Llevar 1 gigavatio a 230 voltios exigiría 4,35 millones de amperios, y con la densidad de corriente que I.2 usaba para un cable doméstico eso son 0,435 metros cuadrados de cobre: un conductor macizo de 74 centímetros de diámetro. A 400 000 voltios y en trifásica, el mismo gigavatio viaja con 1 443 amperios por fase y 144 milímetros cuadrados: la sección de cada conductor se divide por 3 012. Una línea real lleva bastante más de esos 144 mm², pero no para no fundirse — la dimensionan las pérdidas por el camino y el efecto corona. Lo que hay entre las dos cifras es un aparato de dos bobinas y un hierro, sin una sola pieza móvil, que sólo funciona con corriente alterna. No es que la red sea alterna y además haya transformadores: la red es alterna porque hay transformadores.
Dos bobinas que comparten un flujo
Enrolla dos bobinas sobre el mismo anillo de hierro. Por la primera, el primario, circula una corriente alterna que crea en el hierro un flujo también alterno; ese flujo atraviesa la segunda, el secundario, y por la ley de Faraday aparece en ella una tensión. Como el flujo que las atraviesa es el mismo —eso es lo que hace el hierro: encerrarlo—, cada vuelta de hilo ve exactamente la misma variación y produce exactamente los mismos voltios. De ahí sale la relación de transformación en una línea:
Y como el aparato no tiene de dónde sacar energía, la potencia que entra tiene que salir: V₁I₁ = V₂I₂, es decir
Lo que se gana en tensión se pierde en corriente, exactamente. Un transformador de subestación de 300 MVA que conecta la red de 400 kV con la de 20 kV tiene una relación de 20 a 1: por el lado de alta circulan 433 A y por el de baja, 8 660 A. Es la misma potencia contada de dos maneras.
Y aquí está la respuesta a por qué la red no es de continua. Con continua, el flujo del núcleo es constante, su variación es cero y en el secundario no aparece nada. No es que funcione peor: no funciona en absoluto. La única forma de subir o bajar una tensión continua es convertirla primero en alterna —cortándola miles de veces por segundo con semiconductores— y eso no existía en 1890. Cuando Westinghouse y Edison discutían, la alterna no ganó por elegancia: ganó porque tenía un aparato del 98 % de rendimiento, sin mantenimiento y sin piezas que se muevan, y la continua no tenía nada.
La ecuación que dimensiona el aparato
Hay una fórmula que convierte todo lo anterior en un objeto con kilos y centímetros, y es la que usa cualquiera que devane un transformador. Si el flujo del núcleo es senoidal, con un campo máximo B en una sección A, la tensión eficaz de una bobina de N vueltas a frecuencia f es la ecuación del transformador:
Ese 4,44 no es un número mágico: es 2π/√2 = 4,443, es decir el 2π de la derivada de un seno dividido por el √2 del valor eficaz. Y lo que la fórmula dice es que el tamaño del hierro lo fija la frecuencia: para una tensión dada, la sección del núcleo es inversamente proporcional a f y a B.
Problema. Un transformador de timbre da 12 V a partir de 230 V, con 50 VA de potencia. Su núcleo de chapa de hierro al silicio tiene 4 cm² de sección y trabaja a 1,2 T. ¿Cuántas vueltas lleva cada bobina y qué corrientes circulan?
Solución. Del primario:
El secundario está en la misma proporción que las tensiones: N₂ = 2 158 × 12/230 = 113 vueltas. Las corrientes salen de los 50 VA: 50/230 = 0,217 A en el primario y 50/12 = 4,17 A en el secundario.
Resultado. Dos mil ciento cincuenta y ocho vueltas de hilo fino y ciento trece de hilo grueso — y de ahí sale una magnitud que los devanadores usan todo el rato y que resume el núcleo entero: los voltios por vuelta, aquí 230/2 158 = 0,107 V. Una vez fijado el núcleo, ese número no depende de para qué tensión sea el transformador; se divide la tensión que se quiera entre él y salen las vueltas. La segunda lectura es de proporciones: el primario lleva veinte veces más vueltas y veinte veces menos corriente, así que su hilo puede ser veinte veces más fino en sección, y los dos bobinados ocupan aproximadamente el mismo volumen de cobre. Eso no es casualidad —es la consecuencia directa de que la potencia sea la misma en los dos lados— y es la razón de que un transformador se diseñe repartiendo la ventana del núcleo a partes iguales.
Dónde se pierde la energía, y por qué no se pierde donde se cree
Un transformador real no llega al 100 %, y sus pérdidas son de dos clases que se comportan de manera opuesta. Distinguirlas es lo que permite entender la factura de una red entera.
Las pérdidas en el cobre son efecto Joule puro en los dos bobinados: van con I², así que dependen de la carga y desaparecen cuando el transformador no entrega nada.
Las pérdidas en el hierro son las del núcleo, y están ahí siempre, esté cargado o vacío, porque dependen sólo del flujo alterno. Son dos cosas a la vez. Una es el ciclo de histéresis: cada vez que el campo recorre un ciclo completo, mover las paredes de dominio de I.3 cuesta un trabajo que no se recupera. La otra son corrientes de Foucault dentro del propio hierro, que es conductor, y ésas se combaten con geometría.
El truco es laminar. Las pérdidas por corrientes inducidas en una chapa van con el cuadrado de su espesor, así que partir el núcleo en hojas aisladas entre sí y apilarlas las hunde. Con chapa de grano orientado de 0,35 mm a 1,5 T y 50 Hz salen unos 0,32 W/kg; la misma ley aplicada a un bloque macizo de 10 cm daría 81 600 veces más. Ésa es la razón —y no otra— de que el núcleo de cualquier transformador, motor o alternador esté hecho de láminas apiladas y no de una pieza de acero.
Conviene decir qué tiene de extrapolación esa última cifra, porque el bloque de 10 cm no llega a disiparla. La ley del cuadrado vale mientras la chapa sea más fina que la profundidad de penetración del artículo 04, y en el hierro al silicio a 50 Hz ésa no llega al milímetro: mucho antes de los 10 cm, las propias corrientes inducidas apantallan el interior de la pieza. El fallo, en realidad, es peor que disipar de más — el flujo deja de entrar en el hierro y el núcleo deja de ser un núcleo. Laminar no es sólo ahorrar calor: es lo único que mantiene el campo dentro del metal.
| Pérdida | De qué depende | Con la carga | Cómo se combate |
|---|---|---|---|
| Cobre (I²R) | De la corriente al cuadrado | Crece con el cuadrado | Más sección de hilo |
| Histéresis | Del campo y de la frecuencia | Constante | Hierro al silicio de grano orientado |
| Foucault | Del cuadrado del espesor de chapa | Constante | Laminar: 0,35 o 0,23 mm |
Problema. Un transformador de distribución de 630 kVA —de los que alimentan una manzana de casas— pierde unos 600 W en el hierro y unos 6 000 W en el cobre a plena carga. ¿Cuál es su rendimiento a plena carga? ¿Y a qué fracción de carga rinde más?
Solución. Con una fracción de carga x, la potencia entregada es x·S y las pérdidas son P₀ + x²Pk. A plena carga: 630 000/(630 000 + 600 + 6 000) = 98,96 %. Para encontrar el máximo no hace falta derivar: el rendimiento es máximo cuando lo son mínimas las pérdidas por vatio entregado,
y la suma de dos números cuyo producto es fijo es mínima cuando los dos son iguales. Es decir, cuando las pérdidas del hierro igualan a las del cobre:
Resultado. El rendimiento máximo, 99,40 %, no está a plena carga sino al 31,6 % — y eso decide cómo se dimensionan las redes de distribución. Un transformador de barrio pasa la vida entre un 20 y un 40 % de su nominal, y no es que esté sobredimensionado por prudencia: está trabajando donde más rinde. Es exactamente el mismo tipo de resultado que el punto de máxima potencia de un motor en I.3, con la moraleja invertida: allí el óptimo de potencia y el de rendimiento no coincidían, aquí tampoco, y en los dos casos quien diseña tiene que elegir cuál de los dos quiere. Y hay una cifra que se olvida: esos 600 W de pérdidas en vacío están las 8 760 horas del año, se consuma o no. Son 5 256 kWh anuales, unos 790 € por transformador y por año, multiplicados por los cientos de miles que tiene un país. Por eso la normativa europea de diseño ecológico regula las pérdidas en vacío de estos aparatos con más severidad que las de carga.
Por qué tu cargador ya no pesa doscientos gramos
Aquí hay un mito doméstico que conviene desmontar con la ecuación de arriba en la mano: el cargador de tu móvil no lleva un transformador de 50 Hz. Ni siquiera lleva un transformador conectado a la red.
Lo que lleva es una fuente conmutada, y su secuencia es contraria a la intuición: primero rectifica los 230 V alternos a unos 325 V continuos, y luego los vuelve a trocear con un transistor a cien mil veces por segundo para poder pasarlos por un transformador diminuto. Parece un rodeo absurdo. La razón de que compense está entera en la ecuación del transformador: la sección del núcleo va con 1/(f·B).
| Transformador de red | Fuente conmutada | Factor | |
|---|---|---|---|
| Frecuencia | 50 Hz | 100 kHz | ×2 000 |
| Núcleo | Chapa de hierro al silicio | Ferrita | — |
| Campo de trabajo | 1,5 T | 0,35 T | ÷4,3 |
| Sección de núcleo necesaria | referencia | 467 veces menor | ÷467 |
Cuatrocientas sesenta y siete veces menos hierro para la misma potencia. Ésa es toda la historia de por qué el cargador de un móvil pasó de ser un ladrillo tibio de doscientos gramos a un objeto del tamaño de un pulgar. Y conviene decir la contrapartida, porque el factor 2 000 de la primera fila invita a exagerar: la ferrita no aguanta más de unos 0,35 T sin saturarse —contra los 1,5 T del hierro al silicio—, y eso divide la ventaja por 4,3; y la fuente conmutada necesita transistores, control, filtros contra las interferencias que ella misma genera y condensadores que envejecen. Es un aparato mucho más complejo y bastante menos duradero. Lo que ha ganado, y es enorme, es masa, volumen y consumo en vacío.
Lo que este artículo ha dado por bueno sin demostrarlo. Que todo el flujo del primario atraviesa el secundario es una idealización: en un transformador real siempre hay flujo de dispersión que se escapa por el aire, y es él —no la resistencia del cobre— quien limita la corriente de cortocircuito. Que la corriente que el primario toma en vacío sea despreciable también lo es: existe, se llama corriente de magnetización y es la que crea el flujo del núcleo. Y hay un detalle que se ve al enchufar cualquier transformador grande y que aquí no cabe explicar: si se conecta en el instante equivocado del ciclo, la corriente de arranque puede llegar a diez veces la nominal durante unos ciclos, porque el flujo arranca desde el sitio equivocado y satura el hierro. Es la razón de que los magnetotérmicos que protegen transformadores sean de curva D. Todo eso es el contenido del módulo II.4 de este sitio, que lo hace con las herramientas adecuadas.
Ejercicios
Alguien conecta el transformador de timbre del ejemplo resuelto 1 a 230 V de corriente continua. Su primario tiene 2 158 vueltas de hilo de 0,25 mm² sobre un núcleo de 4 cm², lo que da unos 173 m de hilo. ¿Qué ocurre?
Solución
La resistencia del primario es R = ρL/A = 1,68×10⁻⁸ × 173/0,25×10⁻⁶ = 11,6 Ω, y con 230 V continuos circulan 230/11,6 = 19,8 A, que disipan 4 550 W en un aparato de 50 VA: 91 veces su potencia nominal. El transformador se quema en segundos, y en el secundario no ha aparecido ni un voltio.
La segunda lección es la que de verdad importa, y es la respuesta a «¿por qué en alterna no pasa eso, si la resistencia es la misma?». Porque lo que limita la corriente de un transformador conectado a la red no es su resistencia: es su propia f.e.m. inducida. El flujo alterno del núcleo induce en el primario una tensión que se opone casi exactamente a la de la red, y sólo la pequeña diferencia empuja corriente. Es, exactamente, la fuerza contraelectromotriz que en I.3 hacía que un motor consumiera 0,17 A girando y 24 A bloqueado — y un transformador con continua es un transformador «bloqueado». El mismo mecanismo, el mismo desastre y el mismo factor de cien.
Un transformador de poste zumba, y quien lo oye con atención nota que el tono no es el de la red sino el doble: 100 Hz. ¿Por qué?
Solución
Porque las fuerzas que deforman el núcleo no dependen del signo del campo. La chapa se contrae y se estira ligerísimamente al imantarse —magnetostricción—, y la deformación es la misma con el campo hacia un lado que hacia el otro. En un ciclo de 50 Hz el campo pasa por su máximo dos veces, así que la chapa se deforma dos veces: el tono fundamental es de 100 Hz. Lo mismo vale para la atracción entre chapas y entre espiras, que va con B².
La segunda lección es que ese factor dos aparece cada vez que algo depende del cuadrado de una magnitud alterna, y ya lo hemos visto tres veces en este sitio: las bombillas incandescentes de I.2 parpadean a 100 Hz porque el calor va con I²; la potencia instantánea de una carga monofásica del artículo 02 pulsa a 100 Hz por lo mismo; y el zumbido de un transformador es la versión mecánica. Elevar al cuadrado una onda de 50 Hz produce una componente continua más otra de 100 Hz, y ninguna de 50. Reconocer ese patrón ahorra mucho tiempo.
Con la ecuación del transformador, explica por qué un transformador de 400 kV es enorme aunque su relación de vueltas sea modesta, y estima cuántas vueltas tiene su bobinado de alta si su núcleo trabaja a 1,7 T y tiene 1 m² de sección.
Solución
Los voltios por vuelta valen 4,44 × 50 × 1 × 1,7 = 377 V por vuelta, así que el bobinado de 400 kV —que en trifásica ve 400/√3 = 231 kV por fase— necesita 230 900/377,4 = 612 vueltas. Sorprendentemente pocas — y conviene leerlo como lo que es, una estimación: un núcleo real de esa clase tiene bastante menos de un metro cuadrado y su bobinado de alta pasa del millar de vueltas.
La segunda lección es que lo que hace enorme a esa máquina no son las vueltas: es el aislamiento y la refrigeración. Con 231 kV entre el bobinado y el núcleo hacen falta decenas de centímetros de aceite y cartón prensado, porque la rigidez dieléctrica del aceite es del orden de la del aire de I.1 multiplicada por unas cuantas veces, y no por mil. Y ese metro cuadrado de núcleo, con las pérdidas por kilo del artículo, disipa cientos de kilovatios que hay que sacar con aceite circulando y radiadores. Un transformador de 400 kV pesa cientos de toneladas por lo que no es magnético — y ésa es una moraleja que se repite en toda la ingeniería eléctrica de alta tensión: el aparato lo dimensiona el aislamiento, no el campo.