión: es la inducción electromagnética, y la ley de Faraday le pone número. Con N vueltas de hilo, esa fuerza electromotriz vale
Fíjate en lo que no aparece. No aparece el campo: un campo enorme y quieto no induce nada. No aparece la corriente: la f.e.m. existe aunque el circuito esté abierto y no circule un solo electrón. Y no aparece de qué modo ha cambiado el flujo — sólo cuánto ha cambiado y en cuánto tiempo. Ésa es la clave: hay tres maneras de cambiar un flujo y la ley no distingue entre ellas.
| Qué se cambia | Cómo | Ejemplo con números | F.e.m. |
|---|---|---|---|
| El campo B | Encendiendo o apagando otra bobina | 100 vueltas alrededor del solenoide de I.3 (2,51 mT, 12,6 cm²), cortado en 1 ms | 0,32 V |
| El área A | Moviendo un conductor | Barra de 25 cm deslizándose a 2 m/s sobre raíles dentro de 0,40 T | 0,20 V |
| El ángulo θ | Girando la espira | Bobina de 200 vueltas de 10 × 10 cm a 3 000 rpm en 0,8 T | 355 V eficaces |
Las tres filas son el módulo entero. La primera es el transformador, y es el artículo 03. La segunda es el freno del tubo de cobre de ahí arriba y es el artículo 04. La tercera es el alternador que genera los 230 V de tu enchufe, y es el artículo 02. Un solo enunciado de una línea, tres industrias.
El signo de Lenz no es un capricho: es la conservación de la energía
Ese signo menos de la fórmula tiene nombre propio —la ley de Lenz— y dice de qué lado va la corriente inducida: en el sentido que se opone al cambio que la ha creado. Si acercas el polo norte de un imán a una espira, la espira fabrica una corriente que la convierte en un polo norte mirando al imán, y lo repele. Si lo alejas, fabrica la corriente contraria y lo atrae. Siempre estorba, nunca ayuda.
Eso es exactamente lo que le pasa al imán del tubo. Al caer, cambia el flujo que atraviesa cada anillo imaginario de cobre por delante y por detrás de él, y en el metal aparecen corrientes cerradas —corrientes de Foucault— que crean un campo opuesto al movimiento. La fuerza resultante es proporcional a la velocidad, igual que el rozamiento de un fluido, así que el imán acelera hasta que el freno iguala al peso y a partir de ahí baja a velocidad límite constante. Con los números del panel: 0,320 m/s en cobre de 1 mm de pared, alcanzados en el primer centímetro de caída.
La pregunta honesta es por qué el signo tiene que ser ése y no el otro. La respuesta no está en el magnetismo: está en el balance energético. Supón por un momento que la corriente inducida ayudara al movimiento en vez de estorbarlo. Entonces el imán, en lugar de frenarse, tendría un empujón proporcional a su propia velocidad, y su ecuación de caída sería un crecimiento exponencial con una constante de tiempo de 32,6 milisegundos. En un solo segundo, la velocidad se multiplicaría por 2,1×10¹³: el imán saldría del tubo a 6,8×10¹² m/s, veintidós mil seiscientas veces la velocidad de la luz, con toda esa energía cinética salida de un tubo de cobre que estaría enfriándose solo. La ley de Lenz no es una ley aparte que haya que aprenderse: es la única forma de que la inducción no sea una máquina de movimiento perpetuo.
Problema. El mismo imán, el mismo tubo, la misma pared de 1 mm — pero de aluminio en vez de cobre. ¿Cae más deprisa o más despacio, y cuánto? ¿Y qué pasa con un tubo de acero inoxidable?
Solución. La fuerza de frenado es proporcional a la conductividad del tubo, porque la corriente que un mismo campo inducido consigue mover es inversamente proporcional a la resistividad. Con los valores de I.2 —cobre 1,68×10⁻⁸ Ω·m, aluminio 2,65×10⁻⁸ Ω·m—, la razón de conductividades es
y como la velocidad límite es el peso dividido por la constante de frenado, en aluminio sale 1,58 veces mayor: 0,504 m/s frente a 0,320. El metro se recorre en 2,0 s en vez de 3,16.
Resultado. El aluminio frena, y frena bien, aunque no sea magnético en absoluto — y ahí está la lección, porque casi todo el mundo atribuye el efecto a un magnetismo del tubo que no existe. Lo que decide no es que el metal sea ferromagnético sino que conduzca. La prueba definitiva es el acero inoxidable austenítico, el de los cubiertos: tampoco es magnético, pero su resistividad es 43 veces la del cobre, y por el tubo de inoxidable el imán cae en 0,48 s, apenas un 6 % más despacio que en caída libre. Tres metales no magnéticos, tres comportamientos completamente distintos, ordenados por conductividad y por nada más.
La f.e.m. de movimiento, y la deuda que I.3 dejó abierta
El caso de la barra que se desliza tiene fórmula propia y merece su párrafo, porque es el que cierra el módulo anterior. Un conductor de longitud L que se mueve con velocidad u perpendicular a un campo B barre un área L·u por segundo, de modo que el flujo cambia a razón de B·L·u y aparece entre sus extremos la fuerza electromotriz de movimiento
Ésa es, palabra por palabra, la expresión que el artículo 02 de I.3 usó para explicar por qué un motor se regula solo, y que allí se afirmó sin deducirla. Ahora está deducida, y de paso queda claro que la fuerza contraelectromotriz de un motor no es un fenómeno del motor: es la ley de Faraday actuando sobre un conductor que se mueve, y la ley de Lenz garantizando que su signo se oponga a la corriente que lo mueve. Un motor que no generase tensión al girar sería, otra vez, una máquina de movimiento perpetuo.
Problema. Un Boeing 737-800 tiene 34,3 m de envergadura y vuela a 250 m/s. La componente vertical del campo terrestre a la latitud de Madrid es de 37,0 μT. ¿Qué diferencia de potencial aparece entre las puntas de sus alas? ¿Se puede aprovechar?
Solución. El ala es un conductor moviéndose perpendicularmente a la componente vertical del campo, así que
Resultado. Un tercio de voltio, y ahí se acaba: no se puede aprovechar, y la razón de por qué no se puede es más instructiva que la cifra. Para sacar corriente hace falta un circuito cerrado, y cualquier circuito que montes dentro del avión se mueve con el avión: el flujo que lo atraviesa no cambia, y sin cambio de flujo no hay f.e.m. neta por mucho voltaje que midas entre dos puntos sueltos. Los 0,317 V están ahí y son reales —basta un cable colgando fuera y un retorno por la ionosfera para cobrarlos, que es justo lo que hace el ejercicio 3—, pero un avión aislado en el aire no tiene por dónde cerrar el lazo. La lección general vale para todo el módulo: la inducción no paga tensiones, paga flujos que cambian en circuitos que se cierran. Es también la respuesta corta a la pregunta de por qué el campo terrestre no es una fuente de energía gratuita.
Una regla que funciona siempre y no es una ley fundamental
Y aquí conviene la honestidad de siempre, porque en este punto casi todos los textos de divulgación pasan de largo. La regla del flujo —«la f.e.m. es menos la variación del flujo»— es correcta en todos los casos ordinarios, pero no es una ley única: por debajo hay dos fenómenos físicamente distintos que casualmente dan el mismo número.
- Cuando lo que se mueve es el circuito, la f.e.m. la produce la fuerza de Lorentz empujando las cargas del conductor a lo largo del cable. No hay ningún campo eléctrico nuevo: hay v×B.
- Cuando el circuito está quieto y lo que cambia es el campo, no hay ninguna velocidad a la que agarrarse. Lo que ocurre entonces es que un campo magnético variable crea un campo eléctrico en el espacio, con líneas cerradas, exista o no un cable donde medirlo. Eso sí es una ley nueva, y es la que Maxwell escribirá.
Que las dos den siempre el mismo resultado no es una coincidencia —es una pista enorme, y la persiguió Einstein hasta la relatividad especial: si un imán se acerca a una bobina o la bobina se acerca al imán, la corriente medida es la misma, y sin embargo la «explicación» clásica es distinta en cada caso. Feynman lo llamó el único ejemplo que conocía en física de un principio general que necesita dos fenómenos distintos para entenderse.
Y hay un montaje, nada rebuscado, en el que la regla del flujo da directamente la respuesta equivocada: el disco de Faraday. Un disco de cobre de 20 cm de radio girando a 3 000 rpm dentro de un campo de 0,8 T entrega 5,0 V entre su eje y su borde —basta un contacto rozante en cada sitio para medirlos—, y mientras tanto el flujo que atraviesa el circuito no cambia en absoluto: el disco es redondo y girarlo no mueve nada. La regla del flujo predice cero. La fuerza de Lorentz sobre los electrones del disco, que sí se están moviendo, predice los 5,0 V que el voltímetro marca. De las dos leyes que hasta ahora daban siempre el mismo número, aquí sólo acierta una — y por eso son dos.
Lo que este nivel está tomando prestado. La forma honesta de la ley de Faraday no es ΔΦ/Δt sino una derivada, y el «flujo que atraviesa un circuito» es una integral de superficie. Aquí se usan cocientes de incrementos, que dan el valor medio de la f.e.m. durante el intervalo — exacto cuando el flujo cambia a ritmo constante y una aproximación en cualquier otro caso. Es suficiente para todo lo que se calcula en este módulo y no lo será para el siguiente escalón: el alternador del artículo 02 genera un seno precisamente porque la derivada de un coseno es un seno, y eso aquí se va a afirmar sin demostrar. La herramienta que falta es la derivada; la ley de Faraday en su forma buena, con su rotacional y su circulación, es el módulo II.5 de este sitio.
Ejercicios
Una espira de 1 m² descansa horizontal sobre una mesa en Madrid, donde la componente vertical del campo terrestre vale 37,0 μT. La volteas 180° en 0,5 s. ¿Qué f.e.m. media aparece? ¿Y si en vez de una espira son 1 000 vueltas? ¿Sirve el campo terrestre como fuente de energía?
Solución
El flujo pasa de +37 μWb a −37 μWb, así que la variación total es de 74 μWb y la f.e.m. media vale 74×10⁻⁶/0,5 = 148 μV. Con 1 000 vueltas, mil veces más: 148 mV. Ni con esas se enciende un LED, que necesita unos 2 V.
La segunda lección es que ese montaje ridículo es un instrumento de laboratorio de verdad: se llama bobina de volteo y es una de las formas clásicas de medir un campo magnético, porque la carga total que circula —no la corriente, la carga— depende sólo del cambio de flujo y no de lo deprisa que voltees. Y el motivo de que el campo terrestre no sirva como fuente de energía se ve aquí en dos cifras: 45 μT es un campo diminuto y, sobre todo, es constante. Toda la energía que saques de él tienes que ponerla tú moviendo algo, y la ley de Lenz se encarga de cobrártela íntegra. El campo terrestre no es un depósito: es, como mucho, un intermediario.
En el panel interactivo, sube el diámetro del imán de 6 a 12 mm sin tocar nada más. La velocidad límite cae de 1,48 a 0,185 m/s: el imán del doble de tamaño cae ocho veces más despacio. Explica de dónde sale ese factor 8 y por qué contradice la intuición de que «lo pesado cae antes».
Solución
La velocidad límite es el peso dividido por la constante de frenado. El peso va con el volumen, es decir con d³. Pero la fuerza de frenado va con el cuadrado del momento magnético, y el momento magnético también va con el volumen: con d³. Así que el freno crece como d⁶ y el peso sólo como d³, y el cociente cae como 1/d³. Duplicar el diámetro divide la velocidad por ocho: 1,48 → 0,185 m/s, exactamente el factor del panel.
La segunda lección es sobre cómo se escalan las cosas, y va mucho más allá de este experimento. La intuición de que lo pesado cae antes viene de la resistencia del aire, que crece con la sección —con d²— mientras el peso crece con d³: ahí, en efecto, el objeto grande gana. Aquí el frenado crece más deprisa que el peso, y el resultado se invierte. La regla práctica que conviene llevarse: en cualquier competencia entre dos efectos, quien manda no es el que es mayor sino el que crece más deprisa, y basta comparar exponentes para saber quién gana antes de calcular nada.
Una amarra electrodinámica es un cable conductor que un satélite despliega hacia la Tierra. Con 19,7 km de cable, una velocidad orbital de 7,7 km/s y un campo de 30 μT, ¿qué tensión aparece entre sus extremos? Si por ella circula 1 A, ¿qué potencia se obtiene y quién la paga?
Solución
Es f.e.m. de movimiento pura: ε = B·L·u = 30×10⁻⁶ × 19 700 × 7 700 = 4 550 V. Con 1 A circulando, la potencia eléctrica es ε·I = 4,55 kW. El circuito se cierra por el plasma ionosférico, que es conductor: por eso este truco sólo funciona en órbita baja y no en el vacío profundo.
Quien lo paga es la órbita. Ese cable con 1 A dentro de un campo de 30 μT recibe la fuerza de Laplace de I.3: F = B·I·L = 30×10⁻⁶ × 1 × 19 700 = 0,59 N, y al ir en contra del movimiento a 7,7 km/s consume 0,59 × 7 700 = 4,55 kW — la misma cifra, otra vez. Es la identidad BILu = εI que I.3 dedujo para el motor, ahora con un satélite en vez de un motor: la amarra no genera energía, convierte energía orbital en electricidad, y el satélite pierde altura a cambio. Recorrida al revés, con una batería empujando corriente en el otro sentido, la misma amarra sube la órbita sin gastar combustible. La segunda lección es que esto se ha hecho: el experimento TSS-1R de 1996 desplegó 19,7 km de amarra desde un transbordador y midió tensiones del orden de 3 500 V —menos que los 4 550 de la cuenta ideal, porque ni el campo ni la geometría son los del caso más favorable— antes de que el cable se rompiera por un fallo de aislamiento.