La fuerza de Lorentz y la corriente que no se acumula

Dentro del imán de una resonancia magnética, a 3 T, un electrón libre da 84,0 mil millones de vueltas por segundo y su órbita mide 0,22 μm de radio. Todo ese movimiento lo gobierna una fuerza que no hace absolutamente ningún trabajo: ni uno positivo ni uno negativo, exactamente cero, siempre y en cualquier configuración. Este artículo demuestra las dos cosas, resuelve la paradoja que parecen formar —un motor eléctrico gira gracias a esa fuerza— y define después la magnitud que va a producir todos los campos del módulo: la densidad de corriente, con la condición que la magnetostática le impone y que es, en el fondo, la conservación de la carga.

Necesitas, en concreto: cálculo en varias variables —derivadas parciales, integrales de línea, de superficie y de volumen, gradiente, divergencia y rotacional, y los teoremas de la divergencia y de Stokes—, coordenadas cilíndricas y esféricas con sus elementos de volumen, y ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer y segundo orden. Del módulo II.1, la divergencia y el rotacional con sus dos teoremas, y la idea de densidad volumétrica de carga. El Nivel II se lee entero sin el Nivel I: si quieres la intuición antes que el formalismo, el módulo I.3 cuenta los imanes y los motores sin una sola integral, y es una lectura recomendable, no un requisito. Texto guía de este nivel: D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4.ª ed.

La fuerza de Lorentz, y lo que trae de nuevo

Toda la electrodinámica clásica cabe, del lado de la mecánica, en una sola expresión. La fuerza sobre una carga $q$ que se mueve con velocidad $\mathbf{v}$ es la fuerza de Lorentz:

\boxed{\;\mathbf{F} = q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)\;}

El primer sumando es el módulo II.1 entero. El segundo es este módulo, y trae tres novedades que conviene separar antes de calcular nada.

Primera: depende de la velocidad. Una carga en reposo no siente el campo magnético, valga lo que valga. Eso convierte $\mathbf{B}$ en algo que no se puede medir con una carga de prueba quieta, a diferencia de $\mathbf{E}$ ; hay que lanzarla.

Segunda: es perpendicular a la velocidad. El producto vectorial lo garantiza, y de ahí sale la sección siguiente entera.

Tercera: es perpendicular al campo. Con lo cual $\mathbf{B}$ no señala la dirección de la fuerza que produce, que es exactamente lo que hace $\mathbf{E}$ . Un campo magnético dibujado con flechas no es un mapa de empujones: es un mapa de ejes de giro.

La unidad de $\mathbf{B}$ es el tesla, y la fórmula dice cuánto es: un tesla ejerce 1 N sobre 1 C que lo cruce a 1 m/s. Es una unidad descomunal. Los tres anclajes que este módulo va a usar de principio a fin, y que conviene tener en la cabeza desde ya: el campo del imán de una resonancia magnética clínica, 3 T; el que rodea al conductor de un circuito doméstico de 16 A pegado a su superficie, que saldrá 3,59 mT en el artículo 03; y el campo terrestre, unos 30 μT en el ecuador. Ocho órdenes de magnitud entre el primero y el tercero.

El campo magnético no hace trabajo, y esto es un teorema

La potencia que una fuerza entrega a una partícula es $P = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}$ . Con la parte magnética de la fuerza de Lorentz:

P_{\text{mag}} = \left[q(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\right]\cdot\mathbf{v} = q\,\mathbf{v}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{B}) = 0

y no porque los vectores estén bien colocados en este caso, sino porque $\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ es perpendicular a $\mathbf{v}$ por construcción. El producto mixto $\mathbf{v}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{B})$ tiene dos filas iguales en su determinante: es cero como identidad algebraica, para cualquier campo, cualquier trayectoria y cualquier instante. Consecuencia inmediata: una carga que sólo siente un campo magnético conserva su rapidez exactamente, aunque su velocidad cambie de dirección en cada punto.

Conviene decir con precisión qué se puede comprobar de esto con un ordenador y qué no, porque es de esas afirmaciones que suenan a truco. Integrando el movimiento de un protón que entra con $\mathbf{v}_0 = (2{,}0;\ 1{,}0;\ 0{,}30)\times10^{5}$ m/s en $\mathbf{E} = 100\,\hat{\mathbf{x}}$ V/m y $\mathbf{B} = 3\,\hat{\mathbf{z}}$ T durante veinte nanosegundos, la variación de energía cinética de la partícula sale −4,91×10⁻²¹ J —pierde energía— y el trabajo del campo eléctrico solo, el mismo número: el término magnético no aporta nada, y ahí sí hay dos caminos que podían no coincidir.

Lo que no es una comprobación —y es un error frecuente— es sumar $q(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{r}$ paso a paso y celebrar que dé cero. Eso es cero por construcción, porque $d\mathbf{r}$ es paralelo a $\mathbf{v}$ , y saldría igual de cero con un campo equivocado, una masa equivocada o una carga equivocada: lo que se mide ahí es el redondeo de la máquina. El teorema no se mide, se demuestra en una línea; lo único que puede hacer el ordenador es no desmentirlo.

El movimiento ciclotrónico, resuelto

Con $\mathbf{E}=0$ y $\mathbf{B} = B\hat{\mathbf{z}}$ uniforme, la ecuación de movimiento se separa en la componente paralela y la perpendicular. La paralela no siente nada — $\dot v_z = 0$ — y la perpendicular gira. En ella, el módulo de la velocidad es constante y la fuerza tiene módulo $qv_\perp B$ siempre apuntando al centro: es exactamente un movimiento circular uniforme, y basta igualar a $mv_\perp^2/r$ :

r = \frac{m v_\perp}{qB}\,,\qquad \omega_c = \frac{v_\perp}{r} = \frac{qB}{m}\,,\qquad T = \frac{2\pi m}{qB}

La frecuencia de ciclotrón no depende de la velocidad, y ése es el hecho que hizo posible el ciclotrón: una partícula rápida describe una órbita mayor y tarda exactamente lo mismo en recorrerla. Sumando la componente paralela, la trayectoria general es una hélice. Con los tres teslas del anclaje:

Partícula en 3 T	Frecuencia de ciclotrón	$r$ con $v_\perp = 1{,}17\times10^{5}$ m/s
Electrón	84,0 GHz	0,221 μm
Protón	45,7 MHz	0,407 mm

Añadiendo un campo eléctrico perpendicular aparece un fenómeno que no tiene análogo electrostático. Buscando una solución con aceleración nula, $\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B} = 0$ , y multiplicando vectorialmente por $\mathbf{B}$ , sale una velocidad de arrastre

\mathbf{v}_{\text{deriva}} = \frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{B^{2}}

—la deriva E×B— que no depende ni de la carga ni de la masa: iones y electrones derivan juntos y en el mismo sentido, de modo que la deriva $\mathbf{E}\times\mathbf{B}$ mueve plasma sin separar cargas y sin transportar corriente neta. Con $E=100$ V/m cruzados con los 3 T, son 33,3 m/s. La trayectoria completa es la circunferencia ciclotrónica arrastrada a esa velocidad — una cicloide.

Ejemplo resuelto 1 · Quién paga el trabajo de un motor, con la cuenta cerrada

Problema. Una barra conductora de $L = 20$ cm desliza sobre dos raíles dentro de un campo $B = 0{,}50$ T perpendicular al plano, llevando $I = 5{,}0$ A, y se mueve a $u = 2{,}0$ m/s. (a) Halla la fuerza sobre la barra y la potencia mecánica que entrega. (b) Si el campo magnético no hace trabajo, ¿de dónde sale esa potencia? Resuélvelo sin invocar la ley de Faraday, descomponiendo la velocidad de un portador.

Solución. (a) La fuerza sobre un elemento de corriente sale de sumar la de Lorentz sobre todos los portadores del elemento. Con $n$ portadores por unidad de volumen, sección $S$ y velocidad de arrastre $\mathbf{v}_d$ , en un tramo $d\boldsymbol{\ell}$ hay $nS\,d\ell$ portadores y

d\mathbf{F} = (nS\,d\ell)\,q\,\mathbf{v}_d\times\mathbf{B} = (nqv_dS)\,d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B} = I\,d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B}

que es la fuerza de Laplace. Aquí da $F = BIL =$ 0,50 N y una potencia mecánica $Fu =$ 1,0 W.

(b) Cada portador lleva dos velocidades: la de arrastre $v_d$ a lo largo de la barra y la de la propia barra, $u$ , perpendicular a ella. La fuerza magnética total sobre él es $q(\mathbf{v}_d+\mathbf{u})\times\mathbf{B}$ , con dos términos perpendiculares entre sí:

$q\,\mathbf{v}_d\times\mathbf{B}$ , de módulo $qv_dB$ , empuja al portador en el sentido del movimiento de la barra: es la que arrastra el cable. Su potencia sobre cada portador es $+qv_dBu$ .
$q\,\mathbf{u}\times\mathbf{B}$ , de módulo $quB$ , empuja al portador hacia atrás a lo largo del cable, oponiéndose a la corriente. Su potencia es $-quBv_d$ .

Las dos potencias son iguales y opuestas portador a portador, y su suma es cero: el teorema se cumple sin excepción. Lo que hace el campo magnético es redirigir potencia, no entregarla. La primera aparece como trabajo mecánico; la segunda, como una fuerza contraelectromotriz que la fuente de corriente tiene que vencer —una fuerza electromotriz es la energía que se entrega por culombio, en voltios, y pese al nombre no es una fuerza—. Multiplicando por el número de portadores de la barra, $nSL$ :

P_{\text{mec}} = (nSL)qv_dBu = BILu = 1{,}0\ \text{W},\qquad \varepsilon = BLu = 0{,}20\ \text{V},\qquad I\varepsilon = 1{,}0\ \text{W}

Resultado. Los dos números son 1,0 W, y no por casualidad: son el mismo producto $BILu$ agrupado de dos maneras. El trabajo mecánico lo paga la fuente, hasta el último milivatio, y el campo magnético actúa de intermediario que no cobra comisión. La segunda lección es de método: la f.e.m. de movimiento $BLu$ ha aparecido aquí sin mencionar el flujo ni la ley de Faraday, sólo descomponiendo una velocidad. Eso importa porque en este módulo nada cambia con el tiempo, y sin embargo el resultado ya está: la ley de Faraday del módulo II.5 dirá algo más que esto, y conviene saber qué parte no es nueva.

La corriente como campo: la densidad de corriente

Un cable con una corriente es un objeto unidimensional útil para dibujar y malo para calcular. La magnitud que hace falta es la densidad de corriente $\mathbf{J}$ , un campo vectorial definido en cada punto del conductor: si hay $n$ portadores por unidad de volumen, cada uno con carga $q$ y velocidad media $\mathbf{v}$ , entonces

\mathbf{J} = nq\mathbf{v} = \rho_{\text{móvil}}\,\mathbf{v}\,,\qquad I = \int_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{a}

con $\rho_{\text{móvil}}$ la densidad de carga que se mueve, no la densidad neta de carga —en un cable de cobre la neta es cero y $\mathbf{J}$ no lo es—. La corriente es el flujo de $\mathbf{J}$ por una superficie, exactamente como el flujo eléctrico del módulo II.1 era el de $\mathbf{E}$ ; y por eso la corriente es un escalar con signo y no un vector, aunque se dibuje con flechas.

Hay dos parientes que aparecerán sin avisar. Una corriente confinada en una superficie se describe con la densidad superficial de corriente $\mathbf{K}$ , en amperios por metro de anchura transversal (no por metro cuadrado), y una corriente confinada en un hilo, con $I$ . Las tres formas de la misma integral, que hay que saber traducir de memoria porque el artículo siguiente las usa:

\int \mathbf{J}\,d\tau \;\longleftrightarrow\; \int \mathbf{K}\,da \;\longleftrightarrow\; \int I\,d\boldsymbol{\ell}

Un anclaje inmediato. Un circuito de enchufes doméstico protegido a 16 A se cablea con conductor de 2,5 mm², es decir de radio $a =$ 0,892 mm. La densidad de corriente es $J = I/S =$ 6,40×10⁶ A/m², uniforme en corriente continua, y la velocidad media de los electrones que la producen es $v_d = J/ne =$ 0,470 mm/s con los 8,49×10²⁸ portadores por metro cúbico del cobre. Medio milímetro por segundo: un electrón tarda más de media hora en recorrer un metro de cable.

Y una comprobación que conviene hacer una vez en la vida: dentro del cable, la fuerza magnética sobre los propios portadores es despreciable. El campo en la superficie del conductor de arriba vale 3,59 mT (artículo 03), y la fuerza magnética sobre un electrón que se mueve a 0,470 mm/s es $ev_dB = 2{,}70\times10^{-25}$ N. El campo eléctrico que mantiene la corriente es $E=\rho_{\text{resist}}J = 0{,}108$ V/m —con la resistividad del cobre— y empuja al mismo electrón con $eE = 1{,}72\times10^{-20}$ N. La razón es 1,57×10⁻⁵. Por eso se puede resolver el circuito primero y el campo magnético después, sin iterar; y por eso el efecto Hall, que es exactamente esta fuerza, produce milivoltios donde el circuito trabaja con voltios. Es un desacoplamiento afortunado, no una ley: en un plasma o en un tokamak, donde $v$ es un millón de veces mayor, deja de valer y las dos cosas hay que resolverlas juntas.

La ecuación de continuidad, y qué es exactamente la magnetostática

La carga se conserva, y eso se puede escribir de forma local. La corriente que sale por una superficie cerrada tiene que salir de la carga que había dentro:

\oint_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{a} = -\frac{d}{dt}\int_V \rho\,d\tau

y aplicando el teorema de la divergencia al miembro de la izquierda, como el volumen es arbitrario, los integrandos han de coincidir punto a punto:

\boxed{\;\nabla\cdot\mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t}\;}

Ésta es la ecuación de continuidad, y es la forma local de la conservación de la carga. No es una ley nueva: se puede deducir de las ecuaciones de Maxwell, y de hecho el módulo II.5 lo hará al revés — fue esta ecuación la que obligó a Maxwell a añadir un término que faltaba.

Con ella se puede decir por fin qué es la magnetostática, sin metáforas:

\text{magnetostática}\;\Longleftrightarrow\;\frac{\partial\rho}{\partial t}=0\;\Longleftrightarrow\;\nabla\cdot\mathbf{J}=0

Corrientes estacionarias (corriente estacionaria): las que no acumulan carga en ningún sitio. No significa que las cargas no se muevan —se mueven, y de ahí sale todo— sino que la configuración de carga y corriente es la misma en todo instante. Es la traducción exacta de lo que en el II.1 significaba «cargas quietas», un escalón más arriba. Y tiene una consecuencia geométrica fuerte que se usará sin descanso: un campo de divergencia nula no tiene principio ni final, de modo que toda corriente estacionaria forma circuitos cerrados. Un segmento de cable aislado que empiece y acabe en el aire no es una corriente estacionaria, y todo lo que este módulo demuestre no vale para él.

Ejemplo resuelto 2 · Cuánto tarda un conductor en deshacerse de una carga, y por qué la respuesta no vale

Problema. Se deposita una densidad de carga $\rho_0$ en el interior de un bloque de cobre. (a) Combina la continuidad con la ley de Ohm local $\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}$ y con $\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0$ del módulo II.1 para hallar $\rho(t)$ . (b) Evalúa la constante de tiempo para el cobre. (c) Decide si el resultado es creíble.

Solución. (a) Sustituyendo en cadena:

\frac{\partial\rho}{\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf{J} = -\sigma\,\nabla\cdot\mathbf{E} = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\rho \quad\Longrightarrow\quad \rho(t) = \rho_0\,e^{-t/\tau},\ \ \tau = \frac{\varepsilon_0}{\sigma} = \varepsilon_0\rho_{\text{resist}}

Una ecuación diferencial de primer orden que se resuelve sola, y una constante de tiempo que no depende de la forma del bloque ni de cuánta carga se puso: sólo del material.

(b) Ese $\tau$ es el tiempo de relajación de carga. Con $\rho_{\text{resist}} = 1{,}68\times10^{-8}$ Ω·m para el cobre recocido, $\tau = 8{,}854\times10^{-12}\times1{,}68\times10^{-8} =$ 1,49×10⁻¹⁹ s. Cien attosegundos.

(c) No. Y decirlo es más útil que el número. El tiempo medio entre colisiones de un electrón de conducción en el cobre, sacado del mismo modelo de Drude que sostiene la ley de Ohm — $\tau_{\text{col}} = m_e/(n e^{2}\rho_{\text{resist}})$ —, vale 2,49×10⁻¹⁴ s: 167 000 veces más largo que la constante de relajación que acabamos de calcular. Es decir: la ley de Ohm, que describe un régimen promediado sobre muchas colisiones, se está usando para describir un proceso que terminaría antes de la primera. La respuesta se contradice a sí misma.

Lo que ocurre de verdad es que a esa escala de tiempo los electrones no están en régimen óhmico sino oscilando colectivamente: la escala física es el periodo de plasma $2\pi/\omega_p$ con $\omega_p = \sqrt{ne^{2}/\varepsilon_0 m_e}$ , que en el cobre vale 3,82×10⁻¹⁶ s — 2,62 PHz, en el ultravioleta lejano. Las tres escalas están relacionadas por la identidad $\tau_{\text{col}}/\tau = (\omega_p\tau_{\text{col}})^{2}$ , que da 1,67×10⁵ por los dos caminos.

Resultado. La cifra que importa no es $\tau$ sino la comparación: cualquiera de las tres escalas es astronómicamente más corta que cualquier tiempo de laboratorio, de modo que para todo efecto práctico la carga neta dentro de un conductor es cero al instante — que es la hipótesis con la que el módulo II.1 trabajó todo el rato sin justificarla. La segunda lección es metodológica y vale para todo el curso: un resultado hay que compararlo con las hipótesis del modelo que lo produjo. Un tiempo de relajación por debajo del tiempo de colisión no es un dato sorprendente, es un aviso de que la fórmula se ha usado fuera de su dominio, y el hábito de detectarlo es lo que separa calcular de entender.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un protón parte del reposo en el origen, en $\mathbf{E} = E_0\hat{\mathbf{x}}$ con $E_0 = 100$ V/m y $\mathbf{B} = B_0\hat{\mathbf{z}}$ con $B_0 = 3{,}0$ T.

(a) Escribe y resuelve las ecuaciones de movimiento en el plano $xy$ , y demuestra que la solución es una cicloide. (b) Calcula la velocidad media a lo largo del tiempo y compárala con $\mathbf{E}\times\mathbf{B}/B^{2}$ . (c) Calcula el trabajo que hace cada término de la fuerza de Lorentz entre $t=0$ y un periodo ciclotrónico completo, y comprueba que la energía cinética al cabo de ese periodo es cero. (d) ¿Qué velocidad inicial habría que darle para que la trayectoria fuera una recta, y cuánta energía gana entonces?

Solución

(a) Con $\omega = eB_0/m_p$ , las ecuaciones son $\dot v_x = (e/m)E_0 + \omega v_y$ y $\dot v_y = -\omega v_x$ . Derivando la segunda y sustituyendo: $\ddot v_y + \omega^{2}v_y = -\omega(e/m)E_0$ , un oscilador armónico con término independiente. Con las condiciones iniciales nulas,

v_x = \frac{E_0}{B_0}\sin\omega t,\qquad v_y = \frac{E_0}{B_0}\left(\cos\omega t - 1\right)

e integrando, $x = (E_0/\omega B_0)(1-\cos\omega t)$ y $y = (E_0/\omega B_0)(\sin\omega t - \omega t)$ : la parametrización de un punto de una circunferencia de radio $E_0m_p/eB_0^{2} =$ 0,116 μm que rueda a lo largo del eje $y$ . Una cicloide. Nótese que ese radio, y sólo ése, depende de la masa: con un ion de argón sería cuarenta veces mayor. Los tres apartados siguientes no dependen de ella.

(b) El promedio de $v_x$ sobre un periodo es cero, y el de $v_y$ es $-E_0/B_0 =$ −33,3 m/s. Y eso es exactamente $(E_0\hat{\mathbf{x}})\times(B_0\hat{\mathbf{z}})/B_0^{2} = -(E_0/B_0)\,\hat{\mathbf{y}}$ . Ahí está el resultado que hay que llevarse: la carga avanza, en promedio, perpendicularmente al campo eléctrico que la empuja, y además a la misma velocidad que un electrón, un protón o un ion pesado, porque en $\mathbf{E}\times\mathbf{B}/B^{2}$ no aparecen ni $q$ ni $m$ .

(c) El término magnético hace cero, por el teorema. El eléctrico hace $W = eE_0\,\Delta x$ , y en un periodo completo $\Delta x = (E_0/\omega B_0)(1-\cos 2\pi) = 0$ : también cero. Coherente con que $v_x=v_y=0$ en $t=T$ , es decir con energía cinética nula. El desplazamiento neto del periodo es enteramente transversal, $\Delta y = -2\pi E_0/\omega B_0$ , y por ahí $\mathbf{E}$ no trabaja. La carga se traslada sin ganar energía: el campo eléctrico se la da durante media vuelta y se la quita durante la otra media.

(d) Con $\mathbf{v}_0 = \mathbf{E}\times\mathbf{B}/B^{2}$ exactamente, la fuerza total es nula desde el principio y el movimiento es rectilíneo uniforme a 33,3 m/s. No gana ninguna energía: $\mathbf{E}$ es perpendicular a la trayectoria.

La segunda lección es el apartado (b), y es de las que se pagan caras en el laboratorio: en presencia de campo magnético, «hacia dónde empuja el campo eléctrico» y «hacia dónde acaba yendo la carga» son direcciones distintas y perpendiculares. De ahí viven los filtros de velocidades, los magnetrones y la confinación de plasmas; y de ahí sale también la razón de que en un conductor con campo magnético aparezca una tensión transversal —el efecto Hall— que no está en la ley de Ohm.

Ejercicio 2

Una esfera de radio $R = 5{,}0$ cm contiene, en $t=0$ , una densidad de carga uniforme $\rho_0 = 1{,}0$ μC/m³ que se disipa como $\rho(t)=\rho_0e^{-t/\tau}$ manteniéndose uniforme.

(a) Aplica la ecuación de continuidad para hallar $\mathbf{J}(\mathbf{r},t)$ dentro de la esfera. (b) Comprueba el resultado por un segundo camino: la corriente total que atraviesa una esfera de radio $r$ tiene que ser menos la derivada de la carga que encierra. (c) Evalúa $J$ en la superficie en $t=0$ con el $\tau$ del cobre del ejemplo resuelto 2, y di qué te parece el número. (d) ¿Es esto magnetostática? Justifícalo con la definición.

Solución

(a) Por simetría $\mathbf{J} = J(r,t)\hat{\mathbf{r}}$ , y en esféricas $\nabla\cdot\mathbf{J} = (1/r^{2})\partial_r(r^{2}J)$ . Igualando a $-\partial\rho/\partial t = \rho_0e^{-t/\tau}/\tau$ e integrando desde el origen:

r^{2}J = \frac{\rho_0e^{-t/\tau}}{\tau}\frac{r^{3}}{3}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{J} = \frac{\rho_0\,r}{3\tau}e^{-t/\tau}\,\hat{\mathbf{r}}

La constante de integración es cero porque $J$ tiene que ser finita en el origen.

(b) La carga encerrada es $Q(r,t)=\rho\,(4/3)\pi r^{3}$ , y su derivada temporal, $-Q/\tau$ . Repartida sobre $4\pi r^{2}$ : $J = \rho\,(4/3)\pi r^{3}/(\tau\,4\pi r^{2}) = \rho r/3\tau$ . El mismo resultado, sin tocar la divergencia.

(c) $J(R,0) = \rho_0R/3\tau =$ 1,12×10¹¹ A/m². Es un disparate: diecisiete mil quinientas veces la densidad de corriente del cable de casa de la sección anterior. El número no es un error de cuentas — es el mismo aviso del ejemplo resuelto 2 visto desde otro lado, y dice que con un $\tau$ tan pequeño el enunciado describe algo que no existe.

(d) No. La definición es $\nabla\cdot\mathbf{J}=0$ , y aquí $\nabla\cdot\mathbf{J} = \rho_0e^{-t/\tau}/\tau \ne 0$ en todo punto. Nada de lo que este módulo demuestre —Biot-Savart, la ley de Ampère, el potencial vector— es aplicable a esta configuración.

La segunda lección es que la ecuación de continuidad determina la corriente a partir del reparto de carga, sin necesidad de saber qué la empuja. Aquí no ha hecho falta ninguna ley de Ohm, ninguna movilidad y ningún material: la geometría y la conservación bastan. Es la misma clase de argumento que en el II.1 permitía sacar el campo de una simetría sin resolver ninguna integral, y conviene reconocerlo cuando aparece.

Ejercicio 3

Un conductor cilíndrico de radio $a = 1{,}0$ mm lleva una densidad de corriente no uniforme $\mathbf{J} = J_0\,(s/a)\,\hat{\mathbf{z}}$ , con $J_0 = 1{,}0\times10^{7}$ A/m² y $s$ la distancia al eje.

(a) Monta y resuelve la integral de flujo que da la corriente total. (b) Halla la densidad de corriente media y compárala con $J_0$ . (c) Comprueba que $\nabla\cdot\mathbf{J}=0$ y explica por qué eso era inevitable con esta forma funcional. (d) Escribe una $\mathbf{J}$ que tenga el mismo perfil de módulo pero no pueda ser una corriente estacionaria, y di cuánta carga acumula por segundo y por metro cúbico. (e) El conductor original se mete en un campo externo uniforme $B = 0{,}50$ T perpendicular a su eje: monta la integral de la fuerza de Laplace y halla la fuerza por metro de conductor. ¿Depende del perfil de $J$ ? ¿Y la fuerza por unidad de volumen?

Solución

(a) Con $d\mathbf{a} = 2\pi s\,ds\,\hat{\mathbf{z}}$ :

I = \int_0^{a} J_0\frac{s}{a}\,2\pi s\,ds = \frac{2\pi J_0}{a}\cdot\frac{a^{3}}{3} = \frac{2}{3}\pi a^{2}J_0 = 20{,}9\ \text{A}

(b) $\bar J = I/\pi a^{2} = (2/3)J_0 =$ 6,67×10⁶ A/m². El máximo, en la superficie, es $J_0$ : un 50 % más que la media. Ese perfil es, de hecho, la tendencia que impone el efecto pelicular en alterna, y es la razón de que la intensidad admisible de un cable no escale con su sección a frecuencias altas.

(c) En cilíndricas, $\nabla\cdot\mathbf{J} = \partial J_z/\partial z = 0$ , porque $J_z$ depende de $s$ y no de $z$ . Inevitable: cualquier campo de la forma $f(s)\hat{\mathbf{z}}$ tiene divergencia nula, sea $f$ lo que sea. La divergencia mide cómo cambia la componente a lo largo de su propia dirección, y aquí no cambia.

(d) Basta con que el módulo dependa de la coordenada a lo largo de la cual apunta: $\mathbf{J} = J_0(z/a)\hat{\mathbf{z}}$ tiene el mismo perfil lineal, y ahora $\nabla\cdot\mathbf{J} = J_0/a = 10^{10}$ A/m³. Por la continuidad, $\partial\rho/\partial t = -10^{10}$ C/(m³·s): cada metro cúbico pierde diez mil millones de culombios por segundo. Es físicamente imposible sostenerlo, y ése es el contenido de la condición $\nabla\cdot\mathbf{J}=0$ .

(e) La fuerza sobre un elemento de volumen es $d\mathbf{F} = (\mathbf{J}\times\mathbf{B})\,d\tau$ , y como $\mathbf{B}$ es uniforme sale fuera de la integral:

\frac{d\mathbf{F}}{dL} = \left(\int\mathbf{J}\,da\right)\times\mathbf{B} = I\,\hat{\mathbf{z}}\times\mathbf{B} \quad\Longrightarrow\quad \frac{F}{L} = IB = 10{,}5\ \text{N/m}

No depende del perfil: cualquier reparto de $J$ con la misma corriente total da la misma fuerza, y por eso la fórmula $I\,d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B}$ del ejemplo resuelto 1 vale para un hilo real y no sólo para uno ideal. Diez newtons y medio por metro es el peso de un kilo largo colgado de cada metro de cable. La fuerza por unidad de volumen, en cambio, sí depende del perfil: $f = JB = J_0(s/a)B$ , que va de cero en el eje a 5,0×10⁶ N/m³ en la superficie, con media $(2/3)J_0B$ . Ésa es la que rompe cosas, y es la razón de que las barras de un electroimán potente haya que sujetarlas por fuera.

La segunda lección está en el contraste entre (c) y (d): lo que decide si una corriente es estacionaria no es lo complicada que sea, sino de qué coordenada depende cada componente. Una $J$ tremendamente no uniforme puede ser perfectamente estacionaria, y una casi uniforme puede no serlo. Ese criterio es el que hay que aplicar antes de escribir la primera integral de Biot-Savart del artículo siguiente.

Ejercicio 4

Una resonancia magnética clínica de $B = 3{,}0$ T opera a una frecuencia de radio de 127,7 MHz.

(a) Despeja a qué campo habría que subir para que la frecuencia de ciclotrón del protón —no la de resonancia— coincidiera con esos 127,7 MHz, y di si es un campo alcanzable. (b) Con los 3 T reales la frecuencia del aparato tampoco coincide con la de ciclotrón: da el cociente entre las dos y busca qué constante del protón es. (c) Un protón y un electrón con la misma energía cinética, la térmica a 310 K —la temperatura del paciente—, giran en esos 3 T: halla el radio de las dos órbitas y la razón entre ellas. ¿Sale $m_p/m_e$ ? Si no, ¿por qué? (d) ¿Qué predice la magnetostática clásica sobre la frecuencia a la que responde un protón, y qué parte de la respuesta experimental deja fuera?

Solución

(a) De $f_c = eB/2\pi m_p$ sale $B = 2\pi m_p f/e =$ 8,38 T. Alcanzable —hay imanes de investigación por encima de 20 T— pero innecesario, porque la resonancia no usa la frecuencia de ciclotrón: de eso va (b).

(b) Con los 3 T, $f_c = eB/2\pi m_p =$ 45,7 MHz, y 127,7/45,7 = 2,79, que es $g_p/2$ con $g_p = 5{,}586$ , el factor $g$ del protón. La frecuencia del aparato es $f = (g_p/2)\,eB/2\pi m_p = \gamma_p B/2\pi$ con $\gamma_p/2\pi = 42{,}58$ MHz/T. Por eso el campo de (a) es exactamente $(g_p/2)\times 3$ T: la misma constante mirada al revés.

(c) Con la misma energía, $v = \sqrt{3k_BT/m}$ y $r = mv/eB = \sqrt{3k_BTm}\,/eB$ : el radio va como $\sqrt{m}$ , no como $m$ . A 310 K y 3 T salen 9,64 μm para el protón y 0,225 μm para el electrón, con razón 42,9. No es $m_p/m_e = 1\,836$ sino $\sqrt{m_p/m_e} = 42{,}85$ : con la misma rapidez la razón sería 1 836, y con la misma energía es su raíz. Confundir «misma velocidad» con «misma energía» es un factor 43 en este problema.

Y de paso, la frecuencia del electrón en esos mismos 3 T es $eB/2\pi m_e =$ 84,0 GHz, en las microondas milimétricas: $m_p/m_e = 1\,836$ veces mayor que la del protón, por la misma razón por la que a igual rapidez el radio de su órbita es 1 836 veces menor.

(d) La magnetostática clásica predice que una carga con momento angular orbital precede a $\omega = qB/m$ , y eso es todo lo que puede predecir. La resonancia magnética no usa el movimiento orbital del protón sino el espín de su núcleo, cuyo momento magnético no vale el magnetón nuclear $e\hbar/2m_p$ sino $g_p/2 = 2{,}79$ veces esa cantidad; y el propio $g_p = 5{,}586$ del protón —frente al 2 casi exacto del electrón— es una consecuencia de que el protón está hecho de quarks. Nada de eso está en este módulo ni puede estarlo.

La segunda lección es sobre los límites del formalismo, y conviene tenerla clara antes de seguir: la magnetostática describe con precisión total el movimiento de cargas en campos, y no describe en absoluto de dónde salen los momentos magnéticos de la materia. Cuando el artículo 04 escriba el momento dipolar de una espira estará hablando de corrientes reales; el módulo II.4 tendrá que importar de la mecánica cuántica los momentos que no vienen de ninguna espira. La coincidencia de fórmula entre los dos casos es notable y no es una demostración de nada.